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電気通信大学 院試 過去問 解答例

電通大 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

全2問。線形代数1問・微分積分・解析1問。テーマタグは2件（重積分と極座標・ラグランジュの未定乗数法）。2024年度と共通のテーマは重積分と極座標。

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解説2問と大問1問の途中式・最終答（全2問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき2問）
問題本文
非収録

電通大 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2025年度 院試 過去問の出題内容（全2問）

この2問の分野は線形代数1問・微分積分・解析1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問線形代数—列空間で考える / 交わりの求め方あり
第2問微分積分・解析微分積分陰関数の微分 / 制約付き極値あり

この年度の解説には検算2件・採点の置き所2件・典型ミス2件が付いています。

2025年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は1問に2テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
重積分と極座標第2問23大学・142問
ラグランジュの未定乗数法第2問12大学・33問

前年度（2024年度）との違い

大問数
2024年度 2問 → 2025年度 2問
両年度に出たテーマ
重積分と極座標
2025年度で新しく出たテーマ
ラグランジュの未定乗数法
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第1問 — 線形代数

列空間で考える

Im⁡f\operatorname{Im}f は AA の列空間である。列の一次関係を求めると，像の次元と一般元の形が同時に分かる。

交わりの求め方

Im⁡f\operatorname{Im}f の一般元を sa1+ta2sa_1+ta_2 とおき，これを BB に代入する。非零解が存在する条件が交わりの非自明性であり，条件を満たす (s,t)(s,t) を一つ取れば基底候補が得られる。

採点の置き所

像の次元，核の非自明条件，像と核の交わりの条件は別々の問いである。特に det⁡B=0\det B=0 から得た c=−3,3c=-3,3 をそのまま交わりの条件にしてはいけない。交わりでは Im⁡f\operatorname{Im}f の一般元を代入する一段階が必要である。

典型ミス

a3=9a1+5a2a_3=9a_1+5a_2 を見つけたあと，Im⁡f\operatorname{Im}f の基底を三本の列ベクトルのままにすると次元を誤る。基底として使うのは一次独立な a1,a2a_1,a_2 の二本で十分であり，交わりの計算もこの二本の係数 s,ts,t で進める。

検算

交わりの基底候補 (1,1,−1)T(1,1,-1)^T は，実際に 7a1+4a27a_1+4a_2 で表されるので Im⁡f\operatorname{Im}f に属する。また c=−3c=-3 の BB を掛けると零ベクトルになり，Ker⁡g\operatorname{Ker}g に属することも直接確認できる。

解答

行列 AA の列ベクトルを a1,a2,a3a_1,a_2,a_3 とする。 a1=(371),a2=(−5−12−2),a3=(23−1). a_1= \begin{pmatrix}3\\7\\1\end{pmatrix},\quad a_2= \begin{pmatrix}-5\\-12\\-2\end{pmatrix},\quad a_3= \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}. 係数比較により a3=9a1+5a2 a_3=9a_1+5a_2 である。また a1,a2a_1,a_2 は比例しないため一次独立であり， dim⁡Im⁡f=2. \dim\operatorname{Im}f=2.

核が非自明になる条件は det⁡B=0 \det B=0 である。行列式を計算すると det⁡B=−2(c+3)2(c−3) \det B=-2(c+3)^2(c-3) なので dim⁡Ker⁡g≠0⟺c=−3, 3. \dim\operatorname{Ker}g\ne 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c=-3,\ 3.

交わりを調べるため， x=sa1+ta2 x=sa_1+ta_2 とおく。この xx が Ker⁡g\operatorname{Ker}g に属する条件は B(sa1+ta2)=0 B(sa_1+ta_2)=0 である。計算すると (Ba1Ba2)=(16−2830+7c−c22c2−12c−547+c2−10−2c2). \begin{pmatrix} Ba_1 & Ba_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16&-28\\ 30+7c-c^2&2c^2-12c-54\\ 7+c^2&-10-2c^2 \end{pmatrix}. この二列が一次従属になる条件を 2×22\times2 小行列式で調べると c=−3 c=-3 だけが残る。

このとき B=(−231000−231) B= \begin{pmatrix} -2&3&1\\ 0&0&0\\ -2&3&1 \end{pmatrix} であり， 16s−28t=0 16s-28t=0 を満たせばよい。例えば s=7, t=4s=7,\ t=4 と取ると 7a1+4a2=(11−1). 7a_1+4a_2= \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}. したがって交わりの基底として {(11−1)} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \right\} が取れる。

最終答

a3=9a1+5a2,dim⁡Im⁡f=2. a_3=9a_1+5a_2,\qquad \dim\operatorname{Im}f=2. dim⁡Ker⁡g≠0⟺c=−3, 3. \dim\operatorname{Ker}g\ne 0 \Longleftrightarrow c=-3,\ 3. dim⁡(Im⁡f∩Ker⁡g)≠0⟺c=−3. \dim(\operatorname{Im}f\cap\operatorname{Ker}g)\ne 0 \Longleftrightarrow c=-3. c=−3c=-3 のとき， Im⁡f∩Ker⁡g=span⁡{(11−1)}. \operatorname{Im}f\cap\operatorname{Ker}g = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \right\}.

第2問 — 微分積分

陰関数の微分

陰関数では，まず gx+gyy′=0g_x+g_y y'=0 を使う。二階微分はこの式をもう一度微分すればよく，点で y′=0y'=0 になるため式が簡単になる。

制約付き極値

制約曲線上での極値はラグランジュ未定乗数法で候補を出す。候補点が出た後，s=y−xs=y-x の取り得る範囲を制約式から確認すると，最小か最大かを判断できる。

座標変換の選び方

三角形領域で x−yx-y や x+yx+y が現れる場合は，和と差を新しい変数にする。円環領域では極座標を使う。領域に合った変換を選ぶと，被積分関数が一変数に近い形まで簡約される。

採点の置き所

陰関数の二階微分では，公式だけを書くのではなく，gy≠0g_y\ne0 により局所的に y=φ(x)y=\varphi(x) と見られることを確認する。制約付き極値では，ラグランジュ条件で候補点を出したあと，制約曲線上で y−xy-x が取り得る範囲を調べて最大・最小を判定する部分が重要である。

典型ミス

二階微分で gxyg_{xy} の項を一つだけにしてしまうと符号と係数がずれる。gx(x,φ(x))+gy(x,φ(x))φ′(x)=0g_x(x,\varphi(x))+g_y(x,\varphi(x))\varphi'(x)=0 を微分すると，交差項が 2gxyφ′2g_{xy}\varphi' になることを確認する。

検算

(−1,−2)(-1,-2) では φ′(−1)=0\varphi'(-1)=0 なので，二階微分の式は −gxx/gy-g_{xx}/g_y まで簡約される。積分では I1,I2,I3I_1,I_2,I_3 がすべて正であり，I3=log⁡2/30I_3=\log2/30 は領域面積と被積分関数の大きさから見ても小さい値になる。

微分積分の途中式・最終答をPDFで見る

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