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東北大学 院試 過去問 解答例

東北大 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

全5問。テーマタグは4件（固有値・固有ベクトル・フーリエ変換・二次形式）。2025年度と共通のテーマは固有値・固有ベクトル。

最終更新:

収録6年度分の解答PDF：東北大学 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学）（￥3,200・紙面見本あり）

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解説5問と大問1問の途中式・最終答（全5問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき5問）
問題本文
非収録

東北大 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2026年度 院試 過去問の出題内容（全5問）

大問主題解説の小見出し最終答
第1問基礎数学—あり
第2問力学—あり
第3問電磁気学—あり
第4問量子力学—あり
第5問熱・統計力学—あり

この年度の解説には試験で書くべきポイント5件・典型ミス5件が付いています。

2026年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は2問に4テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第1・4問25大学・544問
フーリエ変換第1問14大学・91問
二次形式第1問16大学・63問
シュレディンガー方程式第4問10大学・18問

前年度（2025年度）との違い

大問数
2025年度 5問 → 2026年度 5問
両年度に出たテーマ
固有値・固有ベクトル
2026年度で新しく出たテーマ
フーリエ変換・二次形式・シュレディンガー方程式
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第1問 — 基礎数学

方針

[1] は2階定数係数。複素特性根を実形に直し特解を加算する。[2] は対称行列の二次形式が固有座標で対角化されることを使い、線形制約は u3\boldsymbol u_3 方向を切るのと等価。[3] は対称性で平面寄与をゼロにできる。[4] はフーリエ変換で熱方程式を kk 空間の指数減衰に帰着し、解の周期化と Riemann 和でゼロ点極限を評価する。

典型ミス

固有ベクトルを規格化せずに f=X2+3Y2+6Z2f=X^2+3Y^2+6Z^2 を書くと係数が変わる。S3S_3 の外向き法線は (1,−1,0)/2(1,-1,0)/\sqrt 2（n\boldsymbol n の符号）。δ\delta 関数からの熱核解で 1/4πt1/\sqrt{4\pi t} の係数（2π2\pi ではない）を落としやすい。

試験で書くべきポイント

ガウスの定理と直接面積分が一致することを明示する。t→∞t\to\infty の極限では Riemann 和の連続化を使い、最後に物理像（拡散による濃度均一化）でしめくくる。

