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東京大学 院試 過去問 解答例

東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全18問）

全18問。微分積分・解析4問・位相・幾何1問・量子力学1問。テーマタグは5件（固有値・固有ベクトル・ヒルベルト空間・最尤推定）。2024年度と共通のテーマは最尤推定。

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解説18問／全18問（2,467字）
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途中式と最終答（最終答つき18問）
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東大 専門科目B 2025年度 院試 過去問の出題内容（全18問）

この18問の分野は微分積分・解析4問・位相・幾何1問・量子力学1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問—有限推移群の derangement固定点をもたない元を数えるあり
第2問—三次商環の単元群+4X では実成分と複素成分が出るあり
第3問—自己テンソルで消える加群有限生成と任意加群の差あり
第4問—二つの4次根号拡大の合成体合成体のガロア群を先に固定するあり
第5問位相・幾何Stiefel多様体上の高さ関数v を球面上の点として見るあり
第6問—平面領域の内在距離を保つ写像内在距離は局所的には通常の距離あり
第7問—射影空間内の二つの射影3空間の和条件は二つの射影3空間の和を表すあり
第8問微分積分・解析小球面上の微分形式積分の漸近Stokesで球面積分を球体積分へ移すあり
第9問微分積分・解析//www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>L</mi><mn>1</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L^1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 判定逆向きは「遠方で符号を拾う」あり
第10問微分積分・解析単葉正則関数の面積と凸性凸性は解析的判定で半径縮小に安定あり
第11問微分積分・解析//www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{1-t}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.1744em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8656em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span><span style="top:-2.8256em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1744em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span> の作用素級数とシフト係数は指数減衰ではなくあり
第12問—周期KdV型方程式の保存量右辺は三階微分あり
第13問—幾何分布で止めた独立和同じ を共有しているあり
第14問—逆ガンマ型分布の最尤推定指数部はあり
第15問—周期差分スキームのFourier安定性各Fourierモードは2階漸化式あり
第16問//www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">q</span></span></span></span>-差分作用素と対称多項式—あり
第17問量子力学二準位量子系の期待値この内積ではPauli行列を正規化しないあり
第18問—正則言語の挿入商—あり

2025年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は5問に5テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第11・17問25大学・544問
ヒルベルト空間第5・17問12大学・33問
最尤推定第14問8大学・28問
オートマトン理論第18問11大学・21問
中心極限定理第14問5大学・14問

前年度（2024年度）との違い

大問数
2024年度 18問 → 2025年度 18問
両年度に出たテーマ
最尤推定
2024年度のページを見る

第1問 — 有限推移群の derangement

固定点をもたない元を数える

(1) は Burnside の補題の基本形である。(2) は「推移置換群には少なくとも 1/∣X∣1/|X| の割合で derangement がある」という評価で，(3) の A4A_4 作用が 等号例になる。

有限推移群の derangementの途中式・最終答をPDFで見る

第2問 — 三次商環の単元群

X3+4XX^3+4X では実成分と複素成分が出る

この問題では X2+4XX^2+4X ではなく X3+4XX^3+4X を扱う。実数上では R×C\mathbb R\times\mathbb C になり，整数係数の情報は Re⁡z\operatorname{Re}z の mod 44 条件と Im⁡z\operatorname{Im}z の偶奇条件として残る。

三次商環の単元群の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 自己テンソルで消える加群

有限生成と任意加群の差

有限生成なら局所化と Nakayama で直ちに示せる。任意加群まで許すと， 零次元 Noether すなわち Artin であることが必要になり，逆向きでは Frac⁡(A/p)/(A/p)\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)/(A/\mathfrak p) が反例を作る。

自己テンソルで消える加群の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 二つの4次根号拡大の合成体

合成体のガロア群を先に固定する

2+2\sqrt{2+\sqrt2} 側は巡回4次，3+3\sqrt{3+\sqrt3} 側は 2\sqrt2 を加えることで二面体的になる。共通部分が Q(2)\mathbb Q(\sqrt2) であることを 押さえると，位数16の群から中間体を機械的に読める。

