東大 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 専門科目 2022年度 院試 解答例・解説

方針

第 I 部は，定積熱交換と断熱仕事を別々に追うより，1 サイクルの エネルギー収支 $W_{\mathrm{in}}=Q_h-Q_c$ を使う方が短い。第 II 部は 円筒熱伝導抵抗と外表面の熱伝達抵抗を直列に置けば，温度分布と表面温度が 同時に求まる。

検算

可逆断熱圧縮で $T_2\to T_l$ とすると圧縮比は 1 に近づき， $\varepsilon=T_2/(T_2-T_l)$ は大きくなる。温度差が小さい熱ポンプほど 高効率という物理的な傾向と合う。円筒モデルでは $h\to0$ で $T_s\to T_c$，$h\to\infty$ で $T_s\to T_\infty$ となり，境界条件の 極限と一致する。

典型ミス

$T$-$s$ 線図で定積線を直線にしてしまうミスが多い。式 $s-s_0=c_v\ln(T/T_0)$ を添え，定積線上で冷却すればエントロピーが 減ることを書くと減点されにくい。また放射熱量の計算では摂氏温度をそのまま 4 乗してはいけない。必ず K に直す。

試験で書くべきポイント

熱ポンプでは「どの熱量を正に取るか」を最初に明示する。放射体温計では， 測っているのは体表面からの赤外放射であり，体温との関係は熱伝導・対流・放射の つり合いに依存する，という一文を最後に入れると説明問題として締まる。

方針

前半は水平方向の運動量保存を使う典型問題である。自由表面に大気圧が 作用しているため，絶対圧で全境界を扱うと $p_0$ は打ち消し合う。 実際の計算ではゲージ圧で静水圧合力を書くのが最も安全である。

検算

$Fr_1=1$ のとき $$H_2/H_1=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=1$$ となり，水深は変わらない。$Fr_1>1$ で $H_2>H_1$ となるので， 射流から常流への跳水と同じ判定になっている。

典型ミス

運動量流束を $\rho HV$ としてしまうと次元が質量流量になる。 運動量流束は $\rho HV^2$ である。また細管問題では，放物速度分布を 仮定しているのでポアズイユ係数 $32$ を用いる。平板クエット流の式を 混ぜると係数が合わない。

試験で書くべきポイント

液柱の先端では，圧力差と表面張力の水平成分のつり合いを書くことが重要である。 濡れ性がよい $\cos\theta>0$ の場合に $P_F<p_0$ となることを確認しておくと， 符号ミスを発見しやすい。

方針

はりの問題では，上側はりと下側はりを分けて考える。上側はりの支点反力が 下側はりへの荷重になり，点 D の変位は「下側はりの支点沈下」と 「上側はりの相対たわみ」の和になる。

検算

下側はり AB の曲げモーメントは $l<x<3l$ で一定である。この区間を 三角形に描いてしまうと，支点 C, E に集中荷重があるという力学状態と 矛盾する。薄肉円筒では $\sigma_\theta=2\sigma_z$ となるので，き裂開口には 周方向応力を使うのが自然である。

典型ミス

点 D のたわみに下側はりの中央 $x=2l$ のたわみを足してしまう誤りがある。 上側はりは C, E で支持されているため，足すべき沈下は C または E の沈下である。 また，き裂進展圧力の式では $\sqrt{a}$ が分母に入るため，き裂が深くなるほど 破壊圧力が下がる。

試験で書くべきポイント

SFD・BMD は図で描く指定だが，答案では反力，区間ごとのせん断力， 曲げモーメントの値を添えると読み取りの曖昧さが消える。破壊圧力のグラフでは 「水平な塑性崩壊線」と「右下がりのき裂進展線」の小さい方が実際の破壊圧力である， という説明を書く。

方針

振り子は，重力によるモーメント係数とばねによるモーメント係数を 足して $I\ddot\theta+K\theta=0$ に落とす。制御はブロック線図から 閉ループ分母を先に作れば，安定条件，減衰比，最終値が同じ分母から 順に読める。

検算

同期モードでばねが変形しないなら，1 次固有振動数に $k$ が現れない。 この性質は式にも反映されている。制御系では $b>1$ がないと 閉ループ分母の定数項が負となり，もとの不安定なプラントを安定化できない。

典型ミス

上側質点 $M$ は復元ではなく倒立側のモーメントを与えるので， $(mb+Mc)g$ としてはいけない。ノイズ伝達関数では，ノイズが出力側ではなく プラント入力に入っているため，分子は $P(s)$ であり，閉ループ伝達関数 $GP/(1+GP)$ ではない。

試験で書くべきポイント

固有モードは固有値だけでなく「同相」「逆相」を言葉で添える。 制御の最後の記述問題では，$b$ を大きくして定常偏差を下げるだけでなく， $a$ によって減衰を確保しノイズピークを抑える，という両立条件まで書く。

方針

力センサは，薄板の曲げ剛性をばね定数に置き換え，剛体先端部の質量と組み合わせて 1 自由度系として見る。空気圧シリンダは，圧力による有効受圧面積と， 薄い潤滑膜のせん断応力を別々に処理する。

検算

$\delta_z\propto t^{-3}$，$\varepsilon_{\max}\propto t^{-2}$ である。 薄板を少し厚くするだけで剛性が大きく上がるため，力センサの感度が大きく下がる という設計感覚と合う。潤滑膜では $V\propto c/\mu$ なので，隙間が狭くなる効果と 粘度低下の効果が逆向きに効く。

典型ミス

シリンダ推力でロッド側にも全断面積 $\pi D^2/4$ を使う誤りが多い。 ロッド側は環状面積 $\pi(D^2-d^2)/4$ である。熱膨張では直径差を計算してから 2 で割り，半径隙間に戻す必要がある。

試験で書くべきポイント

4 ゲージブリッジは「感度増大」と「温度補償」を理由付きで書く。 加工工程は唯一解ではないが，基準面，同軸加工，穴加工の順に整理して書くと， 実現可能な工程として評価されやすい。