東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2016年度 院試 解答例・解説

(1)

正規部分群を $N=\langle a\rangle\simeq\mathbb Z$ とし， $G/N$ の生成元の持ち上げを $t\in G$ とる。共役作用により $$t a t^{-1}=a^\varepsilon,\qquad \varepsilon\in\{1,-1\}$$ と書ける。これは準同型 $\mathbb Z/n\mathbb Z\to \operatorname{Aut}(\mathbb Z)=\{\pm1\}$ で決まるので，$n$ が奇数なら $\varepsilon=1$ である。したがって $a,t$ は可換で，この場合 $G$ はアーベル群である。

(2)

$\varepsilon=1$ の場合は $$G=\langle a,t\mid [a,t]=1,\ t^n=a^m\rangle$$ と書ける。持ち上げを $ta^r$ に替えると $m$ は $m+nr$ に替わるので， 群の同型類は $d=\gcd(n,m)$ で決まり， $$G\simeq \mathbb Z\oplus \mathbb Z/d\mathbb Z \qquad (d\mid n)$$ である。

$\varepsilon=-1$ の場合は $n$ が偶数でなければならない。このとき $t^n=a^m$ を $t$ で共役すると $a^m=a^{-m}$ となり， $a$ は無限位数だから $m=0$ である。従って $$G\simeq \langle a,t\mid t^n=1,\ tat^{-1}=a^{-1}\rangle \simeq \mathbb Z\rtimes \mathbb Z/n\mathbb Z$$ であり，商の生成元は $\mathbb Z$ に反転で作用する。

以下 $x=\bar X,\ y=\bar Y,\ z=1-x-y$ とおく。このとき $$A\simeq \mathbb C[x,y,z]/(x+y+z-1,\ xyz)$$ であり，$\varphi$ は $$x\mapsto y,\qquad y\mapsto z,\qquad z\mapsto x$$ という三つの成分の巡回置換である。

(1)

最小素イデアルは $$(x),\qquad (y),\qquad (z)$$ である。さらに各成分はアフィン直線なので，閉点に対応する素イデアルは $$(x,y-c),\qquad (y,x-c),\qquad (z,x-c) \qquad (c\in\mathbb C)$$ で尽くされる。ただし交点では同じ極大イデアルが重複して表れる。

(2)

元の表示に戻すと $z=1-X-Y$ であり， $$X\mapsto Y,\qquad Y\mapsto -X-Y+1=z$$ は $x,y,z$ の巡回置換である。従って関係式 $xyz=0$ を保つ。 逆写像も巡回置換の逆で与えられるので，条件を満たす自己同型は存在し， $x,y$ が環 $A$ を生成するため一意である。

(3)

不変部分環 $B=A^{\langle\varphi\rangle}$ を，成分 $x=0$ へ制限する。 この成分では $y=t,\ z=1-t$ と書ける。制限写像 $$\psi:B\longrightarrow \mathbb C[t]$$ は単射で，像は $$\psi(B)=\{p(t)\in\mathbb C[t]\mid p(0)=p(1)\}$$ である。実際，三つの直線上の値は巡回対称性で一つの多項式 $p(t)$ から決まり， 三つの交点で貼り合わさる条件が $p(0)=p(1)$ である。 従って $\mathbb C[t]/\psi(B)$ は一次元である。

(1)

$s=X^4-X^{-4}$ とおく。$u=X^4$ とすれば $$u^2-su-1=0$$ である。従ってまず $u$ は $F=\mathbb R(s)$ 上二次であり， $X$ は $u$ の四乗根である。分解体には $i$ と $\zeta=\exp(\pi i/4)$ を含めれば十分なので， $$L=\mathbb C(X)$$ と見てよい。

$\mathbb C(s)\subset\mathbb C(X)$ の次数は有理写像 $$X\longmapsto X^4-X^{-4}$$ の次数であり $8$ である。さらに定数体の拡大 $\mathbb C/\mathbb R$ が二次なので $$[L:F]=16.$$

(2)

$\sigma$ を $$\sigma(i)=-i,\qquad \sigma(X)=\zeta X^{-1}$$ で定めると， $$(\zeta X^{-1})^4-(\zeta X^{-1})^{-4} =-X^{-4}+X^4=s$$ であるから $\sigma\in\operatorname{Gal}(L/F)$ である。また $$\sigma^2(X)=\zeta^{-1}(\zeta X^{-1})^{-1}=\zeta^{-2}X=-iX$$ となるので，$\sigma$ は位数 $8$ をもつ。

