東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2022年度 院試 解答例・解説

軌道数に直す

この問題の本質は，行列の各成分を独立変数と見て，「同じ軌道に属する成分は 同じ値を取る」と読むことである。軌道ごとに一つずつ自由な複素数を選べるので， 次元は軌道数そのものになる。

交代群での例外

$A_n$ は $n\ge4$ では二重推移的だが，$n=3$ では非対角順序対の向きが 保存されるため二つに割れる。$n=2$ では交代群が自明になる。この小さい $n$ の 例外を落とすと減点されやすい。

推移群の場合

推移群の orbital の個数は一点安定化群の軌道数で数える，という標準事実を使うと 上限がすぐに出る。上限の達成例として正則作用を出せば十分であり，群は巡回群でよい。

記号の整理

問題中の $\mathfrak{m}*\mathfrak{m}$ は，通常の積ではなく この代数 $A=R\ltimes\mathfrak{m}$ の極大イデアルを表す記号として読む。 答案では $M$ と置き直すと混乱しにくい。

核の見つけ方

関係式は二種類である。第一成分の環 $R$ から来る $x^2=0$ と， 第二成分だけの積が零になる関係である。最後の $T_1T_4-T_2T_3$ は，$(0,xy)$ を二通りに作れることを表している。

必要条件の見方

自由 $\mathbb{Z}[X]$-加群を $X=0$ で割ると，自由アーベル群になる。 したがって $F$ の係数が共通因子を持つ場合，$\mathbb{Z}[Y,Z]/(F)$ に torsion が出ることを示せばよい。

十分条件の見方

重み $\deg Y=6,\deg Z=5$ を入れると，三つの項の重みがすべて $30$ になる。 この斉次性により，商 $\mathbb{Z}[Y,Z]/(F)$ の各重み成分から基底を持ち上げ， $F$ の冪を掛けるという標準的な自由基底構成が使える。

変数 $w=xy$ が要点

そのまま $y$ を見るより，$w=xy$ と置くと $w^p-w=xv$ という Artin--Schreier 型になる。これで二段の次数計算が見える。

Galois 閉包の作り方

$x$ を $x+c$ に動かすと，右辺も $(x+c)v$ に変わる。その差を埋めるために $z^p-z=v$ を加える，というのが閉包を作る自然な理由である。

商で見る

$\pi(u,v)=u{}^tv$ は $(u,v)$ の同時スケーリングを忘れる写像である。 そのため $M$ は 3 次元，$N$ は 2 次元になり，ファイバーは $\mathbb{R}^{\times}$ 型になる。

積分は座標選びで決まる

$u=(1,r)$ と置けるチャートで $\omega=dr\wedge ds$ になるため， 最後は単なる平面領域の面積計算になる。条件式が完全平方になるところが この問題の計算上の山である。

どちらの円を切ったか

一点を除いた円は区間と同相なので，その方向の角度 1 形式は完全になる。 逆に，除いていない円の角度 1 形式はコホモロジーを残す。$U_0$ と $U_i$ で切っている方向が逆であることに注意する。

完全性はコホモロジー類で判定

閉形式の完全性は $H^1$ または $H^2$ の類が零かどうかで判定できる。 この問題では $H^1(T^2)$ の二つの生成元だけを追えば十分である。

横断性の使い所

二重点集合は $f(x)-f(y)=0$ の零点集合である。条件 $df_x(T_xM)+df_y(T_yM)=\mathbb{R}^4$ は，まさにこの零点集合を正則値定理で 扱うための全射性を与えている。

像が部分多様体になる理由

$D$ が部分多様体であるだけでは，その射影像が自動的に部分多様体になるわけではない。 ここでは「各二重点の相手が一つ」という仮定により射影が一対一になり， さらにコンパクト性により埋め込みとして扱える。

解析的特異点と位相多様体

$\gcd(m,n)=1$ の cusp は解析的には特異でも，位相的には $\mathbb{C}$ と同相である。 ここを混同しないことが重要である。位相多様体でなくなる原因は，枝が複数本あることにある。

ホモロジー

原点を除くと枝同士は分離する。各枝は穴の空いた複素平面なので，0 次と 1 次に $\mathbb{Z}$ が一つずつ出る。

生成された $\sigma$-加法族の意味

$\sigma(f_1,\ldots,f_n)$-可測であるとは，関数の値が $(f_1,\ldots,f_n)$ の値だけで決まる，という意味である。この直観を厳密化するのが Doob--Dynkin の補題である。

