北大 理学院 自然史科学専攻 専門科目（地球惑星科学） 2025年度夏期募集 院試 解答例・解説

方針

前半は対角化、後半は行列計算である。$A^n$ は直接かけ算を繰り返すのではなく、固有値が異なることを使って対角化するのが最短で安定する。

途中式の残し方

固有値だけを書くと、固有ベクトルの対応と $P$ の列順が曖昧になる。試験では $$AP=P\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}$$ となる列の並べ方を明示するとよい。$B^{-1}$ は最後に $BB^{-1}=I$ の形で検算できるので、掃き出しの途中で符号を誤っても発見しやすい。

検算

$n=1$ を $A^n$ の式に代入すると $$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3&6\\3&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}=A$$ となる。また、連立方程式の解は第3式で $$-16-6+10+18=6$$ となり、少なくとも一行は即座に確認できる。

典型ミス

$P^{-1}AP$ の対角成分の順番は、$P$ の列に置いた固有ベクトルの順番で決まる。固有値だけを先に書き、あとから $P$ を作ると、$r,s$ を入れ替えるミスが起こりやすい。

試験で書くべきポイント

固有方程式、各固有空間、対角化の形、$A^n$ の復元式をこの順に書けば十分である。逆行列と連立方程式では、最終結果だけでなく「逆行列を右辺にかけた」ことが分かる一行を入れると採点者に伝わりやすい。

方針

線積分は直接4辺に分けてもよいが、回転の面積分に変えると一行で終わる。表面積分も6面に分けず、発散定理で体積積分にするのが安定である。

検算

$\nabla\times(A\times B)$ の $z$ 成分は $$\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial(-2y)}{\partial y}=3$$ で一定である。長方形面積が $8$ なので線積分 $24$ は符号以外すぐ確認できる。図の向きが逆向きなら答は $-24$ になるため、経路の矢印を必ず確認する。

典型ミス

$A\times B$ と $B\times A$ を取り違えると符号が反転する。また、$B$ の第1成分は $x/2$ なので、図選択では水平方向が弱いことまで見なければならない。

試験で書くべきポイント

図の選択問題では、文字だけでなく「$(1,0)$ で上向き」「$(0,1)$ で左向き」のように代表点で向きを確認した根拠を書くと、図を見間違えていないことが伝わる。

方針

この問題は、変換の定義に忠実に変数変換するだけでほぼ解ける。熱方程式では、空間微分が $-k^2$ の掛け算に変わるため、時間についての一階常微分方程式になる。

途中式

畳み込み定理では、積分順序の交換後に $x-y$ を新しい変数にする。ここで指数関数から出る $e^{-iky}$ を落とすと、最後の $G(k)$ が出ない。

検算

熱核 $$G_t(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/(4t)}$$ は $$\int_{-\infty}^{\infty}G_t(x)\,dx=1$$ を満たす。したがって、初期値が定数なら解もその定数のままになり、拡散方程式の物理的性質と合う。

典型ミス

この変換規約では逆変換に $1/(2\pi)$ が付く。別の規約で覚えた公式をそのまま使うと、熱核の係数を誤る。最後は必ず変換規約に戻して係数を確認する。

試験で書くべきポイント

矩形関数の $k=0$ は式の見かけでは割り算があるが、極限で $2x_0$ と書ける。小さい点だが、答案に入れておくと丁寧である。

方針

前半は極座標の微分公式、後半はエネルギー保存と半径方向の力のつり合いで解く。円運動では張力が仕事をしないので、速度は重力ポテンシャルだけで決まる。

途中式

張力の式では、半径方向を中心向きに取ることが重要である。外向きを正にして書く場合もよいが、符号を最後まで一貫させなければならない。

検算

最下点 $\theta=0$ では $$u=u_0,\qquad T=\frac{m u_0^2}{l}+mg$$ となり、張力が重力に加えて向心力を受け持つ形になる。上端では $$u^2=u_0^2-4gl$$ であり、張力条件 $T\ge0$ は単に上端に届く条件 $u_0^2\ge4gl$ より強い。