二つの4次根号拡大の合成体の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — Stiefel多様体上の高さ関数

u×vu\times v を球面上の点として見る

この問題の流れは，本質的には球面 S2S^2 上の高さ関数 w↦w3w\mapsto w_3 の勾配流である。 フレーム (u,v)(u,v) は w=u×vw=u\times v と一緒に最小回転で運ばれる。

Stiefel多様体上の高さ関数の途中式・最終答をPDFで見る

第6問 — 平面領域の内在距離を保つ写像

内在距離は局所的には通常の距離

開集合内で十分近い二点は線分で結べるので，内在距離は局所的にユークリッド距離と一致する。 そこから局所的な合同変換を得て，連結性で一つに貼り合わせる。

平面領域の内在距離を保つ写像の途中式・最終答をPDFで見る

第7問 — 射影空間内の二つの射影3空間の和

条件は二つの射影3空間の和を表す

xiyj=0x_i y_j=0 は xx-成分か yy-成分のどちらかが全て0という条件である。 交わりは zz-成分だけが残る RP1\mathbb RP^1 なので，Mayer--Vietoris が直接使える。

射影空間内の二つの射影3空間の和の途中式・最終答をPDFで見る

第8問 — 小球面上の微分形式積分の漸近

Stokesで球面積分を球体積分へ移す

単なる面積スケーリングではなく，∫S(r)ω=∫B(r)dω\int_{S(r)}\omega=\int_{B(r)}d\omega を使う点が重要である。 x1kx_1^k を掛けたときは，kk の偶奇で最初の非零項の次数が変わる。

小球面上の微分形式積分の漸近の途中式・最終答をPDFで見る

第9問 — 切断関数列による <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>L</mi><mn>1</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L^1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 判定

逆向きは「遠方で符号を拾う」

単なる標準的な切断関数では条件 (ii) の強さを使い切れない。 全ての gng_n に対して成り立つことを使い，遠方で sgn⁡f\operatorname{sgn}f を拾う関数列を作る。

切断関数列による <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>L</mi><mn>1</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L^1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 判定の途中式・最終答をPDFで見る

第10問 — 単葉正則関数の面積と凸性

凸性は解析的判定で半径縮小に安定

面積は ∣f′∣2|f'|^2 の積分で出る。凸性は Re⁡(1+zf′′/f′)≥0\operatorname{Re}(1+zf''/f')\ge0 を使うと，z↦rzz\mapsto rz による縮小で直ちに保たれる。

単葉正則関数の面積と凸性の途中式・最終答をPDFで見る

第11問 — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{1-t}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.1744em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8656em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span><span style="top:-2.8256em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1744em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span> の作用素級数とシフト

係数は指数減衰ではなく n−3/2n^{-3/2}

1−t\sqrt{1-t} の特異点は t=1t=1 にあるため，係数は幾何級数的には減らない。 ただし n−3/2n^{-3/2} で十分総和可能である。シフトの部分は TT の固有値1に近い 近似固有ベクトルを使う。

<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{1-t}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.1744em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8656em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span><span style="top:-2.8256em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1744em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span> の作用素級数とシフトの途中式・最終答をPDFで見る

第12問 — 周期KdV型方程式の保存量

右辺は三階微分

この方程式は粘性項 uxxu_{xx} ではなく分散項 uxxxu_{xxx} をもつ。 そのため L2L^2 ノルムと ∫(ux2+13u3)\int(u_x^2+\frac13u^3) が保存量になる。

周期KdV型方程式の保存量の途中式・最終答をPDFで見る

第13問 — 幾何分布で止めた独立和

同じ XiX_i を共有している

UrU_r どうしは YrY_r が独立でも独立ではない。共分散は二つのランダムな初期区間の 重なり，すなわち min⁡(Yr,Ys)\min(Y_r,Y_s) の期待値で決まる。

