東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2014年度 院試 解答例・解説

(1)

$K=\mathbb F_3(T)$, $f(X)=X^3-X$ とおく。まず $$\alpha^3-\alpha=T$$ を満たす元 $\alpha$ を取ると，$f(X)-T$ の根は $\alpha,\alpha+1,\alpha+2$ である。$T$ は $\wp(u)=u^3-u$ の像ではないから，この Artin--Schreier 拡大は 3次である。従って $$[M:K]=3.$$

(2)

次に $\lambda^3-\lambda=\alpha$ とし，$\eta^3-\eta=1$ とする。 このとき $$f(f(\lambda))-T=0$$ であり，さらに $f(f(X))=0$ の根は $\mathbb F_3\eta+\mathbb F_3$ で与えられる。よって $$L=K(\alpha,\lambda,\eta)=M(\lambda,\eta).$$ $M$ 上の Artin--Schreier 類として $\alpha$ と $1$ は独立である。 したがって $$[L:M]=3^2,\qquad [L:K]=27.$$

(3)

Galois 群は位数 $27$ の非可換な $3$-群として見られる。 具体的には $$\lambda\mapsto \lambda+1,\qquad \eta\mapsto \eta+1,\qquad \alpha\mapsto \alpha+1,\ \lambda\mapsto\lambda+\eta$$ から生成される。この群では非自明な元はすべて位数 $3$ であるため， 位数 $3$ の部分群の個数は $$\frac{27-1}{3-1}=13.$$ よって $L$ に含まれる $K$ の9次拡大は $13$ 個である。

(4)

最後に，$\alpha\mapsto\alpha+1,\lambda\mapsto\lambda+\eta$ で定まる 自己同型 $\sigma$ の固定体を $N=L^{\langle\sigma\rangle}$ とおく。 この部分群は正規でないので $N/K$ は Galois 拡大でない。一方で $\sigma$ は $\eta$ を固定するから $N$ は $\eta$ を含む。 $\eta\in\mathbb F_{27}^{\times}$ なので $\eta$ は $K$ に含まれない 1のべき根である。

$$A=\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2)$$ とする。極大イデアル $\mathfrak m$ による剰余体は，$\mathbb R$ または $\mathbb C$ と同型である。

剰余体が $\mathbb R$ の場合，像 $a,b\in\mathbb R$ は $$a^2+b^2=0$$ を満たすため $a=b=0$ であり， $$\mathfrak m=(x,y)$$ を得る。

剰余体が $\mathbb C$ の場合は，$z\in\mathbb C^\times$ を用いて $$x\mapsto z,\qquad y\mapsto iz$$ またはその共役で表される。従って $$\mathfrak m_z=\{\,P(x,y)\in\mathbb R[x,y]\mid P(z,iz)=0\,\}/(x^2+y^2) \qquad (z\in\mathbb C^\times)$$ がすべてである。ただし $$\mathfrak m_z=\mathfrak m_{z'}$$ となるのは，対応する複素点 $(z,iz)$ と $(z',iz')$ が複素共役を含めて 同じ実閉点を与える場合に限る。

(1)

$A=\mathbb C[x]$ の極大イデアルは $$\mathfrak m_a=(x-a)\qquad (a\in\mathbb C)$$ で尽くされる。

(2)

このとき $$C^{\mathfrak m_a} =B\otimes_A A/\mathfrak m_a \simeq \mathbb C[y,z]\big/ \big(y(ay-z^2),\,z(ay-z^2)\big)$$ である。

(3)

極大イデアルごとの $\dim_{\mathbb C}\mathfrak n/\mathfrak n^2$ を調べる。 まず $a\ne0$ とする。点 $(y,z)\ne(0,0)$ で $ay-z^2=0$ を満たす点では， 局所的に1つの滑らかな方程式だけが残るので $$\dim_{\mathbb C}\mathfrak n/\mathfrak n^2=1.$$ 一方，原点に対応する極大イデアル $(y,z)$ では，関係式 $y(ay-z^2)$, $z(ay-z^2)$ はいずれも2次以上から始まるため $$\dim_{\mathbb C}\mathfrak n/\mathfrak n^2=2.$$

