東大 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 専門科目 2026年度 院試 解答例・解説

方針

第I問は、まず $P-v$ 線図の水平線を等圧変化、曲線を等エントロピー変化と読む。冷凍機なので、低圧側で吸熱し、高圧側で放熱する。冷凍庫入口温度 $T_c$ は状態4、熱交換器出口温度 $T_{\mathrm{ex}}$ は状態1に対応する点が最重要である。

検算

圧縮機出口圧力は $$P_2=P_0\left(T_{\mathrm{ex}}/T_c\right)^{\kappa/(\kappa-1)}$$ であり、膨張前温度 $T_{\mathrm{ex}}$ が冷凍庫入口温度 $T_c$ より高ければ $P_2>P_0$ となる。高圧側圧力として自然である。熱交換器入口温度も $Q>0$ なら $T_2>T_{\mathrm{ex}}$ となり、熱交換器で放熱して $T_{\mathrm{ex}}$ まで下がるという向きと一致する。

典型ミス

状態1と状態2の向きを逆にして、熱交換器入口を $T_{\mathrm{ex}}$ としてしまう誤りが多い。図の流れは冷凍庫を出た後に圧縮機へ向かうため、低圧吸熱は $4\to3$、圧縮は $3\to2$ である。

熱伝導のポイント

第II問では、熱流束の符号を最初に固定する。ここでは $q_x=-\lambda dT/dx$ を正の $x$ 方向熱流束としたので、内部発熱により $dq_x/dx=w_0$ となる。対称面で $q_x(0)=0$ を使えば、積分定数を迷わず決められる。最後の $\lambda(T)$ は $x$ を消去して温度の関数として答える必要があるため、$dT/dx=-2\alpha xT$ と $q_x=w_0x$ を比較するのが最短である。

方針

これは Stokes の第1問題であり、壁の急発進による運動量の粘性拡散を解く問題である。圧力勾配、対流項、$x$ 方向の空間変化を消すと、熱伝導方程式と同じ形の拡散方程式になる。

相似変数の意味

$\eta=z/\sqrt{\nu t}$ は、粘性が時刻 $t$ までに影響を及ぼす距離が $\sqrt{\nu t}$ に比例することを表す。したがって、同じ $z$ でも時間が経つほど $\eta$ は小さくなり、速度は $u_0$ に近づく。

典型ミス

問題で与えられた相似変数は $z/\sqrt{\nu t}$ である。標準形として $z/(2\sqrt{\nu t})$ を覚えていると、常微分方程式の係数を誤りやすい。今回の定義では $$f''+\frac{\eta}{2}f'=0$$ となり、最終的に誤差関数の中身が $\eta/2$ になる。

試験で書くべきポイント

消える項を説明するときは、単に「ゼロ」と書くのではなく、$u=u(z,t)$、$w=0$、$\partial p/\partial x=0$ を明示する。最後の図では、壁面値 $u_0$ と無限遠値 $0$ が読めるように描けば十分である。

方針

この問題は、熱膨張による自由伸びと、はり・棒の弾性変形の適合条件を組み合わせる。棒 CD が伸びようとして点 D を押し上げるため、はりには中央集中荷重、棒には圧縮軸力が生じる。

符号の考え方

$\delta_{CD}$ を $$\alpha L\Delta T+\frac{R_D L}{ES}$$ としてしまうと、圧縮力で棒がさらに伸びることになり物理的におかしい。熱膨張は伸び、圧縮力は短縮であるため、差し引きになる。

降伏条件

中央荷重の単純支持はりでは反力が左右 $R_D/2$ ずつで、最大曲げモーメントは $R_D L/2$ である。全長が $2L$ であることを忘れて、公式に $L$ をそのまま代入すると係数がずれる。

座屈と降伏の比較

$\Delta T_{\mathrm{cr}}$ を直接求めてもよいが、$R_D$ は $\Delta T$ に比例するので、先に起こる現象は必要荷重の大小で判定できる。したがって $$P_{\mathrm{cr}}<R_{\text{yield}}$$ を比較するのが最短である。最終条件に $I,S,\alpha$ が残らない点はよい検算になる。

方針

前半は剛体回転の1自由度振動、後半は同じプラントにPD制御を閉ループでかける問題である。穴あき円板の慣性モーメントは「大きな円板から穴を差し引く」と考える。

慣性モーメントの検算

円板2は穴の総面積が円板1の半分である。実際、円板1の穴面積は $4\pi r^2$、円板2は $8\pi(r/2)^2=2\pi r^2$ である。そのため円板2のほうが重く、慣性モーメントも大きくなる。$J_2-J_1>0$ はこの直感と一致する。

ボード線図の描き方

数値代入後の伝達関数は $$G(s)=\frac{101(s+0.01)}{(s+1)(s+100)}$$ である。零点が $10^{-2}$、極が $1$ と $10^2$ にあるので、ゲインの傾きは $$0\to +20\to0\to-20\,\mathrm{dB/dec}$$ の順に変化する。問題文の $\log_{10}1.01\simeq0$ は、低周波ゲインを $-40\,\mathrm{dB}$、中間の平坦部を $0\,\mathrm{dB}$ としてよいことを示している。

位相の補足

位相も折れ線近似で描く場合は、零点 $10^{-2}$ が $+90^\circ$、極 $1$ と $10^2$ がそれぞれ $-90^\circ$ を与える。したがって十分低周波では $0^\circ$、$10^{-1}$ から $10$ 付近で零点と第1極の効果が打ち消し合い、さらに高周波では第2極の分だけ $-90^\circ$ に近づく。

典型ミス

PD制御の分母に $k_p$ を入れ忘れやすい。モータトルクは入力だけでなく現在角度 $\theta$ にも依存するため、閉ループ分母は $$J_1s^2+k_ds+k+k_p$$ となる。

方針

前半はパスカルの原理とてこのつり合い、後半は配管の静的強度・疲労寿命・外径制約を順にふるいにかける問題である。数値選択では、各条件を別々に満たすだけでなく、最後に同時成立を確認する。

静的強度の見方

厚肉円筒の式は、内径が固定されていると外径を大きくするほど分母 $D_o^2-D_i^2$ が大きくなり、周方向応力が下がる。したがって選択肢では、計算で得た下限以上の最小値を選ぶ。

体積計算の注意

油の漏れや圧縮性を無視するので、ピストンAが押し出した体積がそのままピストンBの移動体積になる。直径比が $D_B/D_A=2$ なので、同じ移動量ならB側は4倍の体積が必要である。さらにBは $100\,\mathrm{mm}$、Aは1回 $50\,\mathrm{mm}$ なので、合計で $4\times2=8$ 回と確認できる。

疲労寿命の落とし穴

指数 $m$ が小さいほど $1/m$ が大きく、寿命が大きく変化する。単に $K$ の大小だけで判断すると、$K=80\,\mathrm{MPa}$ の配管Zを過小評価してしまう。必ず $$\left(K/\sigma_a\right)^{1/m}$$ を数値で比較する。

選定理由の書き方

記述答案では、配管Xだけが残る理由を条件ごとに短く示すとよい。例えば「Xは必要外径23 mmで外径条件を満たし、疲労寿命も $10^{10}$ 回で設計寿命を超える。Yは疲労寿命不足、Zは必要外径25 mmで外径25 mm未満の条件に反するため除外する。」と書けば、静的強度・疲労・外径の三条件をすべて押さえられる。