電通大 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2023年度 院試 解答例・解説

対角化条件

固有値 $1$ は重複しているため，固有空間が二次元になるかどうかが対角化の分岐点である。行基本変形で $a=-3$ のときだけ二次元になる。

$A^n$ の求め方

対角化可能な場合，固有値 $1$ の成分はそのまま，固有値 $3$ の成分だけが $3^n$ 倍される。射影行列を使うと，基底変換行列を明示しなくても $A^n$ を書ける。

採点の置き所

重複固有値 $1$ の代数的重複度が $2$ であることと，固有空間の次元が $2$ になる条件を明確に分ける。対角化可能性は「固有値が実数」だけではなく，固有空間の次元の和が $3$ になることまで書く必要がある。

典型ミス

$(E-A)^2$ の核と $(A-E)$ の核を混同すると，$\operatorname{Ker}f$ の次元と対角化条件を取り違える。設問で定義された写像 $f$ がどの行列で表されているかを一度式に戻し，その核を計算する。

検算

提示した $$P_3= \begin{pmatrix} -1&-1&-1\\ 0&0&0\\ 2&2&2 \end{pmatrix}$$ は $P_3^2=P_3$ を満たす射影である。したがって $A^n=E+(3^n-1)P_3$ に $n=1$ を代入して元の $A$ が戻ることを確認できる。

二次までの展開

係数は二次までしか求めないので，展開では二次以下の項だけを保持する。これにより計算量を大きく減らせる。

変数変換

$I_2$ は領域条件が $x+y$ と $x-y$ で与えられているため，そのまま新しい変数にすると長方形領域になる。ヤコビアン $1/2$ を忘れないことが重要である。

採点の置き所

マクローリン展開では，どの単項式を $c_0,\ldots,c_5$ に対応させるかを答案内で明示する。極値問題では停留点を求めたあと，ヘッセ行列または二次近似により $(0,0)$ と $(1,-2)$ を区別する部分が得点の中心になる。

典型ミス

$e^{2y}\sin(x^2+3y)$ で $e^{2y}$ の一次項と $\sin$ の一次項を掛けた $6y^2$ を落としやすい。二次まで必要なときは，$e^{2y}=1+2y+2y^2+\cdots$，$\sin(x^2+3y)=x^2+3y+\cdots$ と次数をそろえて書く。

検算

$I_1$ は半径 $r$ の積分で $\int_0^\pi r\sin r\,dr=\pi$ となるため，全体は $2\pi^2$ で正である。$I_3=11/30$ も，内側の面積差 $\frac12-x^2+x^4$ が区間内で非負であることから符号が確認できる。