答案で書くべきこと

単に「明らかに分解できる」と書くのではなく， $\sigma(f_1,\ldots,f_n)=F^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ と置いてから 標準 Borel 空間上の可測分解補題を使う，という形にすると十分に厳密である。

実部評価から絶対値評価へ

正則関数の実部だけが上から評価されているときは，Borel--Carathéodory の不等式を使う。 これにより $|f|$ の増大度が $O(R^2)$ に抑えられる。

最後は Cauchy 評価

整関数で $\max_{|z|\le R}|f(z)|=O(R^2)$ なら，三階以上の係数は Cauchy 評価で消える。この流れは Liouville 型の典型的な議論である。

無限次元でのコンパクト性

有界閉集合であるだけでは，$\ell^p$ ではコンパクトにならない。必要なのは 尾部が一様に消えることである。この問題では $|x_n|\le e_n$ という評価により， 尾部条件がそのまま $(e_n)\in\ell^p$ と一致する。

必要性の作り方

有限個の成分だけ $e_n$ に等しくする点を使うと，尾部の $\ell^p$-質量を 任意に検出できる。ここが「全有界性」から $\sum e_n^p<\infty$ を引き出す要点である。

非有界領域の落とし穴

有界領域なら境界非負と $-\Delta u\ge0$ から $u\ge0$ が従うが，非有界領域では 無限遠での条件が必要である。$(1)$ はその典型的な反例である。

補助関数の意味

$1+x^2-y^2$ は $D$ 上正で調和である。この正の調和関数で割ると， 無限遠での条件を境界条件として扱えるようになる。

周期部分と指数成長部分を分ける

$\int_0^t\alpha$ は「平均 $\alpha^*t$」と「周期関数 $\beta(t)$」に分かれる。 これが一次元版 Floquet 分解である。

外力の減衰条件

$|f(t)|\le Me^{(\alpha^*-\varepsilon)t}$ は，積分因子を掛けた後に $e^{-\varepsilon t}$ 程度で可積分になることを保証している。

安定性と次数は別

高次の方法は小さい刻み幅では有利だが，刻み幅が大きいと増幅率の振る舞いが支配的になる。 ここでは 3 次法の増幅率が $-q^3/6$ で大きく発散するため，2 次法より悪くなる。

線形方程式では増幅率を計算する

一般論で押すより，$f(x)=-Ax$ では一ステップが単なる掛け算になる。 $R_2$, $R_3$ を明示するのが最短で確実な解法である。

正規化をそろえる

通常の $J_\mu$ をそのまま使うと先頭係数が 1 にならない。ここでは $2^\mu\Gamma(\mu+1)J_\mu$ と正規化すると，設問の級数形に合う。

漸化式の係数

$u_{\nu+2}$ と $u_{\nu-2}$ は正規化定数が違うので，単に $J_{\mu+1}+J_{\mu-1}$ と書くだけでは係数がずれる。 $\omega=\nu(\nu+2)$ はその正規化差を吸収する係数である。

木では再帰が閉じる

根を固定した状態和の比 $x_n$ だけを追えばよい。これは木構造の枝が独立に 分解されるためである。

相転移的な見方

$f$ と $y=x$ の交点が固定点である。交点が複数あると，初期値からの反復が どの安定固定点に落ちるかで極限磁化が変わる。

超フィルターの役割

二つの関数 $f,g$ は等しい場所が有限個しかないので，ほとんどすべての点で $f<g$ または $g<f$ のどちらかである。超フィルターは，その二つの無限候補のうち 一方を必ず選ぶ装置である。

有限初期区間から可算性へ

(b) は各 $f$ の下にある元が有限個しかないことを保証する。線形順序でこの性質を持つ 無限集合は，最小元，次の元，さらに次の元，という形で数え上げられる。

Kolmogorov 距離はジャンプに敏感

分布関数が不連続な点では，確率変数がわずかにずれるだけで Kolmogorov 距離が 1 のまま残ることがある。(5) はその現象を一点分布で最も簡単に示している。

Taylor 展開の使い所

$X_n$ は 1 の近くにあり，主要項は $(X_n-1)^2$ である。 三次の剰余が $o_p(1)$ になることを (3) で先に示しているため，(4) が自然につながる。