東北大 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2022年度 院試 解答例・解説

方針

[1] は係数比較と特性方程式、[2] は固有値の絶対値で挙動を分ける、[3] は単位円上の留数、[4] は $\nabla\times$ の消滅条件と直線パラメータ積分。各小問とも短時間で済むので最後の検算に時間を残したい。

典型ミス

[2] 2) で「縮退して原点になる」と書くと $\boldsymbol u_{1}$ 方向に発散する成分を見落とす。$|\lambda|>1$ の固有値があるかどうかを必ず最初に確認する。[4] 1) で法線ベクトルの符号を逆にしないこと。$z$ 成分が正という条件から $(2s,2t,1)$ をそのまま使う。

試験で書くべきポイント

[3] では $|z|=1$ 内の極が $1/2$ で、$z=2$ は外であることを明記する。[4] 2b) で線積分が経路によらないことは、2a) の保存場の確認で保証されている点を一言添えると満点を確実にできる。

方針

転がる剛体は「並進と回転の両方にエネルギーが入る」点が肝。摩擦のない区間では回転は維持されるので、$h_{1}$ は並進 KE のみが寄与する。連成振動はラグランジアンを書いてから固有値問題に帰着させると符号ミスが起きにくい。

典型ミス

2) で「全エネルギーが位置エネルギーに変換される」と書くと $h_{1}=h_{A}-h_{B}$ となり誤り。摩擦のない FG 上では回転 KE が転換されない点に注意する。3) では $I$ の具体値を求めず、「球殻のほうが慣性モーメントが大きい」という一般論で十分。

試験で書くべきポイント

連成振動の共鳴条件は「固有モードと外力ベクトルの内積が非零」と書くのが安全。$\omega_{2}$ で共鳴しない理由として「中央成分が 0 だから外力と直交する」と一行添える。

方針

電気双極子は「テイラー展開で双極子モーメントが定義される」ことを毎回明示するのが安全。鏡像問題では「実体と像のエネルギーは仮想電荷ペアエネルギーの 1/2」を必ず書く。光学では Fresnel 係数の導出は接線連続条件から $\omega$ と $k$ の比を整理するだけ。

典型ミス

鏡像問題で 1/2 を忘れると 2 倍誤差。鏡像双極子の向きは「面に垂直成分は不変、面に平行成分は反転」と覚える。Fresnel 係数で $n=\sqrt{\varepsilon/\varepsilon_{0}}$ と置くか屈折率 $n$ と書くかは混同しないこと。

試験で書くべきポイント

横波性は $\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ が根拠。波動方程式の導出は二回微分するだけだが「真空中ゆえ $\nabla\cdot\boldsymbol E=0$」を一行明記する。反射率の最小・最大の物理的意味（$\varepsilon=\varepsilon_{0}$ で 0、$\varepsilon\to\infty$ で 1）に触れると満点を狙える。

方針

$\delta$ 関数ポテンシャルでの接続条件は「波動関数連続、導関数の差は $-2mg\psi(0)/\hbar^{2}$」で覚える。$\rho_{1}\rho_{2}$ 平面の双曲線と直線の交点という幾何的描像で「束縛が起きるには $g$ がある閾値以上」が見える。

典型ミス

$\delta$ 関数が引力（$-g\delta(x)$、$g>0$）であることに注意。引力が弱いと束縛は出来ない。$\ell=1$ の角度関数の直交性は積分でなく対称性（$\phi$ の偶奇）で示してもよい。

試験で書くべきポイント

[2] 4) で「摂動が球対称なら $\ell,m$ について非対角項は 0」と一行書くと「対角化不要」が論理的に正当化される。動径積分の値は表をそのまま使うが、$\Delta E=\sigma\langle r\rangle$ の形を経由するので $\ell$ 方向の規格化と $4\pi$ の因子は約分される。

方針

[1] は $F$ の偏微分で機械的に出る Maxwell 関係式の典型問題。[2] は $(\partial U/\partial V)_{T}=a/V^{2}$ さえ出れば 1a, 1b は連立で済む。[3] の分配関数は $Z_{1},Z_{2}$ の各因子を独立に積分するだけだが、回転の Jacobian $\sin\theta$ が $p_{\phi}$ 積分から自然に出ることに注意。

典型ミス

$Z_{2}$ で $\sin^{2}\theta$ が分母にあると不安になりがちだが、$p_{\phi}$ Gauss 積分で $\sin\theta$ が掛かる結果、$d\theta\,d\phi$ 上の積分は綺麗にまとまる。$\langle\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\rangle$ で項数を数え間違えると等分配則との整合性が崩れる。

試験で書くべきポイント

$x\to\infty$ では双極子が電場方向に「凍結」して角度自由度の運動が 2 次元調和振動子的になり、$C_{V}=7R/2$ に上昇する点を 1 行触れると満点を狙える。$x\to 0$ ではポテンシャル $-\mu E\cos\theta$ が二次形式でないため等分配則の数え方どおり $5R/2$ となる。