東大 工学系研究科 電気系工学専攻 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

I. 静電場

(1) 導体球では電荷は表面に分布し，球内部の電場は 0 である。半径 $r>a$ の球面を Gauss 面に取ると $$4\pi r^2 \varepsilon_0 E_r(r)=Q$$ より $$\mathbf E(r)= \begin{cases} \mathbf 0,&0\le r<a,\\[1mm] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf e_r,&r>a. \end{cases}$$

(2) 無限遠を基準にして $E_r=-dV/dr$ を積分する。外部では $$V(r)=\int_r^\infty \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 s^2}\,ds =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\qquad (r\ge a).$$ 導体内部は等電位なので $$V(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}\qquad (0\le r\le a).$$

(3) 誘電体球では自由電荷だけが Gauss の法則 $$\oint \mathbf D\cdot d\mathbf S=Q_{\mathrm f,enc}$$ に入る。球内部 $r<a$ では $$D_r(r)=\frac{\rho_0 r}{3},\qquad E_r(r)=\frac{D_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r} =\frac{\rho_0 r}{9\varepsilon_0} \quad(\varepsilon_r=3).$$ 球外部では全自由電荷 $Q_{\mathrm f}=4\pi a^3\rho_0/3$ が作る場だから $$E_r(r)=\frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2}\qquad (r>a).$$ したがってグラフは，内部で原点から直線的に増加し，表面直外で $\rho_0 a/(3\varepsilon_0)$ に跳び，外部では $r^{-2}$ で減少する。

(4) 静電エネルギー密度は誘電体内部で $$u=\frac12 \mathbf E\cdot\mathbf D =\frac{\rho_0^2 r^2}{54\varepsilon_0},$$ 真空中で $$u=\frac12 \varepsilon_0 E^2 =\frac{\rho_0^2 a^6}{18\varepsilon_0 r^4}$$ である。よって $$\begin{aligned} W_{\mathrm{in}} &=4\pi\int_0^a \frac{\rho_0^2 r^2}{54\varepsilon_0}r^2\,dr =\frac{2\pi\rho_0^2a^5}{135\varepsilon_0},\\ W_{\mathrm{out}} &=4\pi\int_a^\infty \frac{\rho_0^2a^6}{18\varepsilon_0r^4}r^2\,dr =\frac{2\pi\rho_0^2a^5}{9\varepsilon_0}. \end{aligned}$$ したがって $$W=W_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{out}} =\frac{32\pi\rho_0^2a^5}{135\varepsilon_0}.$$

(5) 線形誘電体なので $$\mathbf P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\mathbf E =\frac{2\rho_0 r}{9}\mathbf e_r\qquad (r<a).$$ したがって $$\rho_{\mathrm p}=-\nabla\cdot\mathbf P =-\frac1{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{2\rho_0 r}{9}\right) =-\frac{2\rho_0}{3}.$$ 表面では外向き法線 $\mathbf n=\mathbf e_r$ に対して $$\sigma_{\mathrm p}=\mathbf P(a)\cdot\mathbf n =\frac{2\rho_0 a}{9}.$$ 体積分極電荷と表面分極電荷の総和は相殺し，全体として分極電荷の総量は 0 になる。

(6) 球内部でも誘電率は $3\varepsilon_0$ である。与えられた電位から $$E_r(r)=-\frac{dV}{dr} =\frac{3V_0r^2}{10a^3}, \qquad D_r(r)=3\varepsilon_0E_r =\frac{9\varepsilon_0V_0r^2}{10a^3}.$$ よって自由電荷密度は $$\rho(r)=\nabla\cdot\mathbf D =\frac1{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2D_r\right) =\frac{18\varepsilon_0V_0}{5a^3}r.$$

II. 静磁場

(1) 一方の導線が他方の位置に作る磁束密度は $$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.$$ 単位長さあたりの力は $I B$ なので $$\frac{F}{\ell}=\frac{\mu_0 I^2}{2\pi d}.$$ 同方向電流では引力であり，各導線は相手の導線の向きへ引かれる。

(2) 同方向電流では，2本の外側で磁力線が大きく回り，導線間では互いに打ち消し合う向きになる。逆方向電流では導線間で磁場が同方向に重なり，導線外側で打ち消し合う。答案では，右ねじの向きを各導線の周りに描き，同方向なら吸引，逆方向なら反発と添える。

(3) 円柱導体の電流密度は一様なので，半径 $r<a$ の円内に含まれる電流は $$I_{\mathrm{enc}}=I_1\frac{r^2}{a^2}.$$ Ampere の法則より磁界の大きさは $$H_\varphi(r)= \begin{cases} \dfrac{I_1 r}{2\pi a^2},&0\le r<a,\\[2mm] \dfrac{I_1}{2\pi r},&r>a. \end{cases}$$ 内部の磁束密度は $B=\mu H$，外部の磁束密度は $B=\mu_0H$ である。

(4) 円柱内部の磁界エネルギーを単位長さあたりで積分すると $$\begin{aligned} W'_m &=\int_0^a \frac12 \mu H_\varphi^2\,2\pi r\,dr\\ &=\int_0^a \frac12\mu\left(\frac{I_1r}{2\pi a^2}\right)^2 2\pi r\,dr =\frac{\mu I_1^2}{16\pi}. \end{aligned}$$ $W'_m=\frac12 L'_{\mathrm{int}}I_1^2$ より $$L'_{\mathrm{int}}=\frac{\mu}{8\pi}.$$

(5) $D\gg b$ なので，円形コイル内の磁束密度は中心値で近似する。円柱電流がコイル中心に作る磁束密度は $$B(D)=\frac{\mu_0I_1}{2\pi D}.$$ したがって鎖交磁束の大きさは $$|\Phi_{21}|=B(D)\pi b^2 =\frac{\mu_0I_1b^2}{2D}.$$ 相互インダクタンスの大きさは $$|M|=\frac{|\Phi_{21}|}{I_1} =\frac{\mu_0 b^2}{2D}.$$ 図の電流向きを正に取ると，円柱電流の作る磁束とコイル電流の正向き法線が逆向きになるため，符号付きでは $$M=-\frac{\mu_0 b^2}{2D}.$$

(6) 電流源で $I_1,I_2$ を一定に保つと，力は $$F_D=I_1I_2\frac{dM}{dD}$$ で与えられる。上の符号規約では $$F_D=\frac{\mu_0I_1I_2b^2}{2D^2}.$$ したがって図の向きではコイルは円柱から遠ざかる向きに力を受ける。大きさだけを書けば $$|F|=\frac{\mu_0I_1I_2b^2}{2D^2}.$$