九大 システム情報科学府 電気電子工学専攻 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

以下では，端子 $b$--$c$ 間の電圧を $V_{bc}$，抵抗 $R_1$ の電圧を $V_{ab}$ とし，図で与えられた向きのフェーザを用いる。

1. $R_2=1/\sqrt{3}\,\Omega$ であるから，抵抗枝のアドミタンスは $$Y_{R_2}=\frac{1}{R_2}=\sqrt{3}\ \mathrm{S}$$ である。各インダクタ枝のアドミタンスは $-j\ \mathrm{S}$ なので，$n=2$ のとき $$Y_{bc}=Y_{R_2}+Y_{L1}+Y_{L2} =\sqrt{3}-2j\ \mathrm{S}.$$
2. $n=1$ では $$Y_{bc}=\sqrt{3}-j.$$ $V_{bc}$ を基準にとると， $$I_{R_2}=\sqrt{3}V_{bc},\qquad I_{L1}=-jV_{bc},$$ よって $$I=I_{R_2}+I_{L1}=(\sqrt{3}-j)V_{bc}.$$ したがって $I$ は $V_{bc}$ より $\pi/6$ だけ遅れる。抵抗 $R_1$ の電圧は電流 $I$ と同相なので $$V_{ab}=R_1 I =\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}-j)V_{bc}.$$ よって $$\arg\frac{V_{bc}}{V_{ab}} =-\arg(\sqrt{3}-j) =\frac{\pi}{6}.$$ フェーザ図では，$V_{bc}$ と $I_{R_2}$ を同相，$I_{L1}$ を $V_{bc}$ から $90^\circ$ 遅れ，$I$ と $V_{ab}$ を $V_{bc}$ から $30^\circ$ 遅れとして描けばよい。
3. 一般の $n$ について $$Y_{bc}=\sqrt{3}-nj,\qquad V_{ab}=R_1Y_{bc}V_{bc}.$$ $R_1$ は正の実数なので位相には影響せず， $$\arg\frac{V_{bc}}{V_{ab}} =-\arg(\sqrt{3}-nj) =\tan^{-1}\frac{n}{\sqrt{3}}.$$ これが $\pi/3$ であるから $$\frac{n}{\sqrt{3}}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, \qquad n=3.$$

1. $t<0$ では定常状態なので，$q$ をコンデンサ上側電荷として $$e(t)=Ri(t)+L\frac{di}{dt}+\frac{q(t)}{C},\qquad i(t)=\frac{dq}{dt}$$ を用いる。$R=1\,\Omega,\ L=0.5\,\mathrm{H},\ C=2\,\mathrm{F}$ より $$\frac{1}{2}q''+q'+\frac{1}{2}q=5\sin 2t.$$ 定常解を $q=A\sin2t+B\cos2t$ とおくと $$-\frac{3}{2}A-2B=5,\qquad 2A-\frac{3}{2}B=0.$$ したがって $$A=-\frac{6}{5},\qquad B=-\frac{8}{5}.$$ 電源を切った直後もインダクタ電流とコンデンサ電荷は連続であるから $$q(0)=B=-\frac{8}{5}\ \mathrm{C},\qquad i(0)=q'(0)=2A=-\frac{12}{5}\ \mathrm{A}.$$
2. $t>0$ では電源電圧が $0$ なので $$\frac{1}{2}q''+q'+\frac{1}{2}q=0, \qquad q''+2q'+q=0.$$ よって $$q(t)=(C_1+C_2t)e^{-t}.$$ 初期条件 $q(0)=-8/5$，$q'(0)=-12/5$ から $$C_1=-\frac{8}{5},\qquad C_2=-4.$$ したがって $$i(t)=q'(t)=\left(4t-\frac{12}{5}\right)e^{-t} \qquad (t>0).$$

1. 2端子対網の関係を $$\begin{bmatrix}V_a\\ I_a\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x&j\\ -j&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_b\\ -I_b\end{bmatrix}$$ とする。左側の直列インピーダンスにより $$V_1=V_a+2jI_1,\qquad I_a=I_1.$$ また右側では $V_2=V_b$ であり，並列インピーダンス $-j/2$ のアドミタンスは $2j$ であるから $$I_2=I_b+2jV_b.$$ 2端子対網の第2式から $$I_b=-jV_b-I_1.$$ これを第1式と $V_1=V_a+2jI_1$ に代入すると $$V_1=(x-1)V_b+3jI_1.$$ よって $$V_2=\frac{V_1-3jI_1}{x-1},\qquad I_2=\frac{jV_1+(4-x)I_1}{x-1}.$$
2. 線形受動素子のみで構成される相反な2端子対網では，縦続行列の行列式が $1$ である。ここで $$\det K=x\cdot 1-j(-j)=x-1.$$ よって $$x-1=1,\qquad x=2.$$
3. $x=2$ とすると $$V_2=V_1-3jI_1,\qquad I_2=jV_1+2I_1.$$ 開放電圧を求めるため $I_2=0$，$V_1=E$ とおくと $$I_1=-\frac{jE}{2}, \qquad V_2=E-3j\left(-\frac{jE}{2}\right)=-\frac{E}{2}.$$ したがって $$V_O=-\frac{E}{2}.$$ 出力インピーダンスは独立電圧源を短絡して $V_1=0$ とすればよく， $$V_2=-3jI_1,\qquad I_2=2I_1.$$ よって $$Z_{\mathrm{out}}=\frac{V_2}{I_2}=-\frac{3}{2}j\ \Omega.$$