次に $a=0$ とする。この場合 $$C^{\mathfrak m_0} \simeq \mathbb C[y,z]/(yz^2,z^3).$$ 各極大イデアルは $(y-b,z)$ であり，局所化後の関係式は少なくとも2次以上である。 したがってすべての $b\in\mathbb C$ について $$\dim_{\mathbb C}\mathfrak n/\mathfrak n^2=2.$$

(1)

$H_k$ は集合 $\{1,\dots,k\}$ を保つ置換全体なので $$H_k\simeq S_k\times S_{n-k},\qquad |H_k|=k!(n-k)!.$$ 二重剰余類 $H_k gH_k$ の大きさは $$|H_k gH_k| =\frac{|H_k|^2}{|H_k\cap gH_k g^{-1}|}$$ である。

$r=\#(\{1,\dots,k\}\cap g\{1,\dots,k\})$ とおくと $$|H_k\cap gH_k g^{-1}| =r!(k-r)!^2(n-2k+r)!,$$ ただし $$\max(0,2k-n)\le r\le k.$$ 従って $$\max_{g\in S_n}|H_kgH_k| = \max_r \frac{(k!(n-k)!)^2}{r!(k-r)!^2(n-2k+r)!}.$$ 最大を与える $r$ はこの有限範囲で上式の分母を最小にするもの，すなわち $k^2/n$ に最も近い許容整数である。

(2)

次に $H_p\backslash S_n/H_q$ を考える。二重剰余類は $$r=\#(\{1,\dots,p\}\cap g\{1,\dots,q\})$$ だけで決まり， $$\max(0,p+q-n)\le r\le \min(p,q)$$ の各整数がちょうど一つの二重剰余類を与える。

$$F_t(x,y,z)=t\{f(x,y)^2+z^2\}-1,\qquad f(x,y)=x^2+y^2(y^2-1)$$ と書く。$X_t=F_t^{-1}(0)$ が滑らかな部分多様体であるためには， 零点上で $\nabla F_t\ne0$ であればよい。

$$\nabla F_t =t(2f f_x,\ 2f f_y,\ 2z)$$ である。零点上では $f^2+z^2=1/t>0$ だから，$\nabla F_t=0$ が起こるなら $$z=0,\qquad f_x=0,\qquad f_y=0$$ でなければならない。

$$f_x=2x,\qquad f_y=2y(2y^2-1)$$ より，候補は $$x=0,\qquad y=0,\ \pm\frac1{\sqrt2}$$ である。このうち $y=0$ では $f=0$ で零点条件を満たさない。 $y=\pm1/\sqrt2$ では $$f(0,\pm1/\sqrt2)=-\frac14,\qquad f^2=\frac1{16}.$$ 従って特異点が生じるのは $$\frac1t=\frac1{16},\qquad t=16$$ のときだけである。

(1)

$\omega=-x\,dy+dz$ とする。基底曲線を $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ と書くと，リフトは $$\widetilde\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$$ の形をしている。水平条件 $\omega(\dot{\widetilde\gamma})=0$ は $$z'(t)=x(t)y'(t)$$ である。従って初期値 $z(0)=z_0$ を与えると $$z(t)=z_0+\int_0^t x(s)y'(s)\,ds$$ と一意に定まる。これでリフトの存在と一意性が従う。

(2)

単位円周の場合は $$x(t)=\cos 2\pi t,\qquad y(t)=\sin 2\pi t$$ なので $$z(1)-z(0)=\int_0^1 \cos(2\pi t)\,2\pi\cos(2\pi t)\,dt=\pi.$$ 始点と終点の $x,y$ 座標は同じだから $$|\widetilde\gamma(1)-\widetilde\gamma(0)|=\pi.$$

(3)

最後に閉じた水平曲線の例として，$x$-軸上を往復する折れ線を取る。 $$\widetilde\gamma(t)= \begin{cases} (2t,0,0),&0\le t\le1/2,\\ (2-2t,0,0),&1/2\le t\le1 \end{cases}$$ とすれば，定義される各点で速度はゼロでなく，また $dy=dz=0$ なので $\omega(\dot{\widetilde\gamma})=0$ である。

(1)

球面上の面積形式を $$\omega_u(v,w)=\det(u,v,w)$$ と見ると，条件 $dH(Y)=\omega(X,Y)$ から $$X=\nabla H\times (x,y,z)$$ である。ここで $$\nabla H=(2x,4y,6z)$$ だから $$X=(-2yz,\ 4xz,\ -2xy).$$ このため $$\frac{d}{dt}H(\phi_t(P))=dH(X)=\omega(X,X)=0$$ であり，$H$ は流れで不変である。

