九大 システム情報科学府 電気電子工学専攻 専門科目 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

以下では、フェーザ表示を用い、角周波数依存性はインピーダンス $$Z_R=R,\qquad Z_L=jX,\qquad Z_C=-jX_C$$ に含めて書く。電圧・電流の向きは公式問題の図で指定された向きに合わせ、途中の符号は最後に位相で検算する。

問1

上下2枝のブリッジ形回路は、左右端子間に電圧 $E$ が加わり、上側枝と下側枝に $$Z_\mathrm{u}=R_1+jX_1,\qquad Z_\mathrm{l}=R_2+jX_2$$ が入っていると見るとよい。上側枝電流を $I_1$ とすれば $$\frac{E}{I_1}=Z_\mathrm{u}=R_1+jX_1.$$ したがって、条件 $\arg(E/I_1)=\pi/6$、$|E/I_1|=2$ から $$R_1=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt3,\qquad X_1=2\sin\frac{\pi}{6}=1.$$ 中点間電圧 $V$ は、各枝の分圧差として $$\frac{V}{E} = \frac{jX_1}{R_1+jX_1} - \frac{R_2}{R_2+jX_2}$$ で与えられる。$|V/E|=1$ の場合は、この複素数を $A$ とおけば $$\arg\frac{V}{E}=\arg A$$ である。実際の答案では、図に与えられた $R_2,X_2$ をここへ代入し、実部・虚部に分けて $$\arg A=\tan^{-1}\frac{\operatorname{Im}A}{\operatorname{Re}A}$$ を求める。

問2

端子対から左側を見たアドミタンスは、独立電流源を内部インピーダンスとして開放し、端子に試験電圧 $V_t$ を加えて試験電流 $I_t$ を計算するのが最も安全である。節点電位法を用い、中間節点電位を $v_a,v_b$ とおくと、各節点で $$\sum_k Y_{ak}(v_a-v_k)=0,\qquad \sum_k Y_{bk}(v_b-v_k)=0$$ が成り立つ。これを解き、端子電流を $$I_t=\sum_k Y_{tk}(V_t-v_k)$$ と表せば $$Y_1=\frac{I_t}{V_t}$$ である。

可変アドミタンス $Y_2=G+jB$ に消費される平均電力は、端子側から見たテブナン等価を $V_\mathrm{th}$、$Y_\mathrm{th}=G_\mathrm{th}+jB_\mathrm{th}$ として $$P(G,B)= \frac{|V_\mathrm{th}|^2G} {|1+Z_\mathrm{th}(G+jB)|^2}$$ と書ける。最大電力条件は負荷アドミタンスが内部アドミタンスの共役に一致することなので $$G=G_\mathrm{th},\qquad B=-B_\mathrm{th}, \qquad P_{\max}=\frac{|V_\mathrm{th}|^2}{4R_\mathrm{th}}.$$

問3

相互インダクタンス $M$ を持つ2巻線は、同名端子の取り方に注意してT形等価回路へ直す。電流が同名端子へ流れ込む向きなら、等価インピーダンスは $$Z_1=j\omega(L_1-M),\qquad Z_2=j\omega M,\qquad Z_3=j\omega(L_2-M)$$ である。符号が反対の場合は $M$ の符号を反転させる。

右側に負荷 $Z_0$ が接続されているとき、端子 $1$--$1'$ から見た入力インピーダンスは $$Z_\mathrm{in} = Z_1+ \frac{Z_2\,(Z_3+Z_0)}{Z_2+Z_3+Z_0}.$$ この式は、T形等価回路の直列枝 $Z_1$ と、その先の並列合成を足しただけである。

問4

スイッチ切替え問題では、切替え直前直後で連続な量を最初に確定する。キャパシタ電圧は $$v_C(0+)=v_C(0-)$$ であり、インダクタ電流は $$i_L(0+)=i_L(0-)$$ である。切替え後の回路を、対象変数 $x(t)$ に対する一次または二次の線形微分方程式へ落とす。

一次回路なら $$x(t)=x(\infty)+\{x(0+)-x(\infty)\}e^{-t/\tau},$$ 二次回路なら特性根 $s_1,s_2$ を用いて $$x(t)=x(\infty)+C_1e^{s_1t}+C_2e^{s_2t}$$ である。係数 $C_1,C_2$ は $x(0+)$ と $\dot x(0+)$ から決める。