(3)

四次部分拡大は，位数 $4$ の部分群の固定体として得る。実用上は $$\mathbb R(X^4),\quad \mathbb R(i(X^4+X^{-4})),\quad \mathbb R(X^2+X^{-2}),\quad \mathbb R(i(X^2-X^{-2}))$$ およびこれらを $\sigma$ の作用で移したものとして列挙できる。 いずれも $F$ 上四次であり，対応する部分群を調べると重複を除いて全てである。

(1)

単項式 $x^iy^jz^kw^\ell$ では $$i+j=m,\qquad k+\ell=m,\qquad p=i+k$$ である。計算すると $$H=EF-FE =y\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial w} -x\frac{\partial}{\partial x}-z\frac{\partial}{\partial z}.$$ 従って $W_p$ 上の固有値は $$(j+\ell)-(i+k)=2m-2p$$ である。

$i+k=p$ を満たす組 $(i,k)$ の個数は $$\dim W_p= \begin{cases} p+1,&0\le p\le m,\\ 2m-p+1,&m\le p\le 2m. \end{cases}$$ よって固有値 $2m-2p$ の重複度はこの値である。

(2)

また $F=x\partial_y+z\partial_w$ は $i+k$ を一つ増やすので $$F(W_p)\subset W_{p+1}.$$

(3)

さらに $E,F,H$ は $$[H,E]=2E,\qquad [H,F]=-2F,\qquad [E,F]=H$$ を満たす。従って $v\in W_p\cap\ker E$ は最高重みベクトルで， $\lambda=2m-2p$ とおくと $$E^nF^n v =n!\lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-n+1)v.$$ すなわち $$a_n^{(p)} =n!\prod_{r=0}^{n-1}(2m-2p-r).$$

(4)

最後に $0\le p<m$ では $W_p$ から始まる既約成分が $$W_p\to W_{p+1}\to\cdots\to W_{2m-p}$$ を張るので，$F^{2m-2p}:W_p\to W_{2m-p}$ は単射である。 両辺の次元は同じ $p+1$ だから全単射である。

(1)

$X$ は二次形式 $$x_0x_3-x_1^2-2kx_1x_2-x_2^2$$ の零点である。この二次形式が非退化であることと，射影二次曲面が滑らかであることは同値である。 $(x_1,x_2)$ 部分の行列は $$\begin{pmatrix}1&k\\ k&1\end{pmatrix}$$ なので，退化するのは $k=\pm1$ のときに限る。従って $$X\text{ が滑らか}\Longleftrightarrow k\ne\pm1.$$

(2)

$Y$ 上では $x_0=0$ であり，交わりは $$x_1^2+2kx_1x_2+x_2^2=0$$ で与えられる。$k^2<1$ なら実解は $x_1=x_2=0$ のみで， $$X\cap Y=\{(0:0:0:1)\}$$ となるから相対位相で $0$ 次元多様体である。 一方 $k^2>1$ なら二本の実射影直線の和になり，交点で局所的に直線の交差となるため 位相多様体ではない。

従って $(1)$ の条件のもとで $X\cap Y$ が位相多様体となるのは $$|k|<1$$ である。

(3)

このとき点 $p=(0:0:0:1)$ の近傍で $x_3=1$ とおくと， $$x_0=x_1^2+2kx_1x_2+x_2^2.$$ よって $T_pX=\{dx_0=0\}$ であり，$Y$ も $x_0=0$ だから $$T_pY=\{dx_0=0\}.$$ 従って $$\dim(T_pX\cap T_pY)=2.$$

(1)

$z_j=a_j+ib_j$ と書く。条件 $\sum z_j^2=1$ は $$\sum a_j^2-\sum b_j^2=1,\qquad \sum a_jb_j=0$$ と同値である。$B=\sum b_j^2$ とすれば $\sum a_j^2=1+B$ だから， $$\pi(z)=\frac{a}{\sqrt{1+B}}\in S$$ である。

