東北大 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

[1]\,1) 特性方程式は $\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)+3=\lambda^{2}-1=0$ より $$\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=1.$$ $\lambda_{1}=-1$ について $(A+I)\boldsymbol u=0$ を解いて $\boldsymbol u_{1}=(1,-1)^{\top}$。 $\lambda_{2}=1$ について $\boldsymbol u_{2}=(3,-1)^{\top}$。

[1]\,2) $\boldsymbol x(0)=(1,3)^{\top}$ を $\alpha\boldsymbol u_{1}+\beta\boldsymbol u_{2}$ と分解すると $$\alpha+3\beta=1,\quad -\alpha-\beta=3\ \Rightarrow\ \alpha=-5,\ \beta=2.$$ $\ddot{\boldsymbol x}=A\boldsymbol x$ を $\boldsymbol u_{i}$ 方向に射影すると $\ddot c_{i}=\lambda_{i}c_{i}$。 $\lambda_{1}=-1$ 成分は $\cos t,\sin t$、$\lambda_{2}=1$ 成分は $\cosh t,\sinh t$ で展開できる。 $\dot{\boldsymbol x}(0)=0$ より $\sin,\sinh$ 成分は消えて $$\boldsymbol x(t)=-5\cos t\,\boldsymbol u_{1}+2\cosh t\,\boldsymbol u_{2}.$$ よって $$x_{1}(t)=-5\cos t+6\cosh t,\qquad x_{2}(t)=5\cos t-2\cosh t.$$

[2]\,1) 偶関数なので $b_{n}=0$。 $$a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)\,dx.$$

[2]\,2) $a_{0}=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx=\pi$。 $$a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\!\left[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^{2}}\right]_{0}^{\pi} =\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{\pi n^{2}}.$$ すなわち $a_{n}=-\dfrac{4}{\pi n^{2}}$（$n$ 奇数），$a_{n}=0$（$n$ 偶数）。

[2]\,3) Parseval の等式 $\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^{2}dx=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$ に代入する。左辺は $\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{2\pi^{3}}{3}=\dfrac{2\pi^{2}}{3}$。 $$\frac{2\pi^{2}}{3}=\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{16}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{4}} \ \Longrightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{96}.$$

[3]\,1) $u=X(x)T(t)$ より $T'/T=X''/X=-k^{2}$（負分離定数）。 $X'(0)=X'(L)=0$ から $X_{n}(x)=\cos(n\pi x/L)$（$n=0,1,2,\dots$）、$T_{n}(t)=\exp(-(n\pi/L)^{2}t)$。一般解は $$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}t\right).$$

[3]\,2) $\sin^{2}(\pi x/L)=\dfrac{1-\cos(2\pi x/L)}{2}$ なので $A_{0}=\tfrac{1}{2}$、$A_{2}=-\tfrac{1}{2}$、他はゼロ。 $$u(x,t)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{2\pi x}{L}\right)\exp\!\left(-\tfrac{4\pi^{2}}{L^{2}}t\right).$$

[4] 被積分関数 $1/(z^{6}+1)$ の極のうち扇形 $C$ の内部にあるのは $z_{0}=e^{i\pi/6}$ のみ。留数は $$\operatorname{Res}_{z=z_{0}}\!\frac{1}{z^{6}+1}=\frac{1}{6z_{0}^{5}}=\frac{e^{-i5\pi/6}}{6}.$$ $R\to\infty$ で円弧の寄与は消え、実軸上の積分 $I$ と帰路（$z=re^{i\pi/3}$）の寄与 $-e^{i\pi/3}I$ を合わせて $$(1-e^{i\pi/3})I=2\pi i\cdot\frac{e^{-i5\pi/6}}{6}=\frac{\pi i\,e^{-i5\pi/6}}{3}.$$ $1-e^{i\pi/3}=e^{-i\pi/3}\cdot(e^{i\pi/3}\cdot 0 + \cdots)$ を直接書き下ろすより $1-e^{i\pi/3}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{-i\pi/3}$ としてから $$I=\frac{\pi i}{3}\cdot\frac{e^{-i5\pi/6}}{e^{-i\pi/3}}=\frac{\pi i}{3}\,e^{-i\pi/2}=\frac{\pi}{3}.$$