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東京大学 院試 過去問 解答例

東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2025年度 院試 解答例・解説

東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2025年度の院試 過去問について、設問ごとの解法方針と確認点を解説。全18問収録の解答・解説PDFと併用できます。問題本文は含みません。

最終更新:

設問ごとの解法方針と確認点を公開しています。

続きの途中式・最終答は解答・解説PDFに収録しています。問題本文は含まれません。

第1問 — 有限推移群の derangement

固定点をもたない元を数える

(1) は Burnside の補題の基本形である。(2) は「推移置換群には少なくとも 1/∣X∣1/|X| の割合で derangement がある」という評価で，(3) の A4A_4 作用が 等号例になる。

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第2問 — 三次商環の単元群

X3+4XX^3+4X では実成分と複素成分が出る

この問題では X2+4XX^2+4X ではなく X3+4XX^3+4X を扱う。実数上では R×C\mathbb R\times\mathbb C になり，整数係数の情報は Re⁡z\operatorname{Re}z の mod 44 条件と Im⁡z\operatorname{Im}z の偶奇条件として残る。

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第3問 — 自己テンソルで消える加群

有限生成と任意加群の差

有限生成なら局所化と Nakayama で直ちに示せる。任意加群まで許すと， 零次元 Noether すなわち Artin であることが必要になり，逆向きでは Frac⁡(A/p)/(A/p)\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)/(A/\mathfrak p) が反例を作る。

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第4問 — 二つの4次根号拡大の合成体

合成体のガロア群を先に固定する

2+2\sqrt{2+\sqrt2} 側は巡回4次，3+3\sqrt{3+\sqrt3} 側は 2\sqrt2 を加えることで二面体的になる。共通部分が Q(2)\mathbb Q(\sqrt2) であることを 押さえると，位数16の群から中間体を機械的に読める。

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第5問 — Stiefel多様体上の高さ関数

u×vu\times v を球面上の点として見る

この問題の流れは，本質的には球面 S2S^2 上の高さ関数 w↦w3w\mapsto w_3 の勾配流である。 フレーム (u,v)(u,v) は w=u×vw=u\times v と一緒に最小回転で運ばれる。

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第6問 — 平面領域の内在距離を保つ写像

内在距離は局所的には通常の距離

開集合内で十分近い二点は線分で結べるので，内在距離は局所的にユークリッド距離と一致する。 そこから局所的な合同変換を得て，連結性で一つに貼り合わせる。

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第7問 — 射影空間内の二つの射影3空間の和

条件は二つの射影3空間の和を表す

xiyj=0x_i y_j=0 は xx-成分か yy-成分のどちらかが全て0という条件である。 交わりは zz-成分だけが残る RP1\mathbb RP^1 なので，Mayer--Vietoris が直接使える。

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第8問 — 小球面上の微分形式積分の漸近

Stokesで球面積分を球体積分へ移す

単なる面積スケーリングではなく，∫S(r)ω=∫B(r)dω\int_{S(r)}\omega=\int_{B(r)}d\omega を使う点が重要である。 x1kx_1^k を掛けたときは，kk の偶奇で最初の非零項の次数が変わる。

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第9問 — 切断関数列による <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>L</mi><mn>1</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L^1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 判定

逆向きは「遠方で符号を拾う」

単なる標準的な切断関数では条件 (ii) の強さを使い切れない。 全ての gng_n に対して成り立つことを使い，遠方で sgn⁡f\operatorname{sgn}f を拾う関数列を作る。

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第10問 — 単葉正則関数の面積と凸性

凸性は解析的判定で半径縮小に安定

面積は ∣f′∣2|f'|^2 の積分で出る。凸性は Re⁡(1+zf′′/f′)≥0\operatorname{Re}(1+zf''/f')\ge0 を使うと，z↦rzz\mapsto rz による縮小で直ちに保たれる。

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第11問 — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{1-t}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.1744em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8656em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span><span style="top:-2.8256em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1744em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span> の作用素級数とシフト

係数は指数減衰ではなく n−3/2n^{-3/2}

1−t\sqrt{1-t} の特異点は t=1t=1 にあるため，係数は幾何級数的には減らない。 ただし n−3/2n^{-3/2} で十分総和可能である。シフトの部分は TT の固有値1に近い 近似固有ベクトルを使う。

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第12問 — 周期KdV型方程式の保存量

右辺は三階微分

この方程式は粘性項 uxxu_{xx} ではなく分散項 uxxxu_{xxx} をもつ。 そのため L2L^2 ノルムと ∫(ux2+13u3)\int(u_x^2+\frac13u^3) が保存量になる。

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第13問 — 幾何分布で止めた独立和

同じ XiX_i を共有している

UrU_r どうしは YrY_r が独立でも独立ではない。共分散は二つのランダムな初期区間の 重なり，すなわち min⁡(Yr,Ys)\min(Y_r,Y_s) の期待値で決まる。

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第14問 — 逆ガンマ型分布の最尤推定

指数部は −1/(tx)-1/(tx)

Y=1/XY=1/X と変換すると通常のガンマ分布になる。これにより最尤推定量の期待値と 漸近分布は標本平均の問題に帰着する。

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第15問 — 周期差分スキームのFourier安定性

各Fourierモードは2階漸化式

差分方程式を Fourier モードに分解すると，安定性は特性根の絶対値を見るだけになる。 0<τ<h0<\tau<h は全てのモードで ∣λk∣<1|\lambda_k|<1 を保証する条件である。

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第16問 — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">q</span></span></span></span>-差分作用素と対称多項式

KK を母関数として使う

qq-シフトで無限積の先頭因子が消えるため，方程式系は自然に解ける。 最後の固有多項式はこの母関数の ymy^m 係数である。

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第17問 — 二準位量子系の期待値

この内積ではPauli行列を正規化しない

内積に係数 1/21/2 が入っているため，Pauli 行列そのものが正規直交基底になる。 時間発展 eiS3te^{iS_3t} は Bloch ベクトルを S1S2S_1S_2-平面で回転させる。

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第18問 — 正則言語の挿入商

LL が非正則でも，状態間関係は有限

LL 全体を認識する必要はない。元の有限オートマトン上で，LL の語がどの状態から どの状態へ移せるかという有限関係だけを使えばよい。

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