九大 システム情報科学府 電気電子工学専攻 専門科目 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1 電流を基準フェーザ $I=4\angle 0\,[\mathrm{A}]$ とする。角周波数と容量から $$X_C=\frac{1}{\omega C} =\frac{1}{10^4\cdot (5/\sqrt2)\times 10^{-6}} =20\sqrt2\,[\Omega]$$ であるから，端子から見たインピーダンスは $$Z=R+\frac{1}{j\omega C} =15\sqrt2-j20\sqrt2 =25\sqrt2\angle(-\tan^{-1}4/3)\,[\Omega].$$ したがって $$V=IZ=60\sqrt2-j80\sqrt2,\qquad |V|=100\sqrt2\,[\mathrm{V}].$$ 力率は $$\cos\phi=\frac{R}{|Z|}=\frac{15}{25}=\frac35$$ であり，容量性なので進み力率である。

フェーザ図は，$I$ と $V_R=60\sqrt2$ を実軸正方向，$V_C=-j80\sqrt2$ を虚軸負方向に取り， $V=V_R+V_C$ を第4象限の対角線として描けばよい。

変更後の電圧は $$V'=(1-\alpha)60\sqrt2-j\,80\sqrt2\,\alpha$$ である。よって $$|V'|^2=7200(1-\alpha)^2+12800\alpha^2=(32\sqrt5)^2$$ から $$125\alpha^2-90\alpha+13=0,\qquad \alpha=\frac15,\ \frac{13}{25}.$$ 変更前の力率は $3/5$ である。各候補の力率は $$\frac{60\sqrt2(1-\alpha)}{32\sqrt5}$$ であり，$\alpha=1/5$ のときだけ変更前より大きい。したがって $$\alpha=\frac15.$$

問2 $t<0$ でスイッチが閉じているので上下端子間電圧は $0$ である。定常状態ではインダクタ電流も $$i_2(0-)=0$$ であり，インダクタ電流は不連続に変化できないから $$i_2(0+)=0,\qquad i_1(0+)=1.$$ $t>0$ で上下端子間電圧を $v(t)$ とすると $$i_1=v,\qquad 1=i_1+i_2,\qquad v=2i_2+2\frac{di_2}{dt}.$$ したがって $$2\frac{di_2}{dt}+3i_2=1,\qquad i_2(0)=0$$ より $$i_2(t)=\frac13\left(1-e^{-3t/2}\right),\qquad i_1(t)=1-i_2(t)=\frac23+\frac13e^{-3t/2}.$$

問3 設問では，図の接続によって各二端子対網の $Z$ 行列が互いに影響を受けないとしている。したがって 全体の端子電圧は，各段の端子電圧の和として整理でき，等価インピーダンス行列は各 $Z_k$ の和で 求める。

$(1)$ 実際の相反的な線形二端子対として扱うには $Y_{12}=Y_{21}$ が必要である。$x>0$ として $$2x=\frac{2}{x}$$ より $x=1$。このとき $$Z_A(1)=Y_A(1)^{-1} = \begin{pmatrix} 1-2j & -2\\ -2 & 1+2j \end{pmatrix}\ [\Omega].$$

$(2)$ 接続後の等価インピーダンス行列は各 $Z_k$ の和で表される。よって $$\begin{aligned} Z_A(n) &=\sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} 2k-3j & 2k\\ 2(n+1-k) & 2k+j \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} n(n+1)-3nj & n(n+1)\\ n(n+1) & n(n+1)+nj \end{pmatrix}\ [\Omega]. \end{aligned}$$ 等価回路はT形二端子対で表せる。共通枝を $$Z_m=Z_{12}=n(n+1),$$ 入力側直列枝を $$Z_1=Z_{11}-Z_{12}=-3nj,$$ 出力側直列枝を $$Z_2=Z_{22}-Z_{12}=nj$$ とすればよい。

$(3)$ 同一二端子対が $n$ 個あるので $$Z_A(n)= \begin{pmatrix} 2n & 2jn\\ 2jn & n(1+j) \end{pmatrix}.$$ 負荷側から見たテブナンインピーダンスは，電源を短絡して $$Z_{\mathrm{th}} =Z_{22}-\frac{Z_{21}Z_{12}}{Z_G+Z_{11}} =n(1+j)-\frac{(2jn)^2}{5+2n} =\frac{n(6n+5)}{2n+5}+jn.$$ 負荷は $Z_L=R-5j$ であるから，最大電力条件 $Z_L=Z_{\mathrm{th}}^\ast$ を満たすには $$n=5,\qquad R=\frac{5(6\cdot 5+5)}{2\cdot 5+5}=\frac{35}{3}\,[\Omega]$$ が候補になる。ただし本問では $n$ を変えるとテブナン電圧 $$V_{\mathrm{th}}=\frac{2jn}{5+2n}E$$ も変わるため，この候補だけで全体最大とは限らない。固定した $n$ に対して負荷電力 $$P_L(n,R)= \frac{\left|\dfrac{2jn}{5+2n}E\right|^2R} {\left(R+\dfrac{n(6n+5)}{2n+5}\right)^2+(n-5)^2}$$ を $R$ で最大化すると $$R=\sqrt{\left(\frac{n(6n+5)}{2n+5}\right)^2+(n-5)^2}.$$ この値を代入した $P_L$ を自然数 $n$ で比較すると最大は $n=3$ で得られる。したがって $$R= \sqrt{\left(\frac{69}{11}\right)^2+(-2)^2} =\frac{\sqrt{5245}}{11}\,[\Omega].$$