電通大 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2026年度 院試 解答例・解説

成分和で整理する

この行列では，$Jx$ が「成分和をすべての成分に並べたベクトル」になる。したがって，成分和が $0$ の空間では $A=J-I$ が $-I$ に簡約される。今回の $u$ と，条件を満たした後の $v$ はどちらもこの空間に入るため，作用は単に符号反転になる。

基底座標の読み取り

$$c_1p_1+c_2p_2+c_3p_3 = \begin{pmatrix} -c_1-c_2-c_3\\ c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$$ である。したがって $V$ のベクトルをこの基底で表すとき，座標は第2，第3，第4成分をそのまま読めばよい。この観察を使うと，表現行列の列ベクトルを短く求められる。

採点の置き所

$A=J-I$ と見抜く部分が答案全体の起点である。ここから成分和 $0$ の空間が $-1$ 固有空間，全成分が等しい方向が $3$ 固有空間であることを説明すると，固有値・固有空間・表現行列の計算が一つの流れになる。

典型ミス

$Av\in V$ の条件を $v\in V$ の条件と同一視するのは，この行列では結果的に同じ形になるが，理由を書かないと危うい。$Av=(J-I)v$ の成分和が $3$ 倍になることから，$Av\in V$ と $v$ の成分和 $0$ が同値であると示す。

検算

表現行列の第1列は $Au=-u=(-4,1,5,-2)^T$ の第2，第3，第4成分である。第2列も $Av=-v=(-11,5,-1,7)^T$ から読める。したがって $$M= \begin{pmatrix} 1&5\\5&-1\\-2&7 \end{pmatrix}$$ の各列は，定義域基底 $(u,v)$ の像を $V$ の基底 $(p_1,p_2,p_3)$ で表したものになっている。

法線と勾配

陰曲線の接線は $\nabla f$ と直交するため，法線方向は $\nabla f$ そのものである。今回の点では勾配が $(1,2)$ となるので，点を通る方向ベクトル表示から直線方程式へ変換すればよい。

極値判定

停留点をすべて出した後，ヘッセ行列の正定値性で判定する。正定値なら極小，負定値なら極大，不定値なら鞍点である。今回は正定値になる停留点が一つだけである。

領域に合う変数変換

$I_1$ は平方根を含む境界なので $x=u^2,y=v^2$，$I_2$ は円盤の扇形なので極座標，$I_3$ は $x^2\le y$ を $x$ の範囲に直す，というように領域の形に合わせて積分順序を選ぶと計算が短くなる。

採点の置き所

法線では，勾配を計算したあと，その勾配を方向ベクトルにした直線が法線であることを書く。極値では停留点を三つ挙げ，ヘッセ行列の正定値・不定値を各点で判定して，極小点と鞍点を明確に区別する。

典型ミス

$I_1$ の変数変換では $dxdy=4uv\,dudv$ を忘れやすい。境界が $\sqrt{x}+\sqrt{y}\le1$ なので $u+v\le1$ になるが，このとき $u,v\ge0$ も同時に書く必要がある。$I_2$ では角度の上限が $\arctan(3/4)$ であり，$\sin\phi=3/5,\cos\phi=4/5$ を使うと計算を検算できる。

検算

$(1,1)$ では $H=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}$ なので確かに正定値である。$I_1=1/45$ は三角形領域上の $u v$ 型積分として小さい正値になり，$I_3=(2\log2-1)/4>0$ は $2\log2>1$ から符号も確認できる。