変形 $$H_t(z)= \frac{a+itb}{\sqrt{1+(1-t^2)B}} \qquad (0\le t\le1)$$ を考える。分子の二乗和は $$(1+B)-t^2B=1+(1-t^2)B$$ なので $H_t(z)\in X$ である。$H_1=\operatorname{id}_X$， $H_0=\pi$ と自然な包含 $S\hookrightarrow X$ の合成であるから， $\pi$ はホモトピー同値である。

(2)

次に $S^3$ 上の非零接ベクトル場 $$J(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_2,x_1,-x_4,x_3)$$ を用いる。任意の $\varepsilon>0$ に対し $$f(s)=\sqrt{1+\varepsilon^2}\,s+i\varepsilon J(s)$$ とおけば，$\sum f_j(s)^2=1$，かつ $f(s)\notin S$ である。また $\pi(f(s))=s$ である。

(1)

$\Lambda=\mathbb Z+\mathbb Z\xi\subset\mathbb C$ とおくと， $t_1,t_2$ は各高さでトーラス $\mathbb C/\Lambda$ を作る。 $\alpha$ は高さを一つ進めると同時に，トーラスに $$z\longmapsto \omega z,\qquad \omega=\frac{-1+\sqrt3 i}{2}$$ を作用させる。これは格子を保つので，商はトーラス自己同型の写像トーラスである。 従ってコンパクトな三次元 $C^\infty$ 多様体になる。

(2)

基底 $1,\xi$ で $\omega$ の作用を表すと $$A= \begin{pmatrix} -1&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ である。写像トーラスの一次ホモロジーは $$H_1(M;\mathbb Z)\simeq \mathbb Z\oplus \operatorname{coker}(A-I).$$ ここで $$A-I= \begin{pmatrix} -2&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix}, \qquad \det(A-I)=3$$ なので $\operatorname{coker}(A-I)\simeq \mathbb Z/3\mathbb Z$ である。 また $A$ は向きを保つので $H_2$ には底の円方向に対応する自由部分が残り， 標準的なWang完全列から $$H_0\simeq\mathbb Z,\quad H_1\simeq\mathbb Z\oplus\mathbb Z/3\mathbb Z,\quad H_2\simeq\mathbb Z,\quad H_3\simeq\mathbb Z$$ を得る。

(1)

$M$ は二次形式 $x^2+y^2-z^2$ の零錐から原点を除いたものである。 $\nabla Q=2(x,y,-z)$ は $M$ 上で消えないので，$M$ は $C^\infty$ 多様体である。また $SO(2,1)$ は同じ符号の成分上で推移的に作用し， 二つの成分も群の元で移り合うため，$M$ 全体に推移的に作用する。

成分 $z>0$ で $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=r$$ とおくと，問題の一形式は計算により

(2)

$$\alpha=-r\,d\theta$$ となる。これは座標表示の特異性を除けば滑らかに延長でき，別の成分でも同様である。

(3)

この表示は円錐の半径方向と角度方向だけに依存するので， ローレンツ変換による作用で不変である。

(4)

さらに $x^2+y^2+z^2=2r^2$ だから $$\beta_\ell=(x^2+y^2+z^2)^\ell\alpha =-2^\ell r^{2\ell+1}\,d\theta.$$ 従って $$d\beta_\ell=-2^\ell(2\ell+1)r^{2\ell}\,dr\wedge d\theta.$$ よって閉形式となるための条件は $$2\ell+1=0,\qquad \ell=-\frac12$$ である。このとき $\beta_{-1/2}$ は定数倍の $d\theta$ であり， 各円周の一周積分が $0$ でないため完全形式ではない。

(1)

頂点 $w_0$ に対応する点は $z=0$ である。角が $\alpha_0\pi$ なので， 局所的には $$f(z)-w_0=z^{\alpha_0}\varphi(z)$$ と書ける。ただし $\varphi$ は円板で正則で $\varphi(0)\ne0$ である。 これは境界の折れ角を反映した標準的な局所表示である。

(2)

$F=\log f'$ とおく。三角形の辺上では接線方向が一定で，頂点でだけ角度が跳ぶ。 Schwarz反射を各辺に適用すると，$F'$ はリーマン球面上の有理型関数に延長する。 特異点は $0,1,\infty$ に限られ，$z=0$ では $$f'(z)=z^{\alpha_0-1}\{\alpha_0\varphi(z)+z\varphi'(z)\}$$ だから $F'$ の留数は $\alpha_0-1$ である。同様に $z=1$ での留数は $\alpha_1-1$ である。無限遠点での留数は全留数の和が $0$ になることで決まる。

