東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2019年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

フーリエ変換

フーリエ変換を $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,dt$$ で定義する。実関数 $f(t)$ に対しては $$F(-\omega)=\overline{F(\omega)}$$ であるから、実部 $R(\omega)$ と絶対値 $|F(\omega)|$ は偶関数、虚部 $X(\omega)$ と位相 $\varphi(\omega)$ は奇関数である。

$$\begin{aligned} \mathcal F[f(at)](\omega)&=\frac1a F\!\left(\frac{\omega}{a}\right)\qquad(a>0),\\ \mathcal F[f(t-t_0)](\omega)&=e^{-j\omega t_0}F(\omega),\\ \mathcal F[f'(t)](\omega)&=j\omega F(\omega),\\ \mathcal F[f(t)e^{-j\omega_0t}](\omega)&=F(\omega+\omega_0),\\ \mathcal F[f(t)\cos\omega_0t](\omega) &=\frac12\{F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)\}. \end{aligned}$$ 微分公式は部分積分により $$\int f'(t)e^{-j\omega t}\,dt =\left[f(t)e^{-j\omega t}\right]_{-\infty}^{\infty} +j\omega\int f(t)e^{-j\omega t}\,dt$$ となる。絶対積分可能で端の寄与が消えると見れば $j\omega F(\omega)$ が得られる。

余弦を掛けた信号は、周波数軸で元のスペクトルを $\pm\omega_0$ へ半分ずつ平行移動したものになる。したがって $\omega\ge 0$ では、$\omega_0$ を中心とする左右の側帯、すなわちおおよそ $$\omega_0-\omega_2\le \omega\le \omega_0-\omega_1,\qquad \omega_0+\omega_1\le \omega\le \omega_0+\omega_2$$ に山が現れる。

不定積分

$$\int\frac{dx}{x^2+4}=\frac12\tan^{-1}\frac{x}{2}+C,\qquad \int\frac{4x}{x^2+1}\,dx=2\log(x^2+1)+C.$$

同次形に直す微分方程式

定数項を消すため $$k=x-a,\qquad m=y-b$$ とおく。分子・分母の定数項を同時にゼロにする条件は $$3a+2b-4=0,\qquad 2a-3b+6=0$$ であり、したがって $$a=0,\qquad b=2.$$ このとき $$\frac{dm}{dk}=\frac{3k+2m}{2k-3m}.$$ $u=m/k$ とおくと $m=uk$ なので $$\frac{dm}{dk}=u+k\frac{du}{dk}.$$ これを代入して整理すると $$k\frac{du}{dk} =\frac{3+2u}{2-3u}-u =\frac{3(1+u^2)}{2-3u}.$$ よって、問題の記号に合わせて $$\frac{du}{dk}=\frac{E}{D},\qquad E=\frac3k,\qquad D=\frac{2-3u}{1+u^2}.$$ 分離して積分すれば $$\int\frac{2-3u}{1+u^2}\,du =\int\frac3k\,dk$$ より $$2\tan^{-1}u-\frac32\log(1+u^2)-3\log k+C=0.$$ したがって $$F(u)=2\tan^{-1}u-\frac32\log(1+u^2).$$ 初期条件 $x=1,\ y=2$ では $k=1,\ u=0$ なので定数はゼロに取れる。$u=(y-2)/x$ を戻し、両辺を2倍すると $$4\tan^{-1}\!\left(\frac{y-2}{x}\right) -3\log\!\{x^2+(y-2)^2\}=0.$$ したがって $$G=\frac{y-2}{x},\qquad H=x^2+(y-2)^2.$$