電通大 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2024年度 院試 解答例・解説

固有ベクトル分解

$p_3$ は $p_1,p_2$ の一次結合であり，$p_1,p_2$ は異なる固有値をもつ固有ベクトルである。この形まで分解しておくと，$A^n p_3$ は固有値の $n$ 乗を掛けるだけで求められる。

固有ベクトルでない理由

二つの異なる固有空間の非零成分を同時に含むベクトルは，通常は固有ベクトルにならない。実際に $Ap_3$ を $p_1,p_2$ 成分で見ると，係数の比が一致しない。

採点の置き所

まず $p_3=-5p_1+2p_2$ を示し，そのうえで $p_1,p_2$ がそれぞれ異なる固有値をもつことを確認する流れが重要である。$A^n p_3$ はこの分解式に固有値の $n$ 乗を掛けるだけなので，途中の分解を省くと最終式の根拠が弱くなる。

典型ミス

「$p_3$ が $p_1,p_2$ の一次結合である」ことと「$p_3$ が固有ベクトルである」ことは別である。異なる固有値の固有ベクトルを混ぜた非零ベクトルは，片方の係数が消えない限り固有ベクトルにはならない。

検算

$n=0$ を代入すると $$A^0p_3=p_3=(9,2,4,-1)^{\mathsf T}$$ が戻る。$n=1$ を代入した式が直接計算した $Ap_3=-15p_1-2p_2$ と一致することも確認できる。

接平面と交線

接平面は一次近似の式で求める。さらに $z=x^2+y^2$ と接平面を連立すると，$xy$ 平面上では円になる。円上で原点からの距離が最大になる点を取れば，$z=x^2+y^2$ の最大点が分かる。

区分求積法

和の分母を $n^2$ でくくると，二変数関数 $1/(x+y+1)$ のリーマン和になっていることが見える。添字 $j,k$ はそれぞれ $x,y$ 方向の分割点に対応する。

採点の置き所

接平面の問題では，点での値 $g(1,1)$ と偏微分 $g_x(1,1),g_y(1,1)$ をすべて示す。最大値の問題では，交線を円 $(x-1)^2+(y-2)^2=20$ としてから，原点から最も遠い点を選ぶ理由を書くと幾何的な根拠が明確になる。

典型ミス

交線上で $z$ を最大化する問題を，接平面上の $z=2x+4y+15$ の線形最大化として処理すると誤る。交線は同時に $z=x^2+y^2$ も満たすため，$xy$ 平面上の円で原点からの距離を最大化する問題に直す。

検算

最大点 $(3,6)$ は円の中心 $(1,2)$ からの差が $(2,4)$ で，半径 $2\sqrt5$ を満たす。区分求積の極限値 $3\log3-4\log2$ は正であり，被積分関数 $1/(x+y+1)$ が $1/3$ から $1$ の範囲にあることとも矛盾しない。