東北大 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2026年度 院試 解答例・解説

方針

[1] は2階定数係数。複素特性根を実形に直し特解を加算する。[2] は対称行列の二次形式が固有座標で対角化されることを使い、線形制約は $\boldsymbol u_3$ 方向を切るのと等価。[3] は対称性で平面寄与をゼロにできる。[4] はフーリエ変換で熱方程式を $k$ 空間の指数減衰に帰着し、解の周期化と Riemann 和でゼロ点極限を評価する。

典型ミス

固有ベクトルを規格化せずに $f=X^2+3Y^2+6Z^2$ を書くと係数が変わる。$S_3$ の外向き法線は $(1,-1,0)/\sqrt 2$（$\boldsymbol n$ の符号）。$\delta$ 関数からの熱核解で $1/\sqrt{4\pi t}$ の係数（$2\pi$ ではない）を落としやすい。

試験で書くべきポイント

ガウスの定理と直接面積分が一致することを明示する。$t\to\infty$ の極限では Riemann 和の連続化を使い、最後に物理像（拡散による濃度均一化）でしめくくる。

方針

[1] は中心力ポテンシャルの典型問題。動径振動と動径＋遠心の振動の違いを有効ポテンシャルで処理する。[2] は剛体の並進・回転の独立な運動方程式とインパルス・モーメンタムの保存則。衝突問題では摩擦力積と角運動量変化が同じ $\Delta P_x$ で結ばれる点が肝。

典型ミス

ばねの伸びを $r-2h$ と書くのは誤り。空間的にばねは斜めに張られているので $\sqrt{r^2+h^2}-2h$。動径の有効ポテンシャルの曲率には遠心項の寄与（$3L^2/mr^4$ など）を必ず加える。剛体衝突で $\omega$ の符号は摩擦力の向きと一致するように決める。

試験で書くべきポイント

$L=m r^2\dot\phi$ から $E$ への代入経路を明示する。すべらず転がりへの遷移条件 $\dot x=R\dot\theta$ を $t_1$ の決定式として書き出す。エネルギー比は $\sin^2\phi_0$（$y$ 成分保存分）と $\cos^2\phi_0$ にかかる係数（並進＋回転に分配される割合）に分けて表すと検算が容易。

方針

[1] は二重の球殻でガウス則と電位の連続性を順に積み上げる。鏡像法は「相似三角形で $|\mathrm{AP}|/|\mathrm{BP}|=d/R$」を見抜くと一発で電位条件が解ける。絶縁球の追加鏡像は「球面の総誘導電荷を打ち消す中心電荷」と説明できる。[2] は軸上磁場の公式と $U=-\boldsymbol m\cdot\boldsymbol B$、平衡条件は $dU/dz=0$、到達条件はエネルギー保存。

典型ミス

鏡像電荷の符号と位置（$d'=R^2/d$）の取り違え。$C_2$ の電流方向と磁気モーメントの向き（$+z$／$-z$）の混同。$z_0$ を求める際に $z=0$ を解と誤認しないこと（極大）。

試験で書くべきポイント

電位は無限遠から積分する、空隙では球殻の影響を消す（球内電荷は $q$ のみ）、絶縁球の追加鏡像は中心 O に置く。ポテンシャル極値の計算では因子分けで $4R^2+z^2=2(R^2+z^2)$ を導く流れを書き残す。

方針

[1] のデルタポテンシャルは「ジャンプ条件」$\psi'(+0)-\psi'(-0)=-(2mg/\hbar^2)\psi(0)$ が要。基底状態の $\langle\hat p^2\rangle$ は SE 方程式から $\hat p^2/(2m)=E-V$ で計算するのが楽。二重ウェルでは対称・反対称の重ね合わせがトンネル振動を生む（時刻 $t_*$ で「左→右」へ移動）。[2] は生成消滅演算子で粒子像を整理し、$xy=\frac{\ell^2}{2}(a_x+a_x^\dagger)(a_y+a_y^\dagger)$ で行列要素を読み取る。

典型ミス

ジャンプ条件の符号を反対に取る（ポテンシャル $-g\delta$ なので右辺は $-2mg/\hbar^2$）。重なり積分 $\langle\psi'_0|\psi_0\rangle=2\sqrt{\kappa\kappa'}/(\kappa+\kappa')$ で確率には自乗を取る。摂動行列の対角成分を $\langle\Phi_i|V|\Phi_i\rangle$ で計算するのを忘れない（本問では $0$）。

試験で書くべきポイント

ジャンプ条件の導出（デルタ関数を含む積分）を明示する。$\langle\hat p^2\rangle$ は $V$ のデルタ寄与を「$g|\psi(0)|^2$」として計上。摂動の $V_{12}$ は $a_x a_y^\dagger$ と $a_x^\dagger a_y$ のみが残ることを書き、行列固有値で $\Delta E_\pm$ を結論する。

方針

[1] は熱力学関係式を使い、van der Waals の補正項のみが内部エネルギーに残るのを示す。等面積則は $G$ の連続性とエントロピー・内部エネルギーの相違を結合する標準的導出。[2] は $T=0$ で球状フェルミ面の体積から $n,\mu,u$ を計算し、状態密度を $\sqrt\epsilon$ 形にする。高温展開は $f\approx ze^{-\beta\epsilon}-z^2 e^{-2\beta\epsilon}$ の 2 次までで $A,B$ を読み取る。

典型ミス

$\Delta U$ で $a/V^2$ の積分の符号を取り違える（$\int 1/V^2 dV=-1/V$）。状態密度の係数で因子 $2$（スピン縮退）を落とす。等面積則の $A_1$、$A_2$ の取り方の符号を間違える。$B$ の値を計算する際 $1/2^{3/2}-1/2^{5/2}=1/(4\sqrt 2)$ の整理を慎重に。

試験で書くべきポイント

Maxwell 関係 $(\partial S/\partial V)_T=(\partial P/\partial T)_V$ を明記して引用する。van der Waals では $(\partial P/\partial T)_V=R/(V-b)$ から $\Delta U,\Delta S$ が一気に出る。フェルミ気体では $u=(3/5)n\epsilon_F$ の係数 $3/5$ を導出するときの $k^4 dk$ 積分を丁寧に書く。$B>0$ の物理理由（パウリ排他律→平均エネルギーの上昇）は一文で良いから明記。