東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全18問）

固定点をもたない元を数える

(1) は Burnside の補題の基本形である。(2) は「推移置換群には少なくとも $1/|X|$ の割合で derangement がある」という評価で，(3) の $A_4$ 作用が 等号例になる。

$X^3+4X$ では実成分と複素成分が出る

この問題では $X^2+4X$ ではなく $X^3+4X$ を扱う。実数上では $\mathbb R\times\mathbb C$ になり，整数係数の情報は $\operatorname{Re}z$ の mod $4$ 条件と $\operatorname{Im}z$ の偶奇条件として残る。

有限生成と任意加群の差

有限生成なら局所化と Nakayama で直ちに示せる。任意加群まで許すと， 零次元 Noether すなわち Artin であることが必要になり，逆向きでは $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)/(A/\mathfrak p)$ が反例を作る。

合成体のガロア群を先に固定する

$\sqrt{2+\sqrt2}$ 側は巡回4次，$\sqrt{3+\sqrt3}$ 側は $\sqrt2$ を加えることで二面体的になる。共通部分が $\mathbb Q(\sqrt2)$ であることを 押さえると，位数16の群から中間体を機械的に読める。

$u\times v$ を球面上の点として見る

この問題の流れは，本質的には球面 $S^2$ 上の高さ関数 $w\mapsto w_3$ の勾配流である。 フレーム $(u,v)$ は $w=u\times v$ と一緒に最小回転で運ばれる。

内在距離は局所的には通常の距離

開集合内で十分近い二点は線分で結べるので，内在距離は局所的にユークリッド距離と一致する。 そこから局所的な合同変換を得て，連結性で一つに貼り合わせる。

条件は二つの射影3空間の和を表す

$x_i y_j=0$ は $x$-成分か $y$-成分のどちらかが全て0という条件である。 交わりは $z$-成分だけが残る $\mathbb RP^1$ なので，Mayer--Vietoris が直接使える。

Stokesで球面積分を球体積分へ移す

単なる面積スケーリングではなく，$\int_{S(r)}\omega=\int_{B(r)}d\omega$ を使う点が重要である。 $x_1^k$ を掛けたときは，$k$ の偶奇で最初の非零項の次数が変わる。

逆向きは「遠方で符号を拾う」

単なる標準的な切断関数では条件 (ii) の強さを使い切れない。 全ての $g_n$ に対して成り立つことを使い，遠方で $\operatorname{sgn}f$ を拾う関数列を作る。

凸性は解析的判定で半径縮小に安定

面積は $|f'|^2$ の積分で出る。凸性は $\operatorname{Re}(1+zf''/f')\ge0$ を使うと，$z\mapsto rz$ による縮小で直ちに保たれる。

係数は指数減衰ではなく $n^{-3/2}$

$\sqrt{1-t}$ の特異点は $t=1$ にあるため，係数は幾何級数的には減らない。 ただし $n^{-3/2}$ で十分総和可能である。シフトの部分は $T$ の固有値1に近い 近似固有ベクトルを使う。

右辺は三階微分

この方程式は粘性項 $u_{xx}$ ではなく分散項 $u_{xxx}$ をもつ。 そのため $L^2$ ノルムと $\int(u_x^2+\frac13u^3)$ が保存量になる。

同じ $X_i$ を共有している

$U_r$ どうしは $Y_r$ が独立でも独立ではない。共分散は二つのランダムな初期区間の 重なり，すなわち $\min(Y_r,Y_s)$ の期待値で決まる。

指数部は $-1/(tx)$

$Y=1/X$ と変換すると通常のガンマ分布になる。これにより最尤推定量の期待値と 漸近分布は標本平均の問題に帰着する。

各Fourierモードは2階漸化式

差分方程式を Fourier モードに分解すると，安定性は特性根の絶対値を見るだけになる。 $0<\tau<h$ は全てのモードで $|\lambda_k|<1$ を保証する条件である。

$K$ を母関数として使う

$q$-シフトで無限積の先頭因子が消えるため，方程式系は自然に解ける。 最後の固有多項式はこの母関数の $y^m$ 係数である。

この内積ではPauli行列を正規化しない

内積に係数 $1/2$ が入っているため，Pauli 行列そのものが正規直交基底になる。 時間発展 $e^{iS_3t}$ は Bloch ベクトルを $S_1S_2$-平面で回転させる。

$L$ が非正則でも，状態間関係は有限

$L$ 全体を認識する必要はない。元の有限オートマトン上で，$L$ の語がどの状態から どの状態へ移せるかという有限関係だけを使えばよい。