典型ミス

「上端に到達できる」ことと「ひもがたるまない」ことを同じ条件にしてしまうミスが多い。上端で速度が残っていても、張力が負になるなら円軌道は維持されない。

試験で書くべきポイント

接線方向、半径方向の正方向を答案内で明示する。特に張力の式は、正方向が分かれば採点者が符号の妥当性を追いやすい。

方針

磁場だけなら速度の大きさは変わらず、向きだけが回転する。複素数 $v_x+i v_y$ を使うと、2本の連立微分方程式が1本の指数関数になる。

途中式

$v\times B$ の符号が全てを決める。$B$ が $+z$ 方向なら $$v\times B=(Bv_y,-Bv_x,0)$$ であり、ここを逆にすると回転方向とドリフトの説明が反転する。

検算

$E\times B/B^2$ を計算すると $$\frac{(0,E,0)\times(0,0,B)}{B^2} =\left(\frac{E}{B},0,0\right)$$ で、案内中心の速度 $E/B$ と一致する。

典型ミス

角振動数を $qB/m$ と書く場合、$q$ の符号は回転方向を含む。問題が角振動数の大きさを尋ねているときは $|q|B/m$ と書くのが無難である。

試験で書くべきポイント

電場を入れた小問では、単に「ドリフトする」と書くのではなく、$v_x'=v_x-E/B$ の置換で磁場のみの方程式に戻ることを示すと、導出として十分になる。

方針

自由膨張に近い設定だが、途中で左右が熱平衡を保つとされているため、各部分を同じ温度の可逆的な体積変化に置き換えてエントロピーを計算する。エントロピーは状態量なので、この置き換えが使える。

途中式

移動した $N$ モルの「移動前の体積」は $V$ ではなく $(N/n)V$ である。初めに左容器全体 $V$ を $n$ モルで共有していたことから、モル数比で体積を割り当てる。

検算

$N=0$ または $N=n$ では片側の項だけが残り、極限として $\Delta S=0$ になる。これは「何も移動していない」または「全てが片側へ移っただけで同じ体積を占める」極限と整合する。最大が中央 $N=n/2$ に来るのも対称性と合う。

典型ミス

不可逆過程だからといって $dS=dQ/T=0$ としてはいけない。$dQ=0$ は外界との熱の出入りがないという意味であり、断熱不可逆過程ではエントロピーは増加し得る。

試験で書くべきポイント

温度一定の説明では「理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数」と明記する。これを書かないと、断熱だから温度一定と誤解しているように見える。

方針

U--Pb の2点データは、アイソクロンの傾きと切片として読む。傾きが $e^{\lambda t}-1$、切片が初生鉛同位体比である。

途中式

今回の数値は差がどちらも $151$ になるため、傾きがちょうど $1$ になる。したがって年代は半減期そのものになる。ここを見抜くと計算がかなり短くなる。

検算

初生比を $9$ とすると、データ1は $$9+370=379$$ データ2は $$9+521=530$$ となり、両方を再現する。

典型ミス

${}^{235}\mathrm{U}$ 系列と ${}^{238}\mathrm{U}$ 系列の最終鉛同位体を混同しやすい。${}^{235}\mathrm{U}$ は ${}^{207}\mathrm{Pb}$、${}^{238}\mathrm{U}$ は ${}^{206}\mathrm{Pb}$ である。

試験で書くべきポイント

年代の不一致は「測定誤差」とだけ書くより、元素移動、熱的リセット、閉鎖温度差、初生同位体不均一などの具体的な過程を一つ示す方が評価される。

方針

前半は化学平衡、後半は連続槽型の物質収支である。湖内が均質という仮定があるため、流出濃度も湖内濃度 $C$ と同じにできる。

途中式

定常状態の式は $$\frac{q}{V}(C_0-C)=kC$$ である。左辺は流入による補給、右辺は岩石反応による消費を表す。単位はどちらも $\mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}$ でそろう。

