東北大 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2023年度 院試 解答例・解説

方針

線形代数の固有値分解で $\ddot{\boldsymbol x}=A\boldsymbol x$ を独立な 1 次元方程式に直す。Fourier 級数は偶関数なので $b_{n}=0$ がすぐ言えて計算量が半分になる。$\sum 1/(2n-1)^{4}$ は Parseval 一発。熱方程式の Neumann 境界では $n=0$（定数項）を忘れない。複素積分は扇形を回るとき $1-e^{i\pi/3}=e^{-i\pi/3}$ という整理を覚えておくと符号で迷わない。

典型ミス

固有値が異符号なので $\lambda_{2}=1$ 側は三角関数ではなく双曲線関数で展開する。Parseval で $a_{0}^{2}/2$ の係数を間違えやすい。熱方程式の解で $\sin^{2}=(1-\cos 2\theta)/2$ の倍角公式を使わず誤った Fourier 展開を始めると沼る。

試験で書くべきポイント

留数定理を使う際は「扇形内の極は $e^{i\pi/6}$ のみ」と明言し、円弧の寄与が $R^{-5}$ で消えることに一言触れる。最終結果が実数になることを確認すれば計算ミスをチェックできる。

方針

[1] サイクロイド単振り子は $s=4a\sin(\theta/2)$ を取れば、振幅によらず単振動になる（等時性）。Lagrangian に直接 $s$ で書き、$y$ も $s$ の二次式で表せることを見抜く。[2] 「内側を転がる剛体球」は転がり拘束 $(R-r)\dot\phi=\mp r\dot\chi$ と慣性モーメント $\tfrac{2}{5}mr^{2}$ で支配される標準問題。

典型ミス

[1] 5) 衝突点を $\theta$ 平均から推測すると間違える。$s$ は時間の cos に比例して原点を同時に通過するのが正しい描像。[2] エネルギー保存で並進と回転の両方を入れ忘れて $v=\sqrt{2g(R-r)(1-\cos\phi_{0})}$ としてしまうミスが多い。係数 $7/10$ は剛体球の特徴。

試験で書くべきポイント

[2] 4)\,b) は「はなした瞬間は $\dot\phi=0$ なので向心力ゼロ、法線方向は単純な力の釣り合い」と明記。摩擦比の最大値は $\tfrac{2}{7}\tan\phi_{0}$ で求まり、$\tan\alpha=7\mu/2$ に到達するロジックを書くと点が安定する。

方針

[1] 球内部の電場が中心からの距離に比例することを使えば、点電荷 $-Q$ の振る舞いは「ばね定数 $Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0}R^{3})$ の調和振動子」と同じ。導体球殻問題は「内部の Gauss 面で総電荷ゼロ → 全ての面の総和ゼロ → 外側ゼロ」の三段論法で説明する。[2] 一様磁場中の閉回路は力 0、トルクは $\boldsymbol m\times\boldsymbol B$。磁気双極子の遠方近似は $\Phi\propto 1/d^{3}$、相対変位を入れ替えるだけで運動の問題に拡張できる。

典型ミス

[1]\,4) ポテンシャルの双極子展開で帯電球からの $1/r$ 項を引き忘れる。[1]\,5) は「帯電球と点電荷の電場が外側に出ないか？」と迷うが、$Q+(-Q)=0$ なので Gauss 面で必ずゼロになる点を強調すれば十分。[2]\,3)\,b) は $\Phi$ の符号を $C_{1}$ の通過後にどう扱うかが分岐点。$|z_{r}|^{-3}$ を採用すると $t>d/v_{0}$ でも結果が滑らかになる。

試験で書くべきポイント

導体遮蔽の問題は「導体内部 $\boldsymbol E=0$ から内側面電荷が定まる、総電荷保存から外側面電荷が定まる」の論理を必ず文章で書く。電磁誘導は「変位 $v_{0}t$ を磁束に代入してから時間微分」の順序を守ると符号誤りが減る。

方針

[1] 演算子法で進めれば $E_{n}=\hbar\omega(n+\tfrac12)$ と $\langle n|x|n+1\rangle=\sqrt{\hbar(n+1)/(2m\omega)}$ がただちに使え、$\langle x\rangle=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}\cos\omega t$ が即座に書ける。$C$ は $\Vert a^{\dagger}\varphi_{0}\Vert=1$ から自動的に 1。[2] 動径方程式は標準形へ整理してから解く。$(\ell,m)=(0,0)$ は 1 次元無限井戸の境界条件問題と等価。

典型ミス

[1]\,5) で $C=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ などと答えがちだが、$a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$ の Bose 因子で打ち消されて $C=1$。[2] 動径方程式で $\chi=rR$ と置く際、原点での境界条件 $\chi(0)=0$（波動関数の有界性）を忘れずに書く。摂動項は $\boldsymbol p\!\cdot\!\boldsymbol A+\boldsymbol A\!\cdot\!\boldsymbol p$ をクーロンゲージ $\nabla\!\cdot\!\boldsymbol A=0$ で簡略化できる。

試験で書くべきポイント

Zeeman 分裂の理由は「中心力ポテンシャルでは $[H_{0},L_{z}]=0$ なので $L_{z}$ 固有状態は良い量子数」と述べ、「縮退が摂動 $-eBL_{z}/(2\mu)$ により $\hbar m$ に比例する一次補正で解ける」と書く。期待値 $\langle x\rangle$ は厳密解（時間振動）まで提示すると差がつく。

方針

[1] Joule--Thomson 過程は「断熱・両端定圧 → 仕事の総和は $P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}$」が出発点。Maxwell 関係式は $G(T,P)$ の交換可能性で機械的に得られる。van der Waals 気体は近似展開された状態方程式を直接 $T$ で偏微分するだけ。[2] グランド分配関数が $\Xi=\exp(ze^{\mu/k_{B}T})$ となるのは古典理想気体の特徴。重力中では $z\to z(y)$ の置き換えと「化学ポテンシャル一定」の条件から各高さの圧力・密度が得られる。

典型ミス

$\mu_{\text{JT}}$ の符号で「冷却 = $\mu_{\text{JT}}>0$」を逆にすると 4)\,c) の図が反転する。逆転温度 $T_{i}=2a/(Rb)$ も覚えておくと検算になる。$\bar u=k_{B}T$ はエネルギー等分配（自由度 1）と一致する点を確認できる。

試験で書くべきポイント

$\Delta H=0$ の証明では「左ピストン+右ピストンの仕事と内部エネルギー変化を全部書く」と紛れがない。[2] では「化学ポテンシャル $\mu$ が高さによらないため、各 $\Lambda$ を独立な大正準集合と見なせる」を一文書くと採点者に方針が伝わる。