(2)

停留点は $X=0$ となる点であり， $$\pm(1,0,0),\quad \pm(0,1,0),\quad \pm(0,0,1)$$ である。通常の正則な等位線は球面上の閉曲線で，その上で $X\ne0$ なので すべて周期軌道である。

例外は $H=2$ の等位線である。球面条件と合わせると $$z^2=x^2$$ となり，2つの閉曲線が $\pm(0,1,0)$ で交わる。この2点を除いた部分は 停留点に向かう分離軌道で，周期的ではない。

(1)

$S^3$ に対する対角的な $C_n$ 作用の商を考える。部分空間 $$A=\{(z_1,z_2)\in S^3\mid z_2\in\mathbb R\}$$ は2球面である。上半球と下半球は商写像でそれぞれ2セルになり，境界の赤道は $n$ 重に巻かれて同じ1セルへ貼り付く。

従って $\pi(A)$ は，1つの0セル，1つの1セル，2つの2セルを持つCW複体で， 境界写像は $$\partial_2:\mathbb Z^2\to\mathbb Z,\qquad (u,v)\mapsto n(u-v)$$ と書ける。よって $$H_2(\pi(A);\mathbb Z)\simeq \ker\partial_2\simeq \mathbb Z,$$ $$H_1(\pi(A);\mathbb Z)\simeq \mathbb Z/n\mathbb Z, \qquad H_0(\pi(A);\mathbb Z)\simeq \mathbb Z.$$

(2)

$n=3$ のとき，もし商空間全体から $\pi(A)$ へのレトラクションが存在すれば， 包含 $i:\pi(A)\hookrightarrow S^3/C_3$ による $$i_*:H_2(\pi(A);\mathbb Z)\to H_2(S^3/C_3;\mathbb Z)$$ は単射でなければならない。しかし3次元レンズ空間では $$H_2(S^3/C_3;\mathbb Z)=0$$ である一方，$H_2(\pi(A);\mathbb Z)\simeq\mathbb Z$ である。 これは矛盾である。

(1)

$0<x<1$ とし，第一象限の切り取った領域で $$e^{-w}w^{x-1}$$ を積分する。主枝を取ると，実軸上の寄与は $$\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt=\Gamma(x)$$ であり，虚軸上では $w=it$ とおいて $$\int_\infty^0 e^{-it}(it)^{x-1}i\,dt =-e^{\pi ix/2}\int_0^\infty e^{-it}t^{x-1}\,dt$$ となる。小円と大円の寄与は $\varepsilon\to0$ で消えるため， 虚部を比較して $$\int_0^\infty \sin t\,t^{x-1}\,dt =\Gamma(x)\sin\frac{\pi x}{2}$$ を得る。

(2)

次に部分積分を用いる。 $$\int_0^\infty \frac{\sin t}{t^{3/2}}\,dt =2\int_0^\infty \frac{\cos t}{t^{1/2}}\,dt.$$ 同じ輪郭積分の実部から $$\int_0^\infty \cos t\,t^{x-1}\,dt =\Gamma(x)\cos\frac{\pi x}{2}$$ が従うので，$x=1/2$ を代入すると $$2\Gamma(1/2)\cos\frac{\pi}{4} =2\sqrt\pi\cdot\frac1{\sqrt2} =\sqrt{2\pi}.$$

(1)

$[0,1]$ 上では $$f(x)= \begin{cases} x^{-1/2},&0<x\le1,\\ 0,&x=0 \end{cases}$$ とすればよい。実際， $$\int_0^1 |f(x)|\,dx=2<\infty$$ である一方， $$\int_0^a |f(x)|^2\,dx=\int_0^a \frac{dx}{x}=\infty \qquad(0<a\le1)$$ である。

(2)

実数軸上の例を作る。$q_1,q_2,\dots$ を有理数全体の列挙とし， 正数 $\varepsilon_j$ を $$\sum_{j=1}^\infty 2\varepsilon_j\le1$$ となるように取る。例えば $\varepsilon_j=2^{-j-2}$ でよい。 $$g(x)=\sum_{j=1}^\infty 2^{-j}|x-q_j|^{-1/2} \mathbf 1_{\{0<|x-q_j|<\varepsilon_j\}}(x)$$ と定める。各項の $L^1$ ノルムは $$2^{-j}\cdot 4\sqrt{\varepsilon_j}$$ 以下なので，級数として $L^1$ に属する。また台の測度は $$\left|\{x\mid g(x)\ne0\}\right| \le\sum_j 2\varepsilon_j\le1.$$