検算

$(V/q)k=999$ と大きいので、反応によって $\mathrm{H^+}$ は約 $1000$ 分の1に減る。pH が $1$ から $4$ に上がることは、このオーダー計算と一致する。

さらに1年間の収支を見ると $$n_{\mathrm{out}}+n_{\mathrm{cons}} =3.2\times10^6+3.1968\times10^9 \simeq3.20\times10^9\ \mathrm{mol}$$ で、流入量 $n_{\mathrm{in}}=3.2\times10^9\ \mathrm{mol}$ と一致する。定常状態では湖内に蓄積しないため、この一致は強い検算になる。

典型ミス

カオリナイト量を流出する $\mathrm{H^+}$ 量から割り出すと小さくなりすぎる。カオリナイト溶解量は反応で消費された $\mathrm{H^+}$ 量から、係数 $6$ を使って求める。 また、$k$ の単位は $\mathrm{s^{-1}}$ なので $(V/q)k$ は無次元である。 $V/q$ を年に換算してから $k$ を掛けると、秒との混在で $10^7$ 倍ずれる。

試験で書くべきポイント

圧力の小問では、平衡定数の式を書かなくても、気体分子数が $3$ から $4$ に増える反応であることを示せば理由として十分である。

方針

芳香族性は名前ではなく電子数と共役の連続性で判定する。アミノ酸は、pH と等電点の大小関係から平均電荷を決めればよい。

途中式

アニリンが水層へ移る理由は、塩酸で $$\mathrm{C_6H_5NH_2+H^+\rightarrow C_6H_5NH_3^+}$$ となるためである。イオン化した化合物は有機層より水層に分配されやすい。

検算

pH が等電点より高いと、アミノ酸はプロトンを失いやすく平均的に負になる。pH が等電点より低いと、プロトン化されやすく平均的に正になる。この規則で3種の移動方向をまとめて確認できる。

典型ミス

ピロールでは窒素の孤立電子対が芳香族 $6\pi$ 電子系に入る。一方、ピリジンでは窒素の孤立電子対は芳香族電子数に数えない。どちらも芳香族だが、理由が異なる。

試験で書くべきポイント

電気泳動の答案では、移動方向だけでなく「pH と等電点の大小」および「平均電荷」をセットで書く。これで理由説明として完結する。

方針

炭酸塩溶解は、温度・圧力だけでなく深層水の「年齢」と有機物分解で決まる。2ボックスモデルは式へ数値を代入するだけだが、濃度比の読み替えを間違えないことが重要である。

途中式

「表層水が河川水の25\%、深層水の50\%」という条件から $$C_{\mathrm{surface}}=0.25C_{\mathrm{river}} =0.50C_{\mathrm{deep}}$$ であり、$C_{\mathrm{deep}}=0.50C_{\mathrm{river}}$ となる。ここを $C_{\mathrm{deep}}=2C_{\mathrm{river}}$ と誤読しない。

検算

$f=1/6$、$g=6/11$ なので $fg=1/11$ である。したがって滞留時間は混合時間の11倍となり、$1.98\times10^4$ 年という値はオーダーとして妥当である。

典型ミス

リソクラインと CCD を同じ定義で書くミスが多い。リソクラインは「溶解が目立ち始める深度」、CCD は「堆積物として残らなくなる深度」である。

試験で書くべきポイント

同位体比の説明では、単に「風化が増えた」と書くだけでなく、${}^{87}\mathrm{Sr}$ に富む古い大陸地殻由来の Sr が海洋へ入る、と同位体の向きまで書く。

