東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2022年度 院試 解答例・解説

方針

第1題は特性根の位置を読む問題である。収束条件では「判別式」だけでなく，根の実部が正でないことを確認する。第2題は $(1-r^{N+1})/(1-r)$ の等比級数に帰着させる。

典型ミス

重解の一般解を $C_1e^{rx}+C_2e^{rx}$ としてしまうと，独立な解が1本しか得られない。重解では必ず $$(C_1+C_2x)e^{rx}$$ と書く。また，2つの実根で収束する条件では $B>0$ としてしまいがちだが，$B=0$ では根の一方が $0$ となり，解は定数に収束するので除外しない。

検算

$A=2$ の特殊解 $y=(1+2x)e^{-x}$ は $$y(0)=1,\qquad y'(0)=1$$ を満たす。さらに重解条件から $B=A^2/4=1$ であり， $$y''+2y'+y=0$$ へ代入しても恒等的に $0$ になる。

テイラー級数では，部分和 $$h(x,N)=\frac{1-(-x)^{N+1}}{1+x}$$ を得た時点で，収束の根拠として $|x|<1$ を必ず書く。これを書かないと，有限和の計算だけで極限の証明が終わってしまう。

方針

コンデンサの力は，条件が「電圧一定」か「電荷一定」かでエネルギーの扱いが変わる。電圧一定では電源が仕事をするため，力の大きさは $$F=\frac12V^2\frac{dC}{dx_{\text{挿入}}}$$ の形で読むのが安全である。電荷一定では $$U=\frac{Q^2}{2C}$$ を用いる。

誘電体挿入の見方

誘電体が入った部分と入っていない部分は，導体板間の同じ電位差に接続されているため並列である。一方，誘電体が入った部分の中では，電界方向に真空層と誘電体層が重なるため直列である。この「面内は並列，厚み方向は直列」という切り分けが最重要である。

検算

$d=0$ とすると誘電体部分は消え， $$F_3=0$$ となる。また $\varepsilon=\varepsilon_0$ としても誘電体と真空の差がないので $F_3=0$ となる。これは式の符号と次元のよい確認になる。

荷電粒子での注意

磁場による力は速度に垂直なので仕事をしない。仕事を聞かれたときに $qvB$ と距離を掛けるのは誤りである。速度選別の部分では，電場力と磁場力が逆向きであることを明示してから $v_0=E/B$ を書くと答案として安定する。

MOSFETの答案で書くべき点

飽和条件は単に「$V_{OUT}$ が大きい」ではなく $$V_{DS}\ge V_{GS}-V_T$$ と書く。そこから $V_{OUT}=V_{DD}-RI_D$ を代入して $V_{OUT}$ を消去するのが設問の要求である。

小信号等価回路の要点

小信号解析では直流電圧源は交流的に接地される。したがって負荷抵抗 $R$ はドレインから交流接地へ接続される。依存電流源の向きはドレインからソース向きなので，入力が正になるとドレイン電圧は下がり，利得は負になる。

メッシュ方程式の符号

共有抵抗の項は，必ず「自分のメッシュ電流から隣のメッシュ電流を引く」と覚えると符号をそろえやすい。例えば閉路Bから見た $R_1$ の電流は $I_2-I_1$，$R_5$ の電流は $I_2-I_3$ である。

検算

平衡条件 $$R_1R_4=R_2R_3$$ はホイートストンブリッジの条件である。もし $R_1/R_3=R_2/R_4$ なら中央の2点の電位が等しくなり，$R_5$ に電流が流れない。導出した条件はこの直観と一致している。

階段ポテンシャルの考え方

ポテンシャルが下がる段差なので，右側では運動エネルギーが $E+V_0$ になり，波数は大きくなる。したがって $k_2>k_1$ である。この大小関係を確認しておくと，反射振幅 $$B=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}$$ が負になることも自然に理解できる。

透過率は振幅二乗だけではない

透過率を $|C|^2$ としてしまうのは典型的な誤りである。左右で波数が異なるため，確率流密度の速度因子が異なる。必ず $$T=\frac{k_2}{k_1}|C|^2$$ を用いる。

半導体電流の符号

電子の拡散電流は $$J_{n,\mathrm{diff}}=qD_n\frac{dn}{dx}$$ であり，正孔の拡散電流は $$J_{p,\mathrm{diff}}=-qD_p\frac{dp}{dx}$$ である。電子と正孔で符号が逆になるのは，電荷の符号が逆だからである。本問では密度が $x$ とともに減少するので，電子拡散電流は負，正孔拡散電流は正になる。

検算

もし $D_n=D_p$ なら，電子と正孔の拡散による電流の大きさがそろい，内部電界は不要になる。実際に $$E=\frac{N(D_n-D_p)}{W\mu_p p_{p0}}$$ は $0$ となる。これは式の物理的な妥当性を確認するよいチェックである。