東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2018年度 院試 解答例・解説

見るべき元

有限体上の位数 $p$ の元は，標数 $p$ 特有の単冪元である。半単純な固有値を 追うのではなく，Jordan ブロック $I+N$ を持ち上げたときの $p$ 乗を $p^2$ で計算するのが最短である。

典型ミス

$p\ge5$ と $p=3$ で $\sum i^2$ の挙動が異なる。特に $p=3$ では $\sum_{i=0}^{2}i^2=2$ が残るため，例外的に補正項で $pN$ を消せる。

方針

第1段階は完全交叉曲線の非特異性判定である。極大イデアルの $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は接空間の双対なので，接空間が1次元であることを ヤコビ行列の階数で判定する。

採点上の注意

第2段階では，商が0次元になっている。ここでは「解が重なる」ことではなく， $x^2=0$ または $y^2=0$ 型の重根が出ることが冪零元の発生である。

幾何的な意味

[数式] は尖点をもつ曲線の座標環である。原点以外では $t$ を復元できるので正規化と変わらない。設問(2)はこの「原点以外では 正規化が同型」という事実を局所環で書いたものである。

最後の同型

二次式 $u^2+uv+v^2=1$ は，複素数上では双曲線 $(u-\omega v)(u-\omega^2v)=1$ になる。従って座標環は Laurent 多項式環である。

方針

$\alpha^p=p\zeta^p$ から，[数式] は $p$ 乗根の一段だけを含む。 一方 [数式] は $\sqrt[p]{p}$ と $p^2$ 乗根を同時に含むため， 次数がさらに $p$ 倍になる。

中間体の数え方

最後は体を直接書き下すより，ガロア群の部分群を数える方が安全である。 位数 $p-1$ の補群が $p$ 個ある，という点を押さえればよい。

最大値の見方

$xw-yz$ は2次元ベクトル2本の符号付き面積である。したがって $|\det(u,v)|\le |u||v|$ と $|u|^2+|v|^2=1$ から，最大値が $1/2$ であることがすぐ分かる。

端点の扱い

$\alpha=1/2$ は正則値ではない。ここを正則値定理だけで処理すると誤りになる。 等号成立条件を別に調べ，実際には円周になることを確認する。

分解の要点

$U$ では2つの成分が交わらない。一方 $V$ は境界トーラスを共有する。 この違いを見落とすと，(1) と (2) のホモロジーを取り違える。

商の扱い

$J$ が2成分を交換する場合，商は「一方の成分を安定化部分群で割る」と見ればよい。 これにより計算はトーラスと固体トーラスの標準的なホモロジーに落ちる。

有界性の見方

線形部は回転を伴う拡大だが，三次項が大きい半径で内向きに働く。半径二乗の微分を 直接評価すると，解が無限遠へ逃げないことが一行で分かる。

零点の見方

コンパクト台の摂動は無限遠でのベクトル場の向きを変えない。従って零点の存在は 境界の回転数，すなわち平面ベクトル場の指数で決まる。ここで回転数が $1$ で あることを書けば，Brouwerの次数の言葉を使っても同じ証明になる。

固有性の本質

跡零の2次行列では，行列式と反対称部分を固定すると残りの成分が有界になる。 この低次元の座標計算が固有性の中身である。

積分計算

$Z=C(1)$ の軌道は2枚の双曲面として表せる。$p$ はその高さ $r=c-b$ を読む写像であり，$|r|\le A$ で切ると2枚の円板になる。 KKS形式が $da\wedge ds/\sqrt{1+a^2+s^2}$ になるため，最後は極座標積分だけで 終わる。

方針

前半は $L^p$ と $L^q$ の双対性そのもの。後半は Hilbert 空間の弱収束で， 「弱収束 + ノルム収束 = 強収束」と「極限は閉線形包に入る」を使う。

採点上の注意

$p=2$ の内積計算では，弱収束を $g=f$ に適用する。ここで $\langle f_n,f\rangle\to\langle f,f\rangle$ と書けることが決定的である。

