東北大 理学研究科 物理学専攻 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2025年度 院試 解答例・解説

方針

[1] は対称行列なので $U$ をユニタリにとれ、関数計算は $f(A)=Uf(D)U^{-1}$。 [2] は単位円上の有理関数積分の標準形で、$|z|<1$ の極だけ拾う。 [3] は球対称ポテンシャルからの勾配が $\boldsymbol r/r^{3}$ であることに気付くと面積分は形式的。 [4] はパーセバルの等式の典型例。

典型ミス

[1]3) で $e^{i\pi}=-1,\,e^{2i\pi}=1$ を取り違える。 [2] で $|z|>1$ の極 $z=-5$ を含めてしまう。 [3] でガウスの定理を使うとき、点電荷型の $\delta$ 関数寄与を忘れて $0$ と答える誤りがあるが、本問は面積分を直接計算する設問である。 [4]3) では $a_{0}$ の定義（係数 $1/2$ 付き）を取り違えると $\pi^{4}/90$ にならない。

試験で書くべきポイント

固有ベクトル規格化条件（第 1 成分が正の実数）の確認、複素積分での被積分関数の極の位置と留数、面積分での法線ベクトルの選び方、フーリエ係数の偶奇性に基づく省略を明示すること。

方針

2 質点ばね問題は重心と相対座標に分離するのが定石。換算質量は $\mu=m\cdot 2m/(m+2m)=2m/3$。 リング上の運動はラグランジアン形式が最短。回転に伴う遠心ポテンシャルが $\sin^{2}\theta$ に比例する負の寄与として現れる点が要。

典型ミス

[1]1d) で換算質量を $m$ や $2m$ にすると $\Omega$ が誤る。 [1]2) で角運動量を実験室系と重心系で混同しない。原点まわりでも値は同じ ($-2mlv_{0}/3$) だが、重心系で計算するほうが安全。 [2]4) で $V_{\mathrm{eff}}$ の符号を間違えやすい。$L=K-U$ の中で運動エネルギー部分の $\omega^{2}\sin^{2}\theta$ 項を $V_{\mathrm{eff}}$ に移すとき符号反転に注意。 [2]6) は単純なエネルギー保存。出発点である $\theta=2\pi/3$ が極小であることを確認すること。

試験で書くべきポイント

重心の等速直線運動、相対座標の単振動、初期条件からの $X(t)$ と $x_{r}(t)$ の組合せ。 リング問題では「角速度一定の拘束＝回転座標系」と見て遠心ポテンシャルを書き下すこと。 $V_{\mathrm{eff}}$ の極大・極小の位置と値を明示し、保存則からの不等式を導くこと。

方針

[1]1) 円筒対称＋ガウスの法則で電場、$\phi=-\int E\,dr$ で電位（基準は円柱側面）。 [1]2) 接地平面の鏡像は $-\lambda$ at $x=-d$。表面電荷密度は $\sigma=\varepsilon_{0}E_{x}|_{x=0^{+}}$、誘導総電荷は像電荷と一致するのが鏡像法の要諦。 [2]1) ビオ・サバール則は対称軸上で初等。$z$ 成分のみが残ることを書く。 [2]2) ソレノイド軸上の積分で $\mu_{0}nI$ が出る。軸外も対称性 $+$ アンペール則で同じ値。 [2]3) ファラデー則は円形 Amp\`erean ループで領域別に評価する。

典型ミス

[1]1c) で電位の基準を「無限遠」と取ると、$r>a$ で発散して定義不能。問題文の「円柱側面」基準を守ること。 [1]2d) で $\sigma$ の符号を取り違えると総電荷が $+\lambda$ になる。鏡像が $-\lambda$ なら誘導電荷は $-\lambda$。 [2]2) ソレノイド外部の磁場をゼロと言うには「無限遠でゼロ＋対称性」の議論が要る。実用上は与件として書く。 [2]3b) 領域別の誘導電場で、$r>a$ のときの磁束は $\pi r^{2}\cdot\mu_{0}nI$ ではなく $\pi a^{2}\cdot\mu_{0}nI$。