解答

  1. \textbf{[1 1)] x=acos⁡2t+bsin⁡2tx=a\cos 2t+b\sin 2t を代入する。x˙=−2asin⁡2t+2bcos⁡2t\dot x=-2a\sin 2t+2b\cos 2t、x¨=−4acos⁡2t−4bsin⁡2t\ddot x=-4a\cos 2t-4b\sin 2t より x¨+4x˙+8x=(−4a+8b+8a)cos⁡2t+(−4b−8a+8b)sin⁡2t=(4a+8b)cos⁡2t+(−8a+4b)sin⁡2t.\begin{align*} \ddot x+4\dot x+8x &=(-4a+8b+8a)\cos 2t+(-4b-8a+8b)\sin 2t\\ &=(4a+8b)\cos 2t+(-8a+4b)\sin 2t. \end{align*} これが 20cos⁡2t20\cos 2t に等しいから 4a+8b=204a+8b=20、−8a+4b=0-8a+4b=0。よって b=2ab=2a、a+4a=5a+4a=5 となり a=1,b=2. a=1,\quad b=2.
  2. \textbf{[1 2)] 同次方程式 x¨+4x˙+8x=0\ddot x+4\dot x+8x=0 の特性方程式は λ2+4λ+8=0\lambda^2+4\lambda+8=0 で λ=−2±2i\lambda=-2\pm2i。一般解は x(t)=e−2t(C1cos⁡2t+C2sin⁡2t)+cos⁡2t+2sin⁡2t. x(t)=e^{-2t}(C_1\cos 2t+C_2\sin 2t)+\cos 2t+2\sin 2t. x(0)=0x(0)=0 より C1+1=0C_1+1=0、C1=−1C_1=-1。x˙(0)=0\dot x(0)=0 から x˙=e−2t[(−2C1+2C2)cos⁡2t+(−2C2−2C1)sin⁡2t]−2sin⁡2t+4cos⁡2t, \dot x=e^{-2t}\bigl[(-2C_1+2C_2)\cos 2t+(-2C_2-2C_1)\sin 2t\bigr]-2\sin 2t+4\cos 2t, t=0t=0 で −2C1+2C2+4=0-2C_1+2C_2+4=0、C2=−3C_2=-3。よって x(t)=−e−2t(cos⁡2t+3sin⁡2t)+cos⁡2t+2sin⁡2t. x(t)=-e^{-2t}(\cos 2t+3\sin 2t)+\cos 2t+2\sin 2t.
  3. \textbf{[2 1)] det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 を解く。第3列に着目し展開すると、計算により −λ3+10λ2−27λ+18=0, -\lambda^3+10\lambda^2-27\lambda+18=0, すなわち (λ−1)(λ−3)(λ−6)=0(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-6)=0。λ1=1,λ2=3,λ3=6\lambda_1=1,\lambda_2=3,\lambda_3=6。 λ1=1\lambda_1=1 では (A−I)u=0(A-I)\boldsymbol u=0 から 2x+2y+z=02x+2y+z=0、x+y+3z=0x+y+3z=0 を得て z=0z=0、y=−xy=-x。規格化して u1=12(1,−1,0)⊤. \boldsymbol u_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)^\top. λ2=3\lambda_2=3 では −y−z+⋯-y-z+\cdots を解くと x=yx=y、z=−2xz=-2x、規格化して u2=16(1,1,−2)⊤. \boldsymbol u_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)^\top. λ3=6\lambda_3=6 では x=yx=y、z=xz=x、規格化して u3=13(1,1,1)⊤. \boldsymbol u_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^\top.
  4. \textbf{[2 2)] f(x,y,z)=r⊤Arf(x,y,z)=\boldsymbol r^\top A\boldsymbol r である（対称行列の二次形式）。r=Xu1+Yu2+Zu3\boldsymbol r=X\boldsymbol u_1+Y\boldsymbol u_2+Z\boldsymbol u_3 と展開すれば、ui\boldsymbol u_i の正規直交性と Aui=λiuiA\boldsymbol u_i=\lambda_i\boldsymbol u_i より f=λ1X2+λ2Y2+λ3Z2=X2+3Y2+6Z2. f=\lambda_1 X^2+\lambda_2 Y^2+\lambda_3 Z^2=X^2+3Y^2+6Z^2.
  5. \textbf{[2 3)] 制約は X2+Y2+Z2=1X^2+Y^2+Z^2=1、および u3\boldsymbol u_3 の成分が (1,1,1)/3(1,1,1)/\sqrt3 なので x+y+z=3 Z=0⟹Z=0. x+y+z=\sqrt 3\,Z=0\quad\Longrightarrow\quad Z=0. よって X2+Y2=1X^2+Y^2=1 の下で f=X2+3Y2=1+2Y2f=X^2+3Y^2=1+2Y^2 の最大・最小を取る。Y∈[−1,1]Y\in[-1,1] より max⁡f=3  (Y=±1),min⁡f=1  (Y=0). \max f=3\;(Y=\pm1),\qquad \min f=1\;(Y=0).