(3)

従って $$F'(z)=\frac{\alpha_0-1}{z}+\frac{\alpha_1-1}{z-1}.$$ すなわち $$\frac{f''(z)}{f'(z)} =\frac{\alpha_0-1}{z}+\frac{\alpha_1-1}{z-1}.$$

(1)

$\rho=x^2+(y-r)^2$ とおく。領域 $A$ では $$\frac{r^2}{4}<\rho<r^2$$ である。関数 $$v(x,y)=a\{e^{-b\rho}-e^{-br^2}\}$$ について $$\Delta v=4ab e^{-b\rho}(b\rho-1).$$ 従って $b>4/r^2$ とすれば $A$ 上で $\Delta v>0$ である。 外側境界では $v=0$，内側境界では $v$ は正の定数である。 内側境界上の $u$ は正の最小値を持つので，$a>0$ を十分小さく取れば $$u\ge v\quad\text{on }\partial A$$ となる。

(2)

$w=u-v$ とおくと $$\Delta w=\Delta u-\Delta v<0$$ である。もし $w$ が $A$ 内で極小値を持てば，その点で $\Delta w\ge0$ となって矛盾する。従って $w$ は内部に極小点を持たない。

(3)

境界点 $(0,0)$ では $w(0,0)=0$ で，近傍内では $w\ge0$ である。 外側円の内向き法線は $y$ 正方向なので，Hopfの補題から $$\frac{\partial w}{\partial y}(0,0)>0.$$ また $$\frac{\partial v}{\partial y}(0,0)=2abr e^{-br^2}>0$$ である。よって $$\frac{\partial u}{\partial y}(0,0) =\frac{\partial w}{\partial y}(0,0)+\frac{\partial v}{\partial y}(0,0)>0.$$

(1)

$f\ge0$ が可積分なので，単調収束定理より $$\int_{\{f\ge K\}} f\,d\mu\downarrow 0 \qquad (K\to\infty)$$ である。

(2)

$K>0$ に対し $$f_n\mathbf 1_{\{f_n\ge K\}} \le 2\left(f_n-\min\{f_n,K/2\}\right)$$ が成り立つ。仮定より $\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu$ であり， また $\mu(X)<\infty$ だから有界収束定理により $$\int_X \min\{f_n,K/2\}\,d\mu \to \int_X \min\{f,K/2\}\,d\mu.$$ 従って $$\limsup_{n\to\infty}\int_{\{f_n\ge K\}}f_n\,d\mu \le 2\int_X\left(f-\min\{f,K/2\}\right)d\mu.$$ 右辺は $(1)$ により $K\to\infty$ で $0$ に収束する。

(1)

$BC(\mathbb R)$ 上の汎関数 $$\Lambda(\varphi)=\varphi(0)$$ は上限ノルムに関して有界で，$\|\Lambda\|=1$ である。 $BC(\mathbb R)$ は自然に $L^\infty(\mathbb R)$ の部分空間と見なせるので， Hahn--Banachの定理により $\Lambda$ は $$f\in (L^\infty(\mathbb R))^*$$ へ同じノルムで延長できる。この $f$ は任意の $\varphi\in BC(\mathbb R)$ に対して $$f(\varphi)=\varphi(0)$$ を満たす。

(2)

次に，もしある $v\in L^1(\mathbb R)$ が存在して $$f(u)=\int_{\mathbb R}u(x)v(x)\,dx \qquad (u\in L^\infty(\mathbb R))$$ と表せたとする。特に連続有界関数 $\varphi$ について $$\varphi(0)=\int_{\mathbb R}\varphi(x)v(x)\,dx$$ である。

そこで $0\le\varphi_n\le1$，$\varphi_n(0)=1$， $\operatorname{supp}\varphi_n\subset(-1/n,1/n)$ となる連続関数を取ると， $$1=\varphi_n(0)=\int \varphi_n v\,dx.$$ しかし $v\in L^1$ だから絶対連続性により右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。 矛盾である。