試験で書くべきポイント

ガウス則・アンペール則・ファラデー則を適用する閉曲面（閉曲線）の選び方を明示。 鏡像法では「像電荷の位置と符号」「電位の基準」「導体は接地」を冒頭で宣言する。 誘導電場は領域別に解を分ける必要があることを書き分ける。

方針

[1] は調和振動子代数の典型問題。生成消滅演算子の交換関係 $[a,a^{\dagger}]=1$ と $H_{0}=\hbar\omega(a^{\dagger}a+1/2)$ を礎に、$a\varphi_{0}=0$ から基底状態を解析的に求める。電場印加は平方完成で平衡シフト $x_{0}$ と零点定数。 [2] は角運動量合成の典型。$|j,m_{j}\rangle$ への展開を Clebsch--Gordan 係数なしで $J_{\pm}$ で構成する流れ。

典型ミス

[1]4) で規格化定数を $1/\sqrt{n}$ と書く誤り（実際は $1/\sqrt{n!}$）。 [1]5) で $\tilde E_{0}$ から零点エネルギー $\hbar\omega/2$ を落とす誤り。 [2]4) で $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ を直接展開すると面倒。$J^{2}=J_{-}J_{+}+J_{z}^{2}+\hbar J_{z}$（または $J_{+}J_{-}+J_{z}^{2}-\hbar J_{z}$）を使うのが正解。 [2]5) で $|\psi_{2}\rangle$ の規格化を求めずに $J^{2}$ 固有値だけを問うているので、係数比のみ正確に書けば十分。

試験で書くべきポイント

昇降演算子の作用結果を使って $|\psi_{1}\rangle$ を具体的に書き下し、$[J^{2},J_{-}]=0$ から固有値が保たれることを述べる。 $p$ 軌道のスピン軌道分裂では $j=3/2$（$p_{3/2}$, 4 重）と $j=1/2$（$p_{1/2}$, 2 重）の縮退度を必ず明示し、エネルギー分裂幅 $3\lambda\hbar^{2}/2$ を結論に含める。

方針

[1] エントロピーは状態量。経路によらず $\Delta S$ は始終状態だけで決まる。等温なら $Q/T$、断熱可逆なら 0、定積なら $C_{V}\ln(T_{f}/T_{i})$。 [2] 1 個の振動子の Bose 分布から出発し、状態密度 $P(\omega)$ で重ね合わせるのが Debye 流。低温極限では積分上端を $\infty$ に伸ばす近似が肝。

典型ミス

[1]1d) で過程 B のエントロピー変化を「断熱だから 0」と早合点する誤り。1$\to$3 は 0 だが 3$\to$2 は定積過熱で $R\ln(V_{2}/V_{1})$ 寄与あり。和を取る必要あり。 [1]2) 自由膨張で「断熱だから $\Delta S=0$」とする誤り。自由膨張は不可逆過程なので $\Delta Q=0$ でも $\Delta S>0$。 [2]3b) 低温極限で指数関数 $e^{-\beta\hbar\Omega}$ を残す省略をしないこと。これが Einstein 模型と Debye 模型を区別する。 [2]4a) Debye 関数の積分公式 $\int x^{3}/(e^{x}-1)dx=\pi^{4}/15$ を使うこと。

試験で書くべきポイント

状態方程式・第一法則・断熱条件 $TV^{R/C_{V}}=$const. の導出、エントロピー保存の経路独立性。 高温極限で熱容量が $Nk_{B}$（１振動子あたり 1 自由度の等分配）に飽和することを古典極限の言明として書く。 Debye 模型の特徴（低温 $T^{3}$、高温 $Nk_{B}$、特性温度 $T_{D}$）を概形図に注釈すること。