  6. \textbf{[3 1)] ∇⋅J=2x+x+x=4x\nabla\cdot\boldsymbol J=2x+x+x=4x。よって I=∫V4x dV. I=\int_V 4x\,dV. 領域 VV は球内で 0≤y≤x0\le y\le x、すなわち極角を θ\theta（zz 軸からの角度）、方位角を φ\varphi として、底面は φ∈[0,π/4]\varphi\in[0,\pi/4] の範囲。球座標 x=rsin⁡θcos⁡φx=r\sin\theta\cos\varphi で I=4∫0ar3dr∫0πsin⁡2θ dθ∫0π/4cos⁡φ dφ=4⋅a44⋅π2⋅12=πa42. I=4\int_0^a r^3 dr\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta\int_0^{\pi/4}\cos\varphi\,d\varphi =4\cdot\frac{a^4}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt2} =\frac{\pi a^4}{\sqrt 2}.
  7. \textbf{[3 2)] SS は球面部 S1S_1（r=ar=a）と平面部 y=0y=0（S2S_2）と y=xy=x（S3S_3）からなる。 S1S_1 では n=r/a\boldsymbol n=\boldsymbol r/a、J⋅n=(x3+xy2+xz2)/a=xr2/a=ax\boldsymbol J\cdot\boldsymbol n=(x^3+xy^2+xz^2)/a=x r^2/a=ax。よって ∫S1J⋅n dS=a∫S1x dS=a⋅a∫0πsin⁡2θdθ∫0π/4cos⁡φdφ⋅a2=πa42. \int_{S_1}\boldsymbol J\cdot\boldsymbol n\,dS=a\int_{S_1}x\,dS=a\cdot a\int_0^\pi\sin^2\theta d\theta\int_0^{\pi/4}\cos\varphi d\varphi\cdot a^2=\frac{\pi a^4}{\sqrt 2}. S2S_2（y=0y=0、n=(0,−1,0)\boldsymbol n=(0,-1,0)）では J⋅n=−xy=0\boldsymbol J\cdot\boldsymbol n=-xy=0。S3S_3（y=xy=x、外向き n=(1,−1,0)/2\boldsymbol n=(1,-1,0)/\sqrt2）では J⋅n=(x2−xy)/2=0\boldsymbol J\cdot\boldsymbol n=(x^2-xy)/\sqrt2=0（y=xy=x 上）。 よって I=πa4/2I=\pi a^4/\sqrt 2 で問 1) と一致。
  8. \textbf{[4 1)] ∂tu=∂x2u\partial_t u=\partial_x^2 u にフーリエ表示を代入し、u~˙=−k2u~\dot{\tilde u}=-k^2\tilde u、u~(k,t)=u~(k,0)e−k2t\tilde u(k,t)=\tilde u(k,0)e^{-k^2t}。初期条件 u(x,0)=δ(x)u(x,0)=\delta(x) から u~(k,0)=1/2π\tilde u(k,0)=1/\sqrt{2\pi}。よって u(x,t)=12π∫−∞∞e−k2t+ikxdk=14πtexp⁡ ⁣(−x24t). u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-k^2 t+ikx}dk=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4t}\right).
  9. \textbf{[4 2a)] 線形性から u(x,t)=14πt∑n=−∞∞exp⁡ ⁣(−(x−nL)24t). u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sum_{n=-\infty}^\infty\exp\!\left(-\frac{(x-nL)^2}{4t}\right).
  10. \textbf{[4 2b)] x=0x=0 で u(0,t)=14πt∑n=−∞∞exp⁡ ⁣(−n2L24t). u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sum_{n=-\infty}^\infty\exp\!\left(-\frac{n^2L^2}{4t}\right). ϵ=L/(2t)→+0\epsilon=L/(2\sqrt t)\to+0（t→∞t\to\infty）とおき、f(y)=e−y2f(y)=e^{-y^2} を用いると、ヒントより ∑nϵ e−(nϵ)2→∫−∞∞e−y2dy=π. \sum_n \epsilon\,e^{-(n\epsilon)^2}\to\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy=\sqrt\pi. よって ∑ne−n2L2/(4t)∼4πt/L\sum_n e^{-n^2L^2/(4t)}\sim\sqrt{4\pi t}/L となり lim⁡t→∞u(0,t)=1L. \lim_{t\to\infty}u(0,t)=\frac{1}{L}.
  11. \textbf{[4 2c)] 初期に等間隔 LL で粒子（単位量）を並べた状態の濃度は、十分時間が経つと拡散により空間的に一様化する。単位長あたりの粒子数密度は 1/L1/L なので、u(0,t)→1/Lu(0,t)\to 1/L はこの一様化の結果に対応する。

