九大 システム情報科学府 電気電子工学専攻 専門科目 2026年度 院試 解答例・解説

方針

電気回路分野は，フェーザ，過渡応答，二端子対網の3種類が混在している。問1では電流を基準にして 抵抗電圧と容量電圧を直交成分として扱う。問2ではインダクタ電流の連続性を最初に使う。問3では どの行列を足す接続かを先に判断するのが得点の分かれ目である。

検算

問1の $|Z|=25\sqrt2$ なので $|V|=4|Z|=100\sqrt2$ となり，実部と虚部から計算した $\sqrt{(60\sqrt2)^2+(80\sqrt2)^2}$ と一致する。問2の最終値は $$i_2(\infty)=1/3,\qquad i_1(\infty)=2/3$$ で，直流定常時の $1\,\Omega$ 枝と $2\,\Omega$ 枝の電流分配にも一致する。

典型的なミス

容量リアクタンスの符号を $+jX_C$ としてしまうと，力率の進み・遅れが逆になる。また，問2では スイッチを開いた直後の抵抗電流は変化できるが，インダクタ電流は変化できない。ここを取り違えると 初期条件が逆になる。

答案作成のポイント

問3の最大電力問題では，負荷の虚部が $-5j$ に固定されているため，まず $\operatorname{Im} Z_{\mathrm{th}}=5$ から $n=5$ を候補にできる。ただし $V_{\mathrm{th}}$ も $n$ に依存するため， 厳密には固定した $n$ ごとに $R$ を最適化し，得られる $P_L(n)$ を比較する必要がある。

方針

ダイオード回路は，オン時を短絡，オフ時を開放として場合分けするだけでよい。演算増幅器回路は 入力電流ゼロと仮想短絡の二つを使う。発振回路はウィーンブリッジ形なので，周波数選択帰還率 $\beta$ を先に求め，Barkhausen条件 $T=1$ を適用する。

波形の描き方

波形問題では式だけでなく最大値・最小値の時刻を書く必要がある。ここでは入力の周期が $1\,\mathrm{s}$ であり，正の最大は $t=1/4$，負の最大振幅は $t=3/4$ に現れる。出力は正半周期で クリップされ，負半周期で半分の振幅になる。

典型的なミス

非反転入力側の分圧点を $v_2$ そのものとしてしまうと，$v_o=2v_2-v_1$ という誤答になる。 下側にも同じ抵抗が接地されているため，まず $v_+=v_2/2$ と置くことが重要である。

試験上のポイント

ウィーンブリッジ発振器では，$\omega_0=1/RC$ のとき帰還率が実数 $1/3$ になる。この値を 覚えていてもよいが，答案では $Z_s,Z_p$ から一度導くと，位相条件と振幅条件の両方を明確に示せる。

方針

問1は開ループ伝達関数 $L(s)$ を作れば，安定判別，ゲイン交差，位相余裕がすべて同じ式から出る。 問2は状態方程式を二階微分方程式に落とすと初期値応答が短く求まる。

安定性の書き方

二次多項式 $s^2+a_1s+a_0$ では $a_1>0,a_0>0$ が安定条件である。ここでは $a_1=\sqrt3,\ a_0=10K$ なので，任意の $K>0$ に対して安定であることを一行で示せる。

典型的なミス

位相余裕を求めるとき，積分器の $-90^\circ$ を忘れやすい。今回の位相は $-90^\circ-30^\circ=-120^\circ$ であり，位相余裕は $180^\circ-120^\circ=60^\circ$ である。

試験上のポイント

最後の出力一致条件は，二つの入力が同じであることに着目すると差分系になる。直接 $y_1(t),y_2(t)$ を全部計算するより，$Cd=0,\ CAd=0$ を使う方が短く，条件の意味も明確である。

方針

同心導体球殻はガウスの法則と容量の直列・並列関係で処理する。導体内部の電界はゼロで， 導体表面の電荷は「各領域にどの電界を作るか」から決まる。ベクトルポテンシャルの問題では， 有限長の式で発散項を持たせておき，差を取ってから極限をとる。

検算

問1(4)ではAとCを接続した導体全体の正味電荷は $Q_A+Q_C=0$ になる。実際，Aには $-Q/3$，C全体には $+Q/3$ が現れる。領域4の電界は外側電荷 $Q$ が作るので，領域4の エネルギーは問1(3)と同じになる。

典型ミス

導体Bだけに電荷を与えた場合，Bの内側の領域2に電界があると考えてしまう誤りが多い。 ガウス面がBの内側にあるなら，内包電荷はAの正味電荷だけであり，ここではゼロである。 また，$\oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$ の符号は経路の向きで決まるので，磁束の「大きさ」と 比較するときは向きの説明が必要である。

試験で書くべきポイント

球殻問題では，各領域の電界がゼロか $Q/(4\pi\varepsilon r^2)$ かを先に表にするのが安全である。 ベクトルポテンシャルでは，$A_z(x_0)$ 自体は無限長極限で発散するが，差 $A_z(x_0)-A_z(a)$ は有限であることを明記するとよい。

方針

問1は電荷中性条件と質量作用則の2式から，$n-p=N_D-N_A$ と $np=n_i^2$ を連立する。 問2はバンドの曲がりのエネルギー差を $q(V_{\mathrm{bi}}-V)$ と対応させ，空乏層を単位面積の 平行板容量として扱う。

検算

問1(4)では $N_D\gg N_A$ なのでn形半導体となり，多数キャリアである電子密度が $2.0\times10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 程度になるのは自然である。正孔密度との積も $$(1.999\times10^{15})(5.0\times10^4)\simeq 1.0\times10^{20}=n_i^2$$ となり，質量作用則を満たす。

典型ミス

電荷中性条件の符号を逆にして $p-n+N_A-N_D=0$ としてしまうと，多数キャリアが逆になる。 また，$1/C^2$--$V$ プロットでは傾きが $N_D$ に反比例するので，傾きが大きい直線ほど ドナー濃度が小さい。

試験で書くべきポイント

近似ではいきなり $n=N_D$ と書かず，まず $n\simeq N_D-N_A$ を示すと補償ドーピングを理解して いることが伝わる。C--V法では，切片が $V_{\mathrm{bi}}$，傾きの絶対値が $1/N_D$ に比例する， という2点を明確に書く。