方針

柱状図の問題では、岩相、化石、放射年代を別々に読んでから統合する。特に礫岩中の花崗岩礫の年代は「礫の供給源の年代」であり、堆積年代そのものではない点に注意する。

途中式

地域Aは、枕状溶岩、チャート、珪質泥岩、タービダイトという典型的な海洋プレート層序である。これは一つの場所で水深が単純に変わったというより、プレートが移動しながら堆積場を変えていった記録と読む。

検算

貫入年代は、貫入される地層より若くなければならない。地層20では 50 Ma の制約があるため、候補リストからそれより若い 30 Ma だけが残る。

典型ミス

礫岩中の古い礫の年代を、その礫岩層の堆積年代と同一視してはいけない。礫は母岩から削られて再堆積するため、礫の年代は堆積年代の上限、すなわち「それより若い」と判断する材料である。

試験で書くべきポイント

環境復元では、岩相名だけを並べず、「なぜそう考えるか」を一つ添える。たとえば「サンゴのバウンドストーンがあるから浅海の礁環境」と書けば、根拠と結論が同時に示せる。

方針

火山学の設問は、地図、噴火様式、岩石化学を横断している。地図はプレート境界、堆積物は噴火過程、化学組成は分別鉱物というように、各図が何を判定させたいかを先に決めると迷いにくい。

途中式

DRE 換算では、体積そのものではなく質量保存を使う。 $$\rho_{\mathrm{pumice}}V_{\mathrm{pumice}} = \rho_{\mathrm{dense}}V_{\mathrm{DRE}}$$ であり、密度比を逆にしないことが重要である。

Pb の分別計算も同じく保存則で考える。Pb を結晶がほとんど取り込まないなら、 初期液中の Pb 量 $C_0M_0$ は残液中の Pb 量 $CM$ に等しい。したがって $M/M_0=C_0/C$ であり、これが残液分率 $F$ である。

検算

Pb 濃度は $0.260$ から $4.12\ \mathrm{\mu g/g}$ へ約16倍になる。結晶が Pb を含まなければ、残液は約 $1/16$ に減ったことになり、分別率が約94\%という大きな値になるのは整合的である。

典型ミス

水蒸気爆発とマグマ水蒸気爆発を、単に「水が関与したか」で区別しない。重要なのは、マグマが直接破砕されて本質物質を供給したかどうかである。

Pb 濃度では $260\ \mathrm{ng/g}=0.260\ \mathrm{\mu g/g}$ の単位換算を忘れやすい。 単位をそろえずに $260/4.12$ とすると、残液分率が1を超えて物理的に不可能になる。

試験で書くべきポイント

分別鉱物を答えるときは、鉱物名だけでなく対応する酸化物の増減を書く。たとえば「MgO 減少からかんらん石」「TiO$_2$ 減少開始から Fe--Ti 酸化物」と根拠を添える。 DRE や結晶分別率の計算問題では、最後の数値だけでなく「何を保存しているか」を一行書くと部分点を取りやすい。

方針

鉱物構造の問題は、化学式だけでなく配位数と四面体の共有様式で分類する。相図問題は、液相線・固相線・タイライン・てこの規則を順番に使う。

途中式

斜長石相図の1450$^\circ$Cでは、水平線の左交点が液、右交点が固相の組成を示す。全体組成60 wt\%はその間にあるため、てこの規則を使う。結晶量は全体組成から反対側の液組成までの距離、メルト量は反対側の固相組成までの距離に比例する。

検算

初晶は全体の60 wt\% Anより An に富む。これは斜長石の平衡結晶化では高温で Ca に富む斜長石が先に晶出するという一般則と一致する。

典型ミス

ブリッジマナイトとエンスタタイトは同じ $\mathrm{MgSiO_3}$ でも構造が全く違う。下部マントルでは Si が6配位、地殻のエンスタタイトでは Si は四面体で単鎖を作る。

試験で書くべきポイント

$G$--$P$ 図では、交点だけでなく「傾きが体積」であることを書く。高圧側で安定な相は一般に体積が小さく、$G$ の圧力依存性が小さいという説明ができる。