最終答

% [1] a=1,b=2a=1,b=2、x(t)=−e−2t(cos⁡2t+3sin⁡2t)+cos⁡2t+2sin⁡2tx(t)=-e^{-2t}(\cos 2t+3\sin 2t)+\cos 2t+2\sin 2t。 [2] 固有値 1,3,61,3,6、対応する固有ベクトルは (1,−1,0)/2,(1,1,−2)/6,(1,1,1)/3(1,-1,0)/\sqrt2,(1,1,-2)/\sqrt6,(1,1,1)/\sqrt3。f=X2+3Y2+6Z2f=X^2+3Y^2+6Z^2、制約下で最大 33、最小 11。 [3] I=πa4/2I=\pi a^4/\sqrt 2。 [4] u(x,t)=e−x2/4t/4πtu(x,t)=e^{-x^2/4t}/\sqrt{4\pi t}、和形は周期 LL の畳み込み、lim⁡u(0,t)=1/L\lim u(0,t)=1/L（拡散による一様化）。

第2問 — 力学

方針

[1] は中心力ポテンシャルの典型問題。動径振動と動径＋遠心の振動の違いを有効ポテンシャルで処理する。[2] は剛体の並進・回転の独立な運動方程式とインパルス・モーメンタムの保存則。衝突問題では摩擦力積と角運動量変化が同じ ΔPx\Delta P_x で結ばれる点が肝。

典型ミス

ばねの伸びを r−2hr-2h と書くのは誤り。空間的にばねは斜めに張られているので r2+h2−2h\sqrt{r^2+h^2}-2h。動径の有効ポテンシャルの曲率には遠心項の寄与（3L2/mr43L^2/mr^4 など）を必ず加える。剛体衝突で ω\omega の符号は摩擦力の向きと一致するように決める。

試験で書くべきポイント

L=mr2ϕ˙L=m r^2\dot\phi から EE への代入経路を明示する。すべらず転がりへの遷移条件 x˙=Rθ˙\dot x=R\dot\theta を t1t_1 の決定式として書き出す。エネルギー比は sin⁡2ϕ0\sin^2\phi_0（yy 成分保存分）と cos⁡2ϕ0\cos^2\phi_0 にかかる係数（並進＋回転に分配される割合）に分けて表すと検算が容易。

力学の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 電磁気学

方針

[1] は二重の球殻でガウス則と電位の連続性を順に積み上げる。鏡像法は「相似三角形で ∣AP∣/∣BP∣=d/R|\mathrm{AP}|/|\mathrm{BP}|=d/R」を見抜くと一発で電位条件が解ける。絶縁球の追加鏡像は「球面の総誘導電荷を打ち消す中心電荷」と説明できる。[2] は軸上磁場の公式と U=−m⋅BU=-\boldsymbol m\cdot\boldsymbol B、平衡条件は dU/dz=0dU/dz=0、到達条件はエネルギー保存。

典型ミス

鏡像電荷の符号と位置（d′=R2/dd'=R^2/d）の取り違え。C2C_2 の電流方向と磁気モーメントの向き（+z+z／−z-z）の混同。z0z_0 を求める際に z=0z=0 を解と誤認しないこと（極大）。

試験で書くべきポイント

電位は無限遠から積分する、空隙では球殻の影響を消す（球内電荷は qq のみ）、絶縁球の追加鏡像は中心 O に置く。ポテンシャル極値の計算では因子分けで 4R2+z2=2(R2+z2)4R^2+z^2=2(R^2+z^2) を導く流れを書き残す。

