東大 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 専門科目 2021年度 院試 解答例・解説

方針

非定常の開いた系なので、タンクを検査体積にとるのが最短である。タンクは剛体かつ断熱で、軸仕事もないため、エネルギー収支は「内部エネルギーの増加 = 流入エンタルピー」だけになる。

検算

等エンタルピーの場合、$p_1\to p_0$ なら $m_{\mathrm{in}}\to0$ となる。等エントロピーの場合も同じ極限で $m_{\mathrm{in}}\to0$ であり、どちらの式も圧力差がないとき流入質量を生じない。

典型ミス

最終状態の質量を最初から $p_0V/(RT_0)$ と置くと誤りである。タンク内の最終温度は一般に $T_0$ ではない。また、等エントロピー流入では流入気体の温度がタンク圧力の上昇に応じて変わるため、微分形で積分する必要がある。

方針

平面を通過する分子数は、単なる半数ではなく速度成分 $u$ で重みづける。速い分子ほど同じ時間に遠くから平面へ到達するためである。

重要な解釈

$\dot N_+=n\overline c/4$ は気体分子運動論の基本結果である。一方、通過分子が運ぶ平均エネルギーは通常の平均並進エネルギー $3kT/2$ ではなく $2kT$ になる。これは $u$ が大きい分子ほど平面通過に多く寄与するためである。

試験で書くべき点

最後の熱伝導率では、左右の面の温度を $T\mp(l/2)dT/dx$ と置き、1次までテイラー展開する。この符号を明示すると、熱が高温側から低温側へ流れることも同時に説明できる。

方針

これはテイラー--グリーン渦型の速度場である。連続の式から $v$ を決め、粘性応力で検査体積の運動量が減ることを使えば、振幅の指数減衰まで一気に出せる。

検算

ナビエ--ストークス方程式の粘性項だけを見ると、$\nabla^2u=-2k^2u$ である。したがって $\partial u/\partial t=(\mu/\rho)\nabla^2u$ からも $A$ の減衰率は $2\mu k^2/\rho$ と分かる。

典型ミス

渦度の符号は流れ関数の定義に依存する。ここでは $u=\psi_y,\ v=-\psi_x$ を採用しているので、$\omega_z=v_x-u_y$ と合わせて符号をそろえることが重要である。

方針

ランキン渦は、内側が剛体回転、外側が自由渦である。圧力は遠心力との半径方向つり合いから、エネルギーと散逸は円筒座標の面積要素 $2\pi r\,dr$ を使って求める。

境界での仕事の符号

自由渦側のせん断応力は負であるため、粘性コアは仕事を失い、自由渦領域は同じ大きさの仕事を受ける。その受け取った仕事が自由渦領域内で粘性散逸する、と見ると符号を間違えにくい。

検算

$\Gamma_0$ 一定なら $v_0\propto 1/r_0$ である。時間とともにコア半径が広がると散逸率は $1/r_0^2$ で小さくなるため、$r_0^2$ が時間に比例して増える結果は物理的にも自然である。

方針

段付き棒は断面積が異なる直列ばねであり、図5-3の系は段付き棒と棒2の並列ばねである。この直列・並列の見分けができれば計算は短い。

ひずみゲージの注意

中央部は一軸応力状態だが、横ひずみ $\varepsilon_x=-\nu\varepsilon_y$ は存在する。45度ゲージではこの横ひずみも半分だけ入るため、$(1-\nu)/2$ が付く。

温度上昇の考え方

加熱された段付き棒の自由膨張量は $\alpha\Delta T\,l$ である。剛体がその全量だけ動けるわけではなく、並列の棒2が抵抗するため、剛性比 $k_1/(k_1+k_2)$ だけが実際の変位になる。

方針

組合せはりでは、ひずみ分布は材料によらず直線である。一方、応力は $\sigma=E_i\varepsilon$ なので材料ごとに傾きが変わる。これを分けて書くのが重要である。

中立面の位置

二層はりでは下側の材料のヤング率が大きいため、中立面は接合面より下側に移る。計算結果 $h_0=h/6$ はこの物理的な見通しと一致する。

典型ミス

断面の図心と中立面を混同しないこと。均質はりなら一致するが、異材の組合せはりでは、軸力ゼロ条件 $\int E(y)\varepsilon\,dA=0$ から中立面を求める。

方針

小振動では、回転中心から距離 $r$ のばね取付点の鉛直変位は $r\theta$ である。したがって、そのばねが作る回転剛性は $kr^2$ になる。

軸受をずらした場合

軸受を重心からずらすと、復元剛性だけでなく慣性モーメントも $I+mb^2$ に変わる。固有振動数の増減はこの2つの効果の競争で決まり、単純に「ばね腕が長くなるから増える」とは限らない。

試験で書くべき点

減衰の設問では、臨界減衰と過減衰の違いを言葉だけでなく、過渡応答の形として示すと答案が明確になる。どちらも振動しないが、臨界減衰は最速、過減衰は遅い戻りである。

方針

重力を無視するので、非線形項は現れない。端まわり慣性 $J=4mL^2/3$ を正しく置けば、以後は標準的な2次系とPID閉ループの問題である。

可制御・可観測

入力トルクは角加速度に直接入るため可制御である。また出力が角度で、状態に角速度も含めているため、角度の時間変化から角速度を観測できる。この直感は行列の階数計算と一致する。

典型ミス

PIDの微分項では、目標角が定数なので $\dot\theta_r=0$ である。したがって微分ゲインは有効減衰を $C+k_d$ に増やす形で現れる。

方針

前半は機械要素としての平ベルトの特徴、後半は加工順序の問題である。設計では「滑りは欠点にも保護機能にもなる」と整理すると答えやすい。

加工順序の要点

プーリでは軸穴とベルト接触外周の同軸度が重要である。したがって、軸穴を基準化し、外周と端面をできるだけ同一段取りで仕上げるのが合理的である。段取り替え後は内径基準で保持し、基準の取り直しによる偏心を抑える。

典型ミス

表面処理名だけを書くと説明不足になりやすい。高周波焼入れなら「表面加熱と急冷」、浸炭焼入れなら「炭素拡散と焼入れ」という硬化メカニズムまで短く添える。

方針

ベルト摩擦はキャプスタンの式である。微小要素の半径方向つり合いから $dN=T\,d\theta$、接線方向つり合いから $dT=\mu dN$ を作り、積分する。

張力比の注意

式に入れるのは常に「大きい張力/小さい張力」である。回転方向やロードセルの取付側によって $L$ が大きい側か小さい側か変わるため、符号ではなく張力比で考えるとミスを避けられる。

実験上のポイント

静止摩擦係数を推定するには、完全に滑った後ではなく、滑り始め直前の張力比を読む。滑走中の値を使うと動摩擦係数に近い値になり、推定目的とずれる。