東大 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 専門科目 2025年度 院試 解答例・解説

方針

前半は状態点の意味を取り違えないことが最重要である。圧縮機出口が過熱 蒸気，凝縮器出口が飽和液，蒸発器出口が飽和蒸気，膨張弁出口が湿り蒸気 である。後半は円筒面積が $2\pi r$ に比例するため，直交座標の $\lambda \partial^2T/\partial r^2$ ではなく $\lambda r^{-1}\partial(rT_r)/\partial r/\partial r$ の形になる。

検算

熱伝導方程式の右辺の次元は $\lambda T/r^2$ で，左辺の $\rho C\,T/t$ と一致する。定常解では $dT/dr=(q_wr_1/\lambda)/r$ であり，$r=r_1$ で $-\lambda dT/dr=-q_w$ となるので，外向きを正に取った符号も整合している。

典型ミス

$a\to d$ を等エントロピー膨張として描く誤りが多い。膨張弁は仕事を 取り出す膨張機ではなく，絞りなので $h_a=h_d$ である。また，凝縮器内の 過熱蒸気温度を求めるときは，理想気体のエントロピー式から始め， 凝縮器では $p$ 一定だから $R\,dp/p$ の項が消える，という一行を書くと 答案として強い。

方針

この問題は垂直管内のポアズイユ流として処理する。圧力差ではなく重力項 $\rho g$ が速度分布を作る点が特徴である。十分発達流なので $u_z=u_z(r)$ だけが未知関数になり，対流項も $z$ 微分も消える。

境界条件

$r=0$ で速度が有限であることから，積分定数のうち $C_1/r$ 型の特異項を 除く。さらに $r=R$ で滑りなし条件を課す。この二つを書かないと，放物線 分布をただ暗記しただけに見える。

検算

円管の平均速度は最大速度の半分である。ここでも $u_{\max}=\rho gR^2/(4\mu)$，$U=u_{\max}/2$ となっており， 通常の円管層流と同じ比になっている。正方形管の時間比が $1$ より小さい のは，辺長を円管内径と同じにしたため断面積が大きくなるからである。

典型ミス

正方形管で $Re$ の代表長さを勝手に変えると係数がずれる。本問では $C_f=14.2/Re$ とともに辺長 $D$ が与えられているので， $Re=U_sD/\nu$ と読んでよい。また，体積が同じという条件では 流速比だけでなく断面積比も必ず入れる。

方針

点 $A$ では曲げによる軸応力と，ねじりによるせん断応力を重ね合わせる。 ひずみゲージの値は応力そのものではなく，ゲージ方向へのひずみ変換で 求める。$45^\circ$ ゲージでは工学せん断ひずみの半分が入る点に注意する。

検算

数値は意図的に計算しやすくなっている。$\sigma_x=20.8\ \mathrm{MPa}$， $\tau_{xy}=10.0\ \mathrm{MPa}$ となり， $\varepsilon_x=100\,\mu\varepsilon$， $\gamma_{xy}=125\,\mu\varepsilon$ である。したがって $45^\circ$ ゲージは $(100-30)/2+125/2=97.5\,\mu\varepsilon$ と 暗算でも確認できる。

典型ミス

材料変更後の応力比に $E$ や $G$ を直接掛けるのは誤りである。荷重 $P,T$ が同じなら，応力は断面二次モーメントや極モーメントで決まり，弾性係数は 変位やひずみに効く。今回は直径を大きくした効果だけが応力比に残る。

方針

二つの絶対変位で解こうとすると式が増える。相対変位が指定されているので， 最初から $x_1-x_2$ の式を作り，換算質量 $m_1m_2/(m_1+m_2)$ にまとめるのが短い。

安定判別

閉ループ特性は 3 次式になる。すべての係数が正でも 3 次系では十分ではなく， Routh の条件 $a_2a_1>a_3a_0$ が必要である。この問題ではこの不等式から ばね定数 $k$ と質量が消え，$k_d>\tau k_p$ だけが残る。

典型ミス

制御入力の符号を誤ると，特性多項式の $k_d,k_p$ の符号が逆になり， 正のゲインで安定化できない形になる。$X<X_T$ のとき，台車 2 を左へ 押すと相対変位 $x=x_1-x_2$ は増える，という物理的向きで符号を確認できる。

方針

前半は用語問題，後半は歯車列の速度比とトルク比の問題である。歯車箱の 図には外径や軸間距離も示されているが，損失なしのトルク比にはピッチ円 直径だけを使えばよい。

インボリュート歯形

インボリュート歯形の重要点は，作用線が一定で，中心距離が少しずれても 速度比の一定性を保ちやすいことである。また，ラック形工具で創成できるため 製造・標準化の面でも有利である。試験では「滑らか」だけでは弱く， 速度比一定や工具標準化まで書くと採点されやすい。

軸受選定

円筒ころ軸受は大きなラジアル荷重には強いが，単体では軸方向荷重の支持に 向かない。自動調心玉軸受はミスアライメントには強いが，はすば歯車の スラストを積極的に受ける選択としては弱い。アンギュラ玉軸受は接触角に よりラジアル荷重とアキシアル荷重を同時に支持できる。

典型ミス

トルク比を外径 $D_i$ で書くのは避ける。歯車の速度比を決めるのはピッチ円 直径 $d_i$ である。また，中間軸では歯車 2 と歯車 3 が同じ角速度で回る ため，二段の速度比を掛け合わせればよい。