任意の区間 $(a,b)$ はある有理数 $q_j$ を含む。その点の近くで $$|g(x)|^2\ge 4^{-j}|x-q_j|^{-1}$$ となる部分があるため， $$\int_a^b |g(x)|^2\,dx=\infty.$$

(1)

$a_k=k+\frac12$ とおく。フーリエ係数は $$c_k=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^3e^{-ia_kx}\,dx$$ である。 $$S(a)=\int_{-\pi}^{\pi}e^{-iax}\,dx=\frac{2\sin\pi a}{a}$$ とおくと $$\int_{-\pi}^{\pi}x^3e^{-iax}\,dx=-iS'''(a).$$ $a=a_k$ では $\cos\pi a_k=0$, $\sin\pi a_k=(-1)^k$ だから $$c_k =-i(-1)^k\left(\frac{3\pi}{a_k^2}-\frac{6}{\pi a_k^4}\right).$$ 従って $$\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k| =3\pi\sum_k\frac1{a_k^2} -\frac6\pi\sum_k\frac1{a_k^4} =3\pi^3-\frac6\pi\cdot\frac{\pi^4}{3} =\pi^3.$$

(2)

次に $F\in P_N$ とする。上のフーリエ級数をスケールして畳み込み核として用いると， $$\frac{d^3F}{dx^3}(x) =\frac{N^3}{i\pi^3} \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k F\left(x+\left(k+\frac12\right)\frac{\pi}{N}\right)$$ を得る。これは各指数関数 $e^{imx}$, $|m|\le N$ で確認すれば十分で， 有限和の線形性から一般の $F$ に従う。

(3)

ノルム $\|g\|=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}|g(x)|\,dx$ について， 平行移動でノルムは変わらないので $$\left\|\frac{d^3F}{dx^3}\right\| \le \frac{N^3}{\pi^3}\sum_k|c_k|\,\|F\| =N^3\|F\|.$$ 等号は高周波の指数関数 $F(x)=e^{iNx}$ で達成される。

任意の有界区間 $[a,b]$ を固定する。各 $f_n$ は単調非減少なので， 区間内の振動は端点付近の値で制御できる。

まず任意の点 $x$ で $f_n(x)\to f(x)$ を示す。もし部分列で $f_{n_j}(x)\ge f(x)+\varepsilon$ となるなら，単調性より $(x,x+\delta)$ 上で同じ下界がほぼ保たれる。$f$ の連続性により $\delta>0$ を小さく取れば，非負の試験関数をその近くに置くことで $$\int f_{n_j}\varphi\not\to\int f\varphi$$ となり仮定に反する。下側のずれも同様に，$(x-\delta,x)$ に試験関数を置けば 排除できる。

点ごとの収束が分かれば，広義一様収束は標準的な分割で従う。 $f$ は $[a,b]$ 上一様連続なので，分割 $$a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b$$ を細かく取り， $$|f(u)-f(v)|<\varepsilon$$ が各小区間で成り立つようにする。分割点での収束と $f_n$ の単調性から， 十分大きい $n$ では各小区間内の $f_n$ は $f$ から $3\varepsilon$ 以上離れない。 よって任意のコンパクト区間で一様収束する。

単調性を外すと結論は壊れる。例えば $$f_n(x)=\sin nx,\qquad f(x)=0$$ とする。Riemann--Lebesgue の補題より任意の $\varphi\in C_0(\mathbb R)$ について $$\int_{\mathbb R} f_n(x)\varphi(x)\,dx\to0$$ である。しかし $f_n$ はどの非退化コンパクト区間上でも一様には $0$ に収束しない。

(1)

$$x_{k+1}-a=f(x_k)-f(a)=f'(t_k)(x_k-a)$$ であるから $$|x_{k+1}-a|=|f'(a)|\,r_k\,|x_k-a|.$$ $x_k\to a$ より $t_k\to a$ であり，$f'$ は $C^1$ なので $$r_k=\frac{|f'(t_k)|}{|f'(a)|}\to1.$$ また $|f'(a)|<1$ だから，十分大きい $k$ で $$|x_{k+1}-a|\le \lambda |x_k-a|$$ となる $0<\lambda<1$ が取れる。すると $|x_k-a|\le C_0\lambda^k$ であり， $f'$ の局所 Lipschitz 性から $$|r_k-1| \le C|t_k-a| \le C'|x_k-a| \le C''\lambda^k$$ を得る。