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第4問 — 量子力学

方針

[1] のデルタポテンシャルは「ジャンプ条件」ψ′(+0)−ψ′(−0)=−(2mg/ℏ2)ψ(0)\psi'(+0)-\psi'(-0)=-(2mg/\hbar^2)\psi(0) が要。基底状態の ⟨p^2⟩\langle\hat p^2\rangle は SE 方程式から p^2/(2m)=E−V\hat p^2/(2m)=E-V で計算するのが楽。二重ウェルでは対称・反対称の重ね合わせがトンネル振動を生む（時刻 t∗t_* で「左→右」へ移動）。[2] は生成消滅演算子で粒子像を整理し、xy=ℓ22(ax+ax†)(ay+ay†)xy=\frac{\ell^2}{2}(a_x+a_x^\dagger)(a_y+a_y^\dagger) で行列要素を読み取る。

典型ミス

ジャンプ条件の符号を反対に取る（ポテンシャル −gδ-g\delta なので右辺は −2mg/ℏ2-2mg/\hbar^2）。重なり積分 ⟨ψ0′∣ψ0⟩=2κκ′/(κ+κ′)\langle\psi'_0|\psi_0\rangle=2\sqrt{\kappa\kappa'}/(\kappa+\kappa') で確率には自乗を取る。摂動行列の対角成分を ⟨Φi∣V∣Φi⟩\langle\Phi_i|V|\Phi_i\rangle で計算するのを忘れない（本問では 00）。

試験で書くべきポイント

ジャンプ条件の導出（デルタ関数を含む積分）を明示する。⟨p^2⟩\langle\hat p^2\rangle は VV のデルタ寄与を「g∣ψ(0)∣2g|\psi(0)|^2」として計上。摂動の V12V_{12} は axay†a_x a_y^\dagger と ax†aya_x^\dagger a_y のみが残ることを書き、行列固有値で ΔE±\Delta E_\pm を結論する。

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第5問 — 熱・統計力学

方針

[1] は熱力学関係式を使い、van der Waals の補正項のみが内部エネルギーに残るのを示す。等面積則は GG の連続性とエントロピー・内部エネルギーの相違を結合する標準的導出。[2] は T=0T=0 で球状フェルミ面の体積から n,μ,un,\mu,u を計算し、状態密度を ϵ\sqrt\epsilon 形にする。高温展開は f≈ze−βϵ−z2e−2βϵf\approx ze^{-\beta\epsilon}-z^2 e^{-2\beta\epsilon} の 2 次までで A,BA,B を読み取る。

典型ミス

ΔU\Delta U で a/V2a/V^2 の積分の符号を取り違える（∫1/V2dV=−1/V\int 1/V^2 dV=-1/V）。状態密度の係数で因子 22（スピン縮退）を落とす。等面積則の A1A_1、A2A_2 の取り方の符号を間違える。BB の値を計算する際 1/23/2−1/25/2=1/(42)1/2^{3/2}-1/2^{5/2}=1/(4\sqrt 2) の整理を慎重に。

試験で書くべきポイント

Maxwell 関係 (∂S/∂V)T=(∂P/∂T)V(\partial S/\partial V)_T=(\partial P/\partial T)_V を明記して引用する。van der Waals では (∂P/∂T)V=R/(V−b)(\partial P/\partial T)_V=R/(V-b) から ΔU,ΔS\Delta U,\Delta S が一気に出る。フェルミ気体では u=(3/5)nϵFu=(3/5)n\epsilon_F の係数 3/53/5 を導出するときの k4dkk^4 dk 積分を丁寧に書く。B>0B>0 の物理理由（パウリ排他律→平均エネルギーの上昇）は一文で良いから明記。

熱・統計力学の途中式・最終答をPDFで見る

東北大 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 院試 過去問の収録6年度