東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2023年度 院試 解答例・解説

方針

前半は Bessel 型方程式の Frobenius 法である。最小次数の係数から指数方程式を作り、以後は同じべき $x^{n+k}$ の係数をそろえて漸化式を得る。指数は $\pm m$ の二つが出るが、試験答案ではどちらの枝を採用したかを明記する必要がある。原点で有界な解を扱う文脈では $k=m$ が標準である。

検算

$a_n$ の漸化式は偶数項と奇数項を分ける。条件 $a_1=0$ から全ての奇数項が 0 になるので、$a_0,a_2,a_4,\ldots$ だけを追えばよい。また $m\to0$ としたとき $a_2\to-a_0/4$ となり、0 次 Bessel 関数の初項と整合する。

複素写像の注意

$|z|=2$ の写像では、$w=(z+1)/(z-1)$ を直接代入するより、逆変換 $z=(w+1)/(w-1)$ を使う方が円の方程式をすぐ得られる。中心と半径を出すところで平方完成を落とすミスが多い。

周回積分の典型ミス

有理関数の積分では、曲線の内側に入る極を全て数える。今回は二つとも半径 3 の円内にある。三角積分では $d\theta=dz/(jz)$ と $\cos\theta=(z+z^{-1})/2$ を同時に使うため、余分な $z$ を消し忘れないことが重要である。

同軸線路の方針

円筒対称性があるので、磁界はアンペールの法則、電束密度はガウスの法則で一行で決まる。誘電率が半径方向に二層になっていても、自由電荷 $Q$ が作る $D$ は同じであり、変わるのは $E=D/\varepsilon$ である。

空欄問題で落としやすい点

静電容量の分母には、半径方向の積分から出る対数が入る。内側領域は $\log(b/a)$、外側領域は $\log(c/b)$ であり、$\log(c/a)$ を一つだけ書くのは誘電率が一様な場合に限られる。

遮蔽と電荷保存

外側導体は導体 A を囲む閉じた導体である。外部の導体球の電荷は導体 B の外面電荷分布を変えるが、導体 A の全電荷は変えない。接触問題では、導体 B の内面に $-Q$ が必要であることと、接触した導体系全体の電荷保存を同時に使う。

コイルの検算

ファラデーの法則では符号よりも、どの向きを正の起電力と定義したかが重要である。答案では大きさを示し、符号は正方向の取り方によると添えると安全である。移動電荷量が角速度に依存しないことは、$\int i\,dt=-(1/R)\Delta\Phi$ と書くと最も明確に示せる。

アドミタンスで見る理由

並列回路ではインピーダンスよりアドミタンスで足す方が速い。第 1 問の負荷は枝ごとに直列インピーダンスを作ってから逆数を取り、最後に足す。

同相条件

$I_{\mathrm{LD}}=YV_{\mathrm{LD}}$ なので、電圧と電流が同相になる条件は $Y$ が実数であることに等しい。しかも「角周波数によらず」とあるため、ある一つの $\omega$ で虚部を 0 にするのではなく、$\omega$ の恒等式として虚部を消す必要がある。

最大電力条件

同相条件下では負荷全体が抵抗 $R$ と等価になる。よって電源抵抗 $R_S$ と負荷抵抗 $R$ の通常の最大電力伝送条件に戻り、$R=R_S$ が得られる。

ソースフォロワの符号

小信号では $v_{gs}=v_{\mathrm{in}}-v_{\mathrm{out}}$ である。ソース電圧が上がると $v_{gs}$ が小さくなるため、利得は 1 未満の正の値になる。共振時に並列 $LC$ のアドミタンスが 0 になることを使えば、利得は $g_m$ と $r_o$ だけで決まる。

エルミート演算子の証明

固有値が実数であることも、異なる固有値の固有関数が直交することも、同じエルミート性の式から出る。内積の第 1 引数に複素共役がかかるため、$(a\phi,\phi)=a^*(\phi,\phi)$ となる点を書き落とさないことが重要である。

期待値の重み

展開係数の絶対値二乗が測定確率になる。今回の係数の二乗和は $9+2+25=36$ であり、期待値は固有値をこの重みで平均したものである。係数そのものではなく係数の二乗を使う。

プランク公式の導出

平衡では、自然放出と誘導放出で増える基底状態数と、誘導吸収で減る基底状態数が釣り合う。そこへボルツマン比 $N_1/N_2=e^{\hbar\omega/k_BT}$ を入れると、分母の $-1$ が自然に現れる。

試験で書くべきポイント

レーザー発振条件では「励起状態の粒子数が基底状態より多い」と明記する。単に「エネルギーを強く入れる」と書いても条件にならない。また、X 線で難しい理由は、自然放出率が大きいことと反転分布形成の困難さを Einstein 係数の $\omega^3$ 依存に結びつけて説明すると得点しやすい。