東大 工学系研究科 機械工学専攻 機械工学 専門科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

I. 理想気体の有効仕事

入口状態を $1$，出口および周囲と平衡した状態を $0$ と書く。 $r_p=p_1/p_0,\ r_T=T_1/T_0$ であり， $$c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1},\qquad c_v=\frac{R}{\kappa-1}$$ である。

単位質量あたりのエンタルピー差は $$h_0-h_1=c_p(T_0-T_1) =\frac{\kappa R T_0}{\kappa-1}(1-r_T).$$ また理想気体のエントロピー変化 $$s_0-s_1=c_p\ln\frac{T_0}{T_1}-R\ln\frac{p_0}{p_1}$$ より， $$s_0-s_1 =R\left(\ln r_p-\frac{\kappa}{\kappa-1}\ln r_T\right).$$

定常流として入口状態から周囲状態まで可逆に変化させるときの最大仕事は， 流れのエクセルギー $$w_{\max}^{\mathrm{flow}} =(h_1-h_0)-T_0(s_1-s_0)$$ である。したがって $$w_{\max}^{\mathrm{flow}} =R T_0\left\{ \frac{\kappa}{\kappa-1}(r_T-1-\ln r_T)+\ln r_p \right\}.$$

一方，同じ初期状態の気体を閉じた系として扱い，周囲圧力 $p_0$ に抗して 行う押しのけ仕事を有効仕事に含めない場合の最大仕事は非流動エクセルギー $$w_{\max}^{\mathrm{closed}} =(u_1-u_0)+p_0(v_1-v_0)-T_0(s_1-s_0)$$ である。ここで $$v_1=\frac{RT_1}{p_1}=\frac{RT_0}{p_0}\frac{r_T}{r_p}, \qquad v_0=\frac{RT_0}{p_0}$$ だから， $$w_{\max}^{\mathrm{closed}} =R T_0\left\{ \frac{r_T-1}{\kappa-1} +\left(\frac{r_T}{r_p}-1\right) -\frac{\kappa}{\kappa-1}\ln r_T+\ln r_p \right\}.$$ 両者の差は $$w_{\max}^{\mathrm{flow}}-w_{\max}^{\mathrm{closed}} =R T_0 r_T\left(1-\frac{1}{r_p}\right).$$ これは流れ系で入口に持ち込まれる流動仕事のうち，周囲圧力を超える圧力に 由来する可用部分である。

II. 相界面をもつ一次元熱伝導

熱流束は $q=-\lambda \partial T/\partial x$ で与えられる。固相A側では 温度が一定なので $$q_A(t)=0.$$ 固相B側では温度勾配が一定であり， $$\frac{\partial T}{\partial x} =\frac{\delta T}{x_0-s(t)}$$ だから $$q_B(t)=-\lambda\frac{\delta T}{x_0-s(t)}.$$

相界面は左向きに進み，単位面積・単位時間あたり $\rho[-ds(t)/dt]$ だけ固相Aが固相Bへ変化する。潜熱の供給と熱流束の収支は $$\rho l\left(-\frac{ds}{dt}\right)=-q_B(t)$$ すなわち $$\rho l\frac{ds}{dt}=q_B(t) =-\lambda\frac{\delta T}{x_0-s(t)}.$$ $y(t)=x_0-s(t)$ とおくと $$\frac{dy}{dt}=\frac{\lambda\delta T}{\rho l}\frac{1}{y}, \qquad y(0)=0.$$ よって $$y^2=\frac{2\lambda\delta T}{\rho l}t$$ であり， $$s(t)=x_0-\sqrt{\frac{2\lambda\delta T}{\rho l}\,t}.$$ 表面 $x=0$ を除いて全体が固相Bとなるのは $s(t)=0$ のときなので， $$t_{\mathrm{end}}=\frac{\rho l x_0^2}{2\lambda\delta T}.$$