電通大 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 専門科目（情報・ネットワーク工学） 2022年度 院試 解答例・解説

対称行列を利用する

この行列は対称行列であるため，直交固有分解を使える。高次の行列多項式をそのまま掛け算で求めるより，固有値に多項式を代入する方が計算量もミスも少ない。

行列多項式の像

$p(A)$ は，固有値 $\lambda$ の固有空間上で $p(\lambda)$ 倍として働く。今回は $p(1)=p(3)=0$ なので，その二つの固有空間成分は消える。一方で $p(-3)\neq0$ なので，像は $-3$ 固有空間そのものになる。

射影行列

一次元部分空間 $\operatorname{span}\{w\}$ への直交射影は $$\frac{ww^T}{w^Tw}$$ で表される。ここで $w=(1,-2,1)^T$ とすれば，係数 $-648/6=-108$ が出る。

採点の置き所

この問題は，固有値を求めるだけでなく，高次多項式 $p(A)$ の作用を固有空間ごとに分けて説明できるかが採点対象になる。特に $p(1)=p(3)=0$，$p(-3)=-648$ を明示し，像が $-3$ 固有空間だけに残ることを書くと，行列計算を省いても答案の根拠が通る。

典型ミス

Cayley--Hamilton の符号を誤ると $s,t,u$ がすべてずれる。特性多項式を $\det(A-\lambda E)$ で計算した場合と $\det(\lambda E-A)$ で計算した場合では全体符号の扱いが変わるので，最終的に $A^3-A^2-9A+9E=O$ を $A$ に代入して確認する。

検算

求めた $P$ は階数 $1$ の行列で，各列が $(1,-2,1)^T$ の定数倍になっている。さらに $P(1,1,1)^T=0$，$P(1,0,-1)^T=0$，$P(1,-2,1)^T=-648(1,-2,1)^T$ を確かめれば，固有空間上の作用と一致している。

極値と鞍点

停留点が複数あるときは，点ごとにヘッセ行列を評価する。今回の $(-2,-1)$ は停留点ではあるが，行列式が負なので極値ではない。答案では「停留点」と「極値」を混同しないことが重要である。

接線の式

陰関数 $f(x,y)=0$ の接線は，勾配ベクトルに垂直な直線である。形式的には $$\nabla f(a,b)\cdot((x,y)-(a,b))=0$$ と書ける。この形で計算すると，傾きを直接求める必要がなく，垂直接線の場合にも対応できる。

積分変換の選び方

第一の積分は円環領域なので極座標，第二の積分は $x+y$ と $x-y$ が領域を決めているので線形変換，第三の積分は被積分関数が $y$ だけに依存するので積分順序の交換が有効である。領域の形から変数変換を選ぶのが計算を短くするポイントである。

採点の置き所

極値問題では，停留点の列挙，ヘッセ行列による分類，関数値の計算を分けて書く。接線では $(1,3)$ が曲線上にあることを確認したうえで，勾配を法線ベクトルとして使う形にすれば，傾きだけの答案より減点されにくい。

典型ミス

$I_2$ では $u=x+y,\ v=x-y$ としたときのヤコビアンが $1/2$ になる。ここを $1$ としてしまう誤りが多い。また $I_3$ は $x$ と $y$ の上下限を入れ替える問題であり，$0\le x\le y\le1$ の三角形を描かずに処理すると積分範囲を逆にしやすい。

検算

$(10,5)$ では $\det H>0$ かつ $f_{xx}>0$ なので極小，$(-2,-1)$ では $\det H<0$ なので鞍点である。積分値は $I_1>0$，$I_2>0$，$I_3>0$ であり，特に $I_3=1/\pi$ は被積分関数が高々 $1$，領域面積が $1/2$ であることとも整合する。