Schur変換

$\phi_a$ で値 $a=f(0)$ を $0$ に移し，さらに $z$ で割る操作が Schurアルゴリズムである。Schwarzの補題がそのまま $|T(f)|\le1$ を与える。

有限Blaschke積

境界で絶対値 $1$ を保つ正則関数は，円板内の零点をBlaschke因子で取り除くと 零点のない内関数になる。境界絶対値が $1$ なので，最大値原理により残りは定数に ならざるを得ない。

射影になる条件

和 $P_1+P_2$ が再び射影になるのは，2つの射影が互いに干渉しない場合だけである。 これは $P_1P_2=P_2P_1=0$，つまり部分空間の直交性に対応する。

角度評価

$\cos\theta$ は2つの部分空間の内積の最大値を測る量である。最後の不等式は 実質的に $2ab\le a^2+b^2$ と角度の定義を組み合わせた評価である。

方針

核は自由Schrodinger方程式の基本解である。ノルム保存と近似評価はどちらも Fourier変換のPlancherel定理で処理するのが最も短い。

微分の正当化

$\phi$ が急減少であるため，核を何回 $t,x$ で微分しても積分可能な優関数が取れる。 この条件があるので，偏微分方程式は核の恒等式を積分するだけで証明できる。

反復の本質

反復法は解そのものではなく誤差を見る。誤差は毎回 $I-\alpha A$ を掛けられるため， 収束条件はこの行列のスペクトル半径が $1$ 未満であることに尽きる。

符号に注意

(i) の $A$ は負定値なので，収束する $\alpha$ は負である。正定値の場合の $0<\alpha<2/\lambda_{\max}$ をそのまま当てはめると符号を誤る。

方針

$S_k$ は平均 $1$ のガンマ分布で，$k$ を大きくすると $1$ の近くに集中する。 したがって $X_nS_k$ の分布収束が全ての $k$ で分かれば，最後に $S_k$ を $1$ に近づけて $X_n$ の分布収束を取り出せる。

タイト性

分布収束を示すには，まず $X_n$ が無限遠へ逃げないことが必要である。 $S_k$ が高確率で $1/2$ 以上であることを使うと，$X_nS_k$ のタイト性から $X_n$ のタイト性が従う。

方針

これは区間 $[0,1]$ 上のLegendre多項式である。Rodrigues公式から直交性を出し， 標準Legendre多項式のノルムをモニック化の係数で割ればよい。

零点

直交多項式の零点が区間内で単純になる理由は，符号変化零点の個数が不足すると， 低次多項式を掛けて内積を正にできてしまうからである。

全量保存

このモデルでは，感受性・感染性・回復後年齢構造を合わせた総量が $N'=b-\mu N$ に従う。初期値が $b/\mu$ 上にあれば，その超平面から出ない。

閾値

$R_0$ は感染者が少ないときの増殖率の符号を決める。$R_0<1$ では $I'/I$ が負に抑えられ，$R_0>1$ では $S$ が疾病なし平衡に近づくと 感染者が再び増えるため，完全消滅は矛盾する。

単項式で見る

$q^{\theta_i}$ は次数を読む作用素である。したがって交換関係は抽象的に扱うより， 単項式 $x_i^n$ へ作用させて確認するのが最も確実である。

4次元部分表現

$\lambda_i=1$ では各変数ごとに $\langle1,x_i\rangle$ が2次元表現になる。 そのテンソル積が $W$ であり，3次元成分と1次元成分へ分解するため，中心元 $C$ はそこで対角化される。

有限グラフの見方

$\operatorname{AF}$ は「どの無限パスもいつか入る」という条件である。有限グラフでは， これは補集合に有向閉路がないことと同じである。

$\operatorname{EG}$ の意味

$\operatorname{EG}(X)$ は，$X$ の中だけで無限に動ける頂点である。したがって 単に不可避な4点を選ぶだけでは足りず，選んだ点が $X$ 内の閉路へ到達できるように 追加頂点が必要になる。