東京科学大 工学院 電気電子系 電気電子系 専門科目 2024年度 院試 解答例・解説

方針

前半は、閉曲面全体でのストークスの定理の打ち消しから $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ を積分形で示す問題である。微分公式を暗記で書くのではなく、境界曲線の向きが $S_1$ と $S_2$ で反対になることを明記するのが得点上重要である。

デルタ関数積分の検算

$\delta(r^2-a^2)$ は $r=a$ の球面だけを選び出す。積分結果 $4\pi a^2$ は半径 $a$ の球面積であり、$|\nabla f|\delta(f-a^2)$ が等位面積分を作ることと一致する。

標本化定理の見方

$F(\omega)$ を有限区間上のフーリエ級数に展開し、逆変換すると標本値 $f(n/(2W))$ に sinc 関数が掛かった和になる。ここで $2\pi W$ と $1/(2W)$ の対応を落とすと、補間核の引数がずれる。

典型ミス

三角波の級数では、定数項の定義に注意する。本問の表し方は $a_0+\sum_{n\ge1}$ なので、標準形 $a_0/2+\sum$ の $a_0$ とは値が2倍違う。偶関数であることを先に述べれば、$b_n=0$ は計算せずに確定できる。

円板電位の見通し

軸上電位は、同心円環に分けると一変数積分になる。最後に $|z|$ が出るため、$z>0$ と $z<0$ の場合分けでは符号を取り違えやすい。電場は電位の負の勾配なので、正電荷円板の上側で $E_z>0$ になることを検算に使える。

平行円板の極限

有限円板2枚の電位は、大きな共通項 $a$ が差で消える。極限で $\sigma d/\varepsilon_0$ が残るのは、無限平板2枚の間の一様電場 $E=\sigma/\varepsilon_0$ と $\Delta V=Ed$ に対応する。

ポインティングベクトルの符号

$\mathbf E$ は電流方向、$\mathbf H$ は周方向なので $\mathbf E\times\mathbf H$ は半径方向内向きである。問題文の表現だけで「外向きに正」と思い込むと符号を落とす。答案では、外向き流束は負、導体への流入電力は正と書き分けると安全である。

2本線の遠方近似

同方向電流では遠方で $1/r$ 項が残るが、本問は逆向き電流なので $1/r$ 項が打ち消え、双極子的な $1/r^2$ 項が主項になる。条件 $|x^2-y^2|\gg d^2$ は高次項を無視してよいことを保証している。

整合条件の本質

最大電力伝送では、負荷から見た信号源インピーダンスの複素共役を負荷に持たせる。抵抗だけを合わせても、リアクタンスの和が残ると電流の大きさが下がり、消費電力は最大にならない。

L形整合回路の符号

本問の回路は「入力側に並列 $C_1$、負荷側へ直列 $L_2$」の順である。伝送行列の掛ける順番を逆にすると $A,D$ が入れ替わり、最後の $\omega C_1,\omega L_2$ が合わなくなる。$R_S>R_L$ なので、低い抵抗の負荷を高い入力抵抗に変換する形になる。

三相回路の考え方

対称負荷なので、一相分だけ計算して三倍すればよい。線間電圧 $V$ と相電圧の実効値 $V/\sqrt3$ の区別が最も重要である。図の電源記号に書かれた $V$ は線間電圧なので、そのまま一相負荷に掛けてはいけない。

力率補償の検算

コンデンサのサセプタンス $+\omega C$ が、インダクタを含む枝の負のサセプタンスを打ち消す。得られた $C=3L/(R^2+\omega^2L^2)$ は正であり、誘導性負荷を容量で補償するという物理的直感とも一致する。

二準位系の要点

非対角相互作用は、もとの準位を混合してエネルギーを反発させる。固有値の平方根内に $|V|^2$ が入るため、相互作用が強いほど準位間隔は広がる。$V=0$ とすれば固有値は $E_1,E_2$ に戻るので、式の符号確認に使える。

複素共役の扱い

ハミルトニアンはエルミートなので、片方の非対角成分を $V$ としたら反対側は $V^*$ である。ここを両方 $V$ と書くと、$V$ が複素数の場合に固有値が実数であることを保証できない。

状態密度の数え方

状態密度は「$k$ 空間で数える」「単位長さ・単位面積・単位体積で割る」「エネルギーで微分する」の順に進める。スピン2重 degeneracy を最初に掛け忘れると、すべての答えが半分になる。

次元ごとの特徴

3次元では $\rho_3(E)\propto\sqrt{E}$、2次元では段差状に一定、1次元ではサブバンド端で $1/\sqrt{E-E_0}$ 型に発散する。量子井戸、量子細線、バルク半導体の違いを説明するときにも同じ結果を使う。