東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2019年度 院試 解答例・解説

方針

前半はフーリエ変換の基本性質を、定義式から符号を確認して並べる問題である。特に $e^{-j\omega t}$ の定義を使っているため、周波数シフトの符号を逆にしないことが重要である。

検算

時間を $a$ 倍に縮めると周波数幅は $a$ 倍に広がり、係数は面積保存のため $1/a$ になる。余弦変調で $\pm\omega_0$ に側帯が出ることも、通信・信号処理の直観と一致する。

典型ミス

同次形の微分方程式では、平行移動後の $k,m$ に対して $dm/dk=dy/dx$ である点を先に確認する。$u=m/k$ と置いたあと $dm/dk=u+k\,du/dk$ を落とすと、以後の分離式がすべてずれる。

方針

球状電荷分布はガウスの法則、円電流はビオ・サバールの法則、環状コイルはアンペールの法則を使う。いずれも対称性を先に書くと、どの成分が残るかが明確になる。

検算

一様球内部では $E\propto r$ となり中心でゼロ、外部では点電荷と同じ $E\propto r^{-2}$ になる。電位は $r=a$ で内外が一致し、微分して $-dV/dr=E$ が戻る。

試験で書くべきポイント

くり抜き球の問題は「全体の一様球」から「負の電荷密度を持つ小球」を重ねるのが最短である。直接積分しようとすると時間を失いやすい。環状コイルでは、$\Phi$ は1回巻きに鎖交する磁束で、インダクタンスには巻数 $N$ がもう一度掛かる点に注意する。

方針

前半は一次遅れ回路の初期値接続、後半は理想オペアンプの仮想短絡を使う。いずれも図を丸写しせず、節点方程式を一つ書けば答案として十分に追える。

検算

二段ステップで $a=RC\log2$ のとき $v_c(a)=V$ となるため、後段で電流が流れない。電源供給エネルギー $2CV^2$ は、抵抗損失 $3CV^2/2$ と最終蓄積エネルギー $CV^2/2$ の和に等しい。

典型ミス

オペアンプ回路では、入力端子に電流が流れないことと、負帰還時に入力端子電圧が等しいことを混同しない。電流がゼロなのはオペアンプ入力であり、帰還素子や入力抵抗には電流が流れる。

方針

有限井戸では「振動解」と「減衰解」の接続条件を立てる。左側が無限壁なので $\sin$ 解だけが残り、右側は発散する指数関数を捨てる。この2点を書けば、固有値条件まで一直線に進める。

検算

$E\to 0^-$ では $k_2\to0$ となり、外側へのしみ出しが大きくなる。$E\to -U_0$ では $k_1\to0$ で井戸内の振動が消える。得られた $k_1,k_2$ はこの極限挙動と合っている。

試験で書くべきポイント

半導体の積分では $x=E_V-E$ と置くと、上限 $E_V$ が $x=0$ に変わる。指数の符号を誤ると発散積分になるので、ボルツマン近似の符号を必ず確認する。