(2)

$|x|\le1/2$ では $$|\log(1+x)| \le \sum_{m=1}^\infty \frac{|x|^m}{m} \le |x|\sum_{m=0}^\infty |x|^m \le2|x|$$ である。

(3)

最後に $$\frac{|x_k-a|}{|f'(a)|^k} =|x_0-a|\prod_{j=0}^{k-1}r_j$$ である。$\sum |r_j-1|<\infty$ なので，ある $j$ 以降で $|r_j-1|\le1/2$ となり， $$\sum_j |\log r_j|<\infty.$$ 従って無限積 $\prod r_j$ は正の有限値へ収束する。

(1)

$X_1$ は平均1の指数分布なので $$L(\lambda)=E[e^{-\lambda X_1}] =\int_0^\infty e^{-(1+\lambda)x}\,dx =\frac1{1+\lambda}.$$

(2)

次に $S_n=\sum_{j=1}^nX_j$ とする。$0<\varepsilon<1$ のとき $$Y_k^{(n)}\ge\varepsilon$$ なら $$X_k\ge \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\sum_{j\ne k}X_j.$$ 独立性と上の Laplace 変換より $$P(Y_k^{(n)}\ge\varepsilon) \le E\exp\left( -\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\sum_{j\ne k}X_j \right) =(1-\varepsilon)^{n-1}.$$ 合併評価で $$P\left(\max_{1\le k\le n}Y_k^{(n)}\ge\varepsilon\right) \le n(1-\varepsilon)^{n-1}$$ となり，指数的に減少する。

(3)

最後に $$S_n=\sum_{k=1}^nX_k,\qquad S'_n=\sum_{k=n+1}^{2n}X_k$$ とおくと $$\sum_{k=1}^nY_k^{(2n)}=\frac{S_n}{S_n+S'_n}.$$ 中心極限定理より $$\frac{S_n-n}{\sqrt n}\Rightarrow A,\qquad \frac{S'_n-n}{\sqrt n}\Rightarrow B$$ で，$A,B$ は独立な標準正規分布に従う。関数 $(u,v)\mapsto u/(u+v)$ を $(1,1)$ で線形化すると $$\sqrt n\left(\frac{S_n}{S_n+S'_n}-\frac12\right) \Rightarrow \frac{A-B}{4}.$$ 従って極限分布は平均0，分散 $1/8$ の正規分布である。

(1)

$D_r=(E-1)(E-q)\cdots(E-q^{r-1})$ とする。$q$-二項定理より $$E^k=\sum_{j=0}^k \genfrac{[}{]}{0pt}{}{k}{j}D_j$$ が成り立つ。これは $E=q^m$ を代入して確認できる。 右辺は $q^m$ に関する次数 $k$ 以下の多項式であり， $m=0,1,\dots,k$ で左辺と一致するため恒等式である。

(2)

次に $$\psi(x)=\sum_{m=0}^{\infty}b_mx^m,\qquad \Omega(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_mb_mx^m$$ とおく。$B$ は $$B(x^m)=[m]x^{m-1}$$ を満たすので $$B^k(x^m)=[m][m-1]\cdots[m-k+1]x^{m-k}.$$ 一方，(1) の恒等式を $a_m$ に作用させると $$a_m=\sum_{k=0}^m \genfrac{[}{]}{0pt}{}{m}{k}D_ka_0.$$ 従って係数比較により $$\Omega(x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(D_ka_0)x^k}{[k]!}\,B^k\psi(x)$$ を得る。

(3)

最後に $$\psi(x)=\frac1{(1-x)(1-qx)}$$ とすると $$\psi(x)=\sum_{m=0}^{\infty}[m+1]x^m.$$ ここで $a_m=[m+1]$ と見れば， $$\Omega(x)=\sum_{m=0}^{\infty}[m+1]^2x^m$$ である。直接計算して $$\sum_{m=0}^{\infty}[m+1]^2x^m =\frac{1+qx}{(1-x)(1-qx)(1-q^2x)}$$ を得る。