電通大 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2025年度 院試 解答例・解説

列空間で考える

$\operatorname{Im}f$ は $A$ の列空間である。列の一次関係を求めると，像の次元と一般元の形が同時に分かる。

交わりの求め方

$\operatorname{Im}f$ の一般元を $sa_1+ta_2$ とおき，これを $B$ に代入する。非零解が存在する条件が交わりの非自明性であり，条件を満たす $(s,t)$ を一つ取れば基底候補が得られる。

採点の置き所

像の次元，核の非自明条件，像と核の交わりの条件は別々の問いである。特に $\det B=0$ から得た $c=-3,3$ をそのまま交わりの条件にしてはいけない。交わりでは $\operatorname{Im}f$ の一般元を代入する一段階が必要である。

典型ミス

$a_3=9a_1+5a_2$ を見つけたあと，$\operatorname{Im}f$ の基底を三本の列ベクトルのままにすると次元を誤る。基底として使うのは一次独立な $a_1,a_2$ の二本で十分であり，交わりの計算もこの二本の係数 $s,t$ で進める。

検算

交わりの基底候補 $(1,1,-1)^T$ は，実際に $7a_1+4a_2$ で表されるので $\operatorname{Im}f$ に属する。また $c=-3$ の $B$ を掛けると零ベクトルになり，$\operatorname{Ker}g$ に属することも直接確認できる。

陰関数の微分

陰関数では，まず $g_x+g_y y'=0$ を使う。二階微分はこの式をもう一度微分すればよく，点で $y'=0$ になるため式が簡単になる。

制約付き極値

制約曲線上での極値はラグランジュ未定乗数法で候補を出す。候補点が出た後，$s=y-x$ の取り得る範囲を制約式から確認すると，最小か最大かを判断できる。

座標変換の選び方

三角形領域で $x-y$ や $x+y$ が現れる場合は，和と差を新しい変数にする。円環領域では極座標を使う。領域に合った変換を選ぶと，被積分関数が一変数に近い形まで簡約される。

採点の置き所

陰関数の二階微分では，公式だけを書くのではなく，$g_y\ne0$ により局所的に $y=\varphi(x)$ と見られることを確認する。制約付き極値では，ラグランジュ条件で候補点を出したあと，制約曲線上で $y-x$ が取り得る範囲を調べて最大・最小を判定する部分が重要である。

典型ミス

二階微分で $g_{xy}$ の項を一つだけにしてしまうと符号と係数がずれる。$g_x(x,\varphi(x))+g_y(x,\varphi(x))\varphi'(x)=0$ を微分すると，交差項が $2g_{xy}\varphi'$ になることを確認する。

検算

$(-1,-2)$ では $\varphi'(-1)=0$ なので，二階微分の式は $-g_{xx}/g_y$ まで簡約される。積分では $I_1,I_2,I_3$ がすべて正であり，$I_3=\log2/30$ は領域面積と被積分関数の大きさから見ても小さい値になる。