東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

1. 級数解法

与えられた形の解を $$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+k}$$ とおく。項別微分により $$\frac{dy}{dx} =\sum_{n=0}^{\infty}a_n(n+k)x^{n+k-1}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} =\sum_{n=0}^{\infty}a_n(n+k)(n+k-1)x^{n+k-2}.$$ これを微分方程式へ代入すると $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n\{(n+k)^2-m^2\}x^{n+k} +\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+k+2}=0.$$ 最低次の係数から $$a_0(k^2-m^2)=0$$ であり、$a_0\ne0$ なので $$k=\pm m.$$ 通常の原点で有界な Frobenius 解をとるときは $k=m$ を採用する。このとき $x^{k+2}$ の係数を比べて $$a_2\{(m+2)^2-m^2\}+a_0=0$$ より $$a_2=-\frac{a_0}{4(m+1)}.$$ また $n\ge2$ では $$a_n\{(n+m)^2-m^2\}+a_{n-2}=0$$ だから $$a_n=-\frac{a_{n-2}}{n(n+2m)}\qquad(n\ge2).$$ なお、もう一つの指数 $k=-m$ の枝を形式的に選ぶなら $$a_2=-\frac{a_0}{4(1-m)},\qquad a_n=-\frac{a_{n-2}}{n(n-2m)}$$ となる。

2. 複素関数

1. $$\frac{\sqrt3}{8}+\frac{j}{8} =\frac14\left(\cos\frac{\pi}{6}+j\sin\frac{\pi}{6}\right)$$ であるから、ド・モアブルの定理より $$z =4^{-20}\left(\cos\frac{10\pi}{3} +j\sin\frac{10\pi}{3}\right) =4^{-20}\left(-\frac12-j\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ したがって $$a=-\frac{1}{2\cdot4^{20}},\qquad b=-\frac{\sqrt3}{2\cdot4^{20}}.$$
2. 一次変換を逆に解くと $$z=\frac{w+1}{w-1}.$$ $w=u+jv$ とおけば、$|z|=2$ は $$|w+1|=2|w-1|.$$ よって $$(u+1)^2+v^2=4\{(u-1)^2+v^2\},$$ すなわち $$\left(u-\frac53\right)^2+v^2=\left(\frac43\right)^2.$$ 写像は、$w$ 平面における中心 $5/3$、半径 $4/3$ の円である。
3. 分母を因数分解すると $$2z^2+3z-2=(2z-1)(z+2).$$ 極 $z=1/2,-2$ はいずれも $|z|=3$ の内側にある。留数は $$\operatorname*{Res}_{z=1/2} \frac{5z-1}{(2z-1)(z+2)} =\frac{3}{10},$$ $$\operatorname*{Res}_{z=-2} \frac{5z-1}{(2z-1)(z+2)} =\frac{11}{5}.$$ したがって留数定理より $$\oint_C \frac{5z-1}{2z^2+3z-2}\,dz =2\pi j\left(\frac{3}{10}+\frac{11}{5}\right) =5\pi j.$$
4. $z=e^{j\theta}$ とすると $$\cos\theta=\frac12\left(z+\frac1z\right), \qquad d\theta=\frac{dz}{jz}.$$ したがって $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{3+2\cos\theta} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{j(z^2+3z+1)}\,dz.$$ 分母の根は $$z=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$ であり、単位円の内側にあるのは $$\alpha=\frac{-3+\sqrt5}{2}$$ だけである。よって $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{3+2\cos\theta} = 2\pi j\cdot \frac{1}{j(2\alpha+3)} = \frac{2\pi}{\sqrt5}.$$