東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2021年度 院試 解答例・解説

フーリエ変換の符号

この問題では指数が $e^{-j\omega t}$ なので，時間微分は $j\omega$ 倍，時間を掛ける操作は $j\,d/d\omega$ に対応する。特に $t^2f$ の変換は $+F''$ ではなく $-F''$ である。ここを逆にすると，後の微分方程式の符号がすべて崩れる。

境界項について

部分積分では $$[f'(t)e^{-j\omega t}]_{-\infty}^{\infty},\qquad [f(t)e^{-j\omega t}]_{-\infty}^{\infty}$$ のような項を落としている。答案では「絶対積分可能で，導関数も十分よく振る舞うため境界項は消える」と一言添えると，変換公式を丸暗記で使っていないことが伝わる。

エルミート多項式の出し方

ガウス因子 $e^{-t^2/2}$ を先にくくると，$t^2H_n$ の項がちょうど消える。残る式が $$H_n''-2tH_n'+2nH_n=0$$ であり，これは物理で現れるエルミート多項式の微分方程式である。漸化式は $$H_{n+1}=2tH_n-2nH_{n-1}$$ を覚えていれば，求められている形へ添字をずらすだけでよい。

非同次方程式の典型ミス

$\alpha=2$ の場合は右辺の $e^{-2x}$ が斉次解に含まれるため，$Ae^{-2x}$ では特殊解にならない。必ず $x$ を掛けて $Axe^{-2x}$ と置く。この「重解ではないが既存の特性根と一致する」ケースは入試でよく減点される。

同軸ではガウス面を単位長さで取る

同軸円筒では電界が半径方向だけを向き，半径 $d$ の円筒面上で一定になる。したがってガウスの法則は $E\cdot 2\pi d=q/\varepsilon_0$ と一行で書ける。長さ $l$ を入れてもよいが，単位長さあたりの量で処理すると最後に余分な $l$ が残らない。

三重円筒は並列合成

A と C が導線でつながれて接地されているため，B から見れば内側 A への容量と外側 C への容量が同じ二端子間に並列接続されている。電荷分配は容量比で決まり，A 側と C 側の誘起電荷の和は必ず $-q$ になる。この和を検算に使うと符号ミスを発見しやすい。

平行平板線路の検算

得られた $$L'=\frac{\mu_0b}{a},\qquad C'=\frac{\varepsilon_0a}{b}$$ は $$L'C'=\varepsilon_0\mu_0$$ を満たす。したがって伝搬速度は $1/\sqrt{L'C'}=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ となり，ファラデーの法則から求めた結果と一致する。

連続の式の符号

$\partial I/\partial x$ は $\cos(\omega t-kx)$ の $x$ 微分なので $+k\sin(\omega t-kx)$ である。ここを $-k\sin$ としてしまうと電荷密度と電界の位相が反転し，ファラデーの法則の確認で矛盾が出る。

伝達関数の見方

図の回路は直列回路で，出力は抵抗の電圧である。したがって「全インピーダンスに対する抵抗の分圧」として一瞬で $$H=\frac{R}{Z_{\mathrm{total}}}$$ と書ける。共振時には $j\omega L+1/(j\omega C)=0$ となり，入力電圧がすべて抵抗にかかるので利得は $1$ になる。

ステップ応答の検算

この回路は直流ではキャパシタが開放，高周波ではインダクタが大きなインピーダンスになる。そのためステップ応答は $t=0$ と $t\to\infty$ の両方で $0$ になる。求めた $$e^{-\alpha_2t}-e^{-\alpha_1t}$$ 型の応答は，確かに初期値も最終値も $0$ である。

並列LCの電流は差で取る

インダクタ電流とキャパシタ電流はどちらも無効電流だが，位相が反対である。したがって実効値を単純に足さず，フェーザとして差を取る。特に $500\,{\mathrm{rad}/s}$ では $20-15=5\,{\mathrm{A}}$ であり，ここを $35\,{\mathrm{A}}$ とすると以後の答えが大きく外れる。

第三高調波の扱い

三相の第三高調波は各相で同相になる零相成分である。三線式で中性線がない場合，線間電圧には第三高調波が現れず，負荷にも第三高調波電流は流れない。したがって線 U の実効値は単相で計算した基本波成分の $5\,{\mathrm{A}}$ のままである。

無限井戸の境界条件

無限障壁では粒子が井戸の外に存在できないため，境界で波動関数が $0$ になる。この条件から $B=0$ と $\sin kL=0$ が同時に出る。規格化定数 $\sqrt{2/L}$ を落とすと，後の摂動計算で係数がずれる。

摂動エネルギーの意味

一次摂動のエネルギー補正は「摂動ポテンシャルを確率密度で平均した値」である。一定ポテンシャルが一部区間にだけ加わる場合は，その区間に粒子が存在する確率に $\delta V$ を掛けたものになる。

反対称摂動の見抜き方

基底状態の確率密度は井戸の中心に関して左右対称である。摂動が左右反対称なら，左側の負の寄与と右側の正の寄与が打ち消し合うため，一次のエネルギー補正は $0$ になる。ただし波動関数の形は変わるので，確率密度の山は低ポテンシャル側へ寄る。

有限障壁のグラフ

$|\psi(0)|^2$ は単調増加でも単調減少でもない。浅い井戸では波動関数が広がりすぎて境界の密度は小さく，深い井戸では無限井戸に近づいて境界値が小さくなる。そのため中間で最大を持つ山形の概形を描くのが自然である。

空間電荷制限電流の符号

電子は $+x$ 方向へ動くが，通常の電流は電子の運動方向と逆向きである。したがって $J=\rho v$ と定義すると $J<0$ になる。試験答案では，最後に電流密度の大きさ $$|J|=\frac{9}{8}\varepsilon\mu V^2/L^3$$ も併記しておくと，符号の解釈が明確になる。