東大 工学系研究科 電気系工学専攻 専門科目 2025年度 院試 解答例・解説

自由電荷には $\mathbf D$，エネルギーには $\mathbf E\cdot\mathbf D$

誘電体中の Gauss の法則で直接扱うのは自由電荷である。内部電場を真空中の式で書くと $\varepsilon_r=3$ の因子を落とす。さらにエネルギーでは内部と外部で媒質が違うため，内部を $\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D$，外部を $\frac12\varepsilon_0E^2$ と分けて積分する必要がある。

磁界 $H$ と磁束密度 $B$ を区別する

円柱導体の問は「磁界」を求めるので，Ampere の法則でまず $H$ を出し，エネルギー計算で $B=\mu H$ を使う。相互インダクタンスは符号が図の電流向きに依存するため，符号規約を明記すると減点されにくい。

スイッチ投入後にどの素子が残るかを先に見る

過渡回路では，スイッチ後の閉路を見誤ると $R_{S1}$ を式に入れてしまう。図1では投入後の放電ループは $R_1,L_1,C_1$ だけで，初期条件だけが $V_{S1}$ から決まる。

MOS小信号は交流接地と出力抵抗で決まる

MOSの各図では，電源やバイアス電圧を交流接地に置き換え，ドレイン節点から見える抵抗を読む。容量帰還では，ゲート電流 0 の条件が節点 $X$ の式そのものになる。

相互情報量は候補の割れ方で見る

この天秤問題では，測定結果 $Y$ は状態 $X$ から一意に決まる。したがって $I(X;Y)=H(Y)$ であり，左右・釣合いの 3 分岐ができるだけ均等になる測定がよい。左右に 4 個ずつ載せると $8,8,9$ 通りに分かれるため，最初の一手として最も情報量が大きい。

逆フィルタは極の位置まで書く

差分方程式だけで止めず，$G(z)=1/(1+az^{-1})$ と書くと，インパルス応答と安定条件が同時に出る。遅延が 1 サンプルであることを図から読み取り，$x(n-1)$ とするのがこの設問の要点である。

回路は式に落としてから最小化する

図をそのまま追うより，まず $(\overline{x}+\overline{y})(y+z)$ と式にしてから吸収則を使うと簡単になる。和差選択回路は，減算を 2 の補数加算に帰着するのが最小構成への近道である。

このソートは挿入ソートではない

問題文の再帰構造はクイックソートそのものである。ピボットが端に偏ると $O(n^2)$，ランダム化で平均 $O(n\log n)$ になる，という対比を明確に書くと部分点を取りやすい。

無限井戸と有限井戸の違い

無限井戸では壁で $\psi=0$ だが，有限障壁では $\psi$ と $\psi'$ が連続する。有限障壁のしきい値は，外側の減衰定数 $K$ が 0 に近づく極限で決まる。

状態密度ではスピンを明記する

自由電子の状態数はスピン縮退を含めるかで 2 倍違う。Fermi エネルギーまで求める答案では，スピンを含めた $N=L^3k_F^3/(3\pi^2)$ を使うのが標準である。

図の内側フィードバックを分母へ入れる

問(5)では $C_2(s)$ が制御対象の入力側で引き算されているため，点線部の伝達関数は $2K_1/\{s(s+1)(s+2)+2K_2s\}$ になる。ここを外側の単位帰還と混ぜないことが重要である。

三相は平均だけでなく瞬時電力も見る

負荷有効電力だけなら単相と三相は同じ数値になるが，電線損失と瞬時電力の脈動で差が出る。対称三相では二倍周波数成分が相殺されるため，機器側から見る電力が一定になる。