東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

1. ベクトル解析

1. 勾配の回転は常に消えるので $$\operatorname{rot}\operatorname{grad}\phi=0$$ である。したがって空欄は $\operatorname{rot}$ である。
2. ガウスの発散定理より $$\int_V \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf A)\,dV =\int_S (\operatorname{rot}\mathbf A)\cdot \mathbf n\,dS .$$ よって空欄は $\operatorname{rot}\mathbf A$、用いる定理はガウスの発散定理である。
3. ストークスの定理より、指定された向きに対して $$\int_{S_2}(\operatorname{rot}\mathbf A)\cdot\mathbf n\,dS =\oint_C \mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell .$$ よって空欄は $\mathbf A$、用いる定理はストークスの定理である。
4. 同じ閉曲線 $C$ について、$S_1$ に外向き法線をとると境界の正向きは $S_2$ の場合と反対である。したがって $$\int_{S_1}(\operatorname{rot}\mathbf A)\cdot\mathbf n\,dS =-\oint_C \mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell .$$ これと前問を足すと、閉球面 $S=S_1\cup S_2$ について $$\int_S(\operatorname{rot}\mathbf A)\cdot\mathbf n\,dS=0$$ である。さらに発散定理から $$\int_V\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf A)\,dV=0$$ が任意の球 $V$ で成り立つ。被積分関数は連続であり、任意の球で体積積分が常に $0$ なので $$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf A)=0$$ である。
5. $f=x^2+y^2+z^2=r^2$ とおくと $$|\operatorname{grad}f|=|(2x,2y,2z)|=2r .$$ 球座標に変換して $$\begin{aligned} I &=\int_0^\infty\int_0^\pi\int_0^{2\pi} 2r\,\delta(r^2-a^2)\,r^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr \\ &=4\pi\int_0^\infty 2r^3\delta(r^2-a^2)\,dr . \end{aligned}$$ $a>0$ なので $$\delta(r^2-a^2)=\frac{1}{2a}\delta(r-a)\qquad (r\ge 0)$$ であり、 $$I=4\pi\cdot \frac{2a^3}{2a}=4\pi a^2 .$$

2. フーリエ解析

1. (1) 帯域外ではスペクトルが消えるから $$\text{(ア)}=0 .$$ 標本化間隔はナイキスト間隔 $$\text{(イ)}=\frac{1}{2W}$$ である。また逆変換の核は $$\text{(ウ)}=e^{j\omega t}.$$ 波線部の積分は $$\begin{aligned} \frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W} e^{j\omega(t-n/(2W))}\,d\omega &= \frac{1}{4\pi W} \frac{e^{j2\pi W\tau}-e^{-j2\pi W\tau}}{j\tau} \\ &= \frac{\sin(2\pi W\tau)}{2\pi W\tau}, \qquad \tau=t-\frac{n}{2W}. \end{aligned}$$ したがって $$\text{(エ)}=\sin$$ である。
2. (2) $T=2$ なので $\omega_0=\pi$ である。1周期で $f(t)=1-|t|\ (-1\le t\le 1)$ と見ればよい。 この関数は偶関数であるから $$b_n=0 .$$ また、与えられた級数の定数項は $$a_0=\frac{1}{T}\int_{-1}^{1}(1-|t|)\,dt=\frac{1}{2}.$$ 余弦係数は $$\begin{aligned} a_n &=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1}(1-|t|)\cos(n\pi t)\,dt \\ &=2\int_0^1(1-t)\cos(n\pi t)\,dt . \end{aligned}$$ 部分積分により $$\int_0^1(1-t)\cos(n\pi t)\,dt =\frac{1-\cos(n\pi)}{(n\pi)^2}$$ だから $$a_n=\frac{2\{1-(-1)^n\}}{n^2\pi^2} = \begin{cases} \dfrac{4}{n^2\pi^2}, & n\ \text{が奇数},\\[4pt] 0, & n\ \text{が偶数}. \end{cases}$$