幾何分布で止めた独立和の途中式・最終答をPDFで見る

第14問 — 逆ガンマ型分布の最尤推定

指数部は −1/(tx)-1/(tx)

Y=1/XY=1/X と変換すると通常のガンマ分布になる。これにより最尤推定量の期待値と 漸近分布は標本平均の問題に帰着する。

逆ガンマ型分布の最尤推定の途中式・最終答をPDFで見る

第15問 — 周期差分スキームのFourier安定性

各Fourierモードは2階漸化式

差分方程式を Fourier モードに分解すると，安定性は特性根の絶対値を見るだけになる。 0<τ<h0<\tau<h は全てのモードで ∣λk∣<1|\lambda_k|<1 を保証する条件である。

周期差分スキームのFourier安定性の途中式・最終答をPDFで見る

第16問 — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">q</span></span></span></span>-差分作用素と対称多項式

KK を母関数として使う

qq-シフトで無限積の先頭因子が消えるため，方程式系は自然に解ける。 最後の固有多項式はこの母関数の ymy^m 係数である。

<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">q</span></span></span></span>-差分作用素と対称多項式の途中式・最終答をPDFで見る

第17問 — 二準位量子系の期待値

この内積ではPauli行列を正規化しない

内積に係数 1/21/2 が入っているため，Pauli 行列そのものが正規直交基底になる。 時間発展 eiS3te^{iS_3t} は Bloch ベクトルを S1S2S_1S_2-平面で回転させる。

二準位量子系の期待値の途中式・最終答をPDFで見る

第18問 — 正則言語の挿入商

LL が非正則でも，状態間関係は有限

LL 全体を認識する必要はない。元の有限オートマトン上で，LL の語がどの状態から どの状態へ移せるかという有限関係だけを使えばよい。

正則言語の挿入商の途中式・最終答をPDFで見る

東大 専門科目B 院試 過去問の収録19年度

  • 2026年度（全18問）

    整行列の部分環と格子加群 ／ Kummer拡大と四元数群 ／ 上三角群と双対数環上の持ち上げ

  • 2025年度（このページ・全18問）

    有限推移群の derangement ／ 三次商環の単元群 ／ 自己テンソルで消える加群

  • 2024年度（全18問）

    冪零行列のSL共役類 ／ 曲線特異点とHom加群 ／ 切断された次数付き加群

  • 2022年度（全18問）

    行列成分の軌道 ／ 平方零イデアルによる拡大 ／ 多項式環の自由性

  • 2020年度（全18問）

    Galois閉包と中間体 ／ 二変数多項式環の極大イデアル ／ 特異点の随伴次数環

  • 2019年度（全18問）

    余次元1の部分環 ／ 三項式の既約性 ／ 対称関数体と中間体

  • 2018年度（全18問）

    位数pの持ち上げ ／ 交叉曲線の正則性 ／ 尖点環上の二次曲面

  • 2017年度（全18問）

    部分格子と有限アーベル群 ／ 2重可移作用 ／ 二次超曲面の特異点

  • 2016年度（全18問）解答・最終答まで全文公開

    巡回商をもつ群拡大 ／ 三直線の座標環と巡回作用 ／ 有理関数体のガロア閉包

  • 2015年度（全18問）解答・最終答まで全文公開

    有限p群の共役類と既約表現 ／ 数値半群環の conductor ／ BGG 型複体

  • 2014年度（全18問）解答・最終答まで全文公開

    Artin--Schreier拡大 ／ 実代数曲線の極大イデアル ／ ファイバーと接空間次元

  • 2013年度（全18問）解答・最終答まで全文公開

    有限体上の2次一般線形群 ／ 3本の直線の有限被覆 ／ Nakayamaの補題と単項曲線

  • 2012年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    有理関数体の不変体

  • 2011年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    有限可換群と巡回因子

  • 2010年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    有限環の分解と単数群

  • 2007年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    半直積の正規部分群

  • 2006年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    分解体と中間体

  • 2005年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    行列の位数

  • 2004年度（全1問）解答・最終答まで全文公開

    線形写像の階数