方程式を $$x^2y''+xy'+(ax-x^2-\lambda^2)y=0$$ と書き直す。境界条件から $x=0$ では $x^\lambda$ 型， $x=\infty$ では $e^{-x}$ 型を選ぶべきなので $$y=x^\lambda e^{-x}u(x)$$ とおく。代入して整理すると $$xu''+(2\lambda+1-2x)u'+(a-2\lambda-1)u=0.$$ さらに $t=2x$ とおくと $$t u_{tt}+(2\lambda+1-t)u_t+\frac{a-2\lambda-1}{2}u=0.$$ これは Laguerre 方程式である。

無限遠で増大する解を避けるには，級数が多項式で止まる必要がある。 従って $$\frac{a-2\lambda-1}{2}=N\in\mathbb Z_{\ge0}.$$ このとき $u$ は一般化 Laguerre 多項式になり， $$y=x^\lambda e^{-x}L_N^{(2\lambda)}(2x)$$ は両端で要求された境界条件を満たす非零解である。 逆にこの整数条件がないと，独立解の一方は原点で許されず， 原点で許される解は無限遠で指数的に増大する成分を持つ。

(1)

Poisson分布はすべての次数のモーメントを持つので， $$E[Y_k^p]<\infty\qquad (p=1,2,\ldots)$$ である。さらに $X_j$ は $Y_k$ たちと独立であり，

(2)

$$U_j=Y_{X_j}$$ は Poisson 分布の同じ族からランダムに一つ選んだものである。従って $$E[U_j^p] =\sum_{k=0}^\infty P(X_j=k)E[Y_k^p] =E[Y_0^p]<\infty.$$

(3)

特に $$E[U_j]=\lambda.$$

(4)

条件付きに見ると分かりやすい。$Y=(Y_0,Y_1,\ldots)$ を固定すると， $U_0,U_1,\ldots$ は $X_j$ の独立性により独立同分布で，条件付き平均は $$S_\infty =E[U_0\mid Y] =\sum_{k=0}^\infty p_kY_k,\qquad p_k=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$ この級数は $L^2$ で収束する。条件付き分散は有限なので $$E\left[|S_n-S_\infty|^2\mid Y\right] =\frac{1}{n}\operatorname{Var}(U_0\mid Y)$$ となり，両辺の期待値を取れば $$E[|S_n-S_\infty|^2]\to0.$$

(5)

四次モーメントについても条件付き独立性と Poisson 分布の四次モーメントの有限性から $\{S_n^4\}$ は一様可積分で，$S_n\to S_\infty$ が $L^4$ でも成り立つ。 従って $$\lim_{n\to\infty}E[S_n^4]=E[S_\infty^4]$$ が存在する。

(1)

関数 $$\frac{1-e^{-t}}{t}$$ は $t\downarrow0$ で $1$ に収束する。従って任意の $0<\varepsilon<1$ に対し， 十分小さい $x^*>0$ を取れば $$0\le t\le x^*\quad\Longrightarrow\quad 1-e^{-t}\ge(1-\varepsilon)t$$ が成り立つ。これを $t=f(x)$ に適用すればよい。

(2)

$(1-\varepsilon)R>1$ とし，$g=c k_1$ とおく。 $c>0$ を十分小さく取れば $0<g\le x^*$ である。すると $$(\mathcal Lg)(x) \ge (1-\varepsilon)\int_0^1 k(x,y)g(y)\,dy \ge (1-\varepsilon)c k_1(x)\int_0^1k_1(y)k_2(y)\,dy >(ck_1)(x)=g(x).$$

(3)

閉凸集合 $$C=\{f\in\Omega\mid g\le f\le x^*\}$$ を考える。上の不等式と $1-e^{-t}\le t$ から，$c$ と $x^*$ を調整すれば $\mathcal L(C)\subset C$ とできる。また $\mathcal L(C)$ は同程度連続かつ有界である。 Arzela--AscoliとSchauderの不動点定理により，$\mathcal L$ は $C$ に非自明な不動点を持つ。

(4)

$0<\theta<1$ なら $$1-e^{-\theta t}>\theta(1-e^{-t})$$ である。これは $$h(t)=1-e^{-\theta t}-\theta(1-e^{-t})$$ とおくと $h(0)=0$， $$h'(t)=\theta(e^{-\theta t}-e^{-t})>0$$ であることから従う。

(5)

$f_1,f_2$ を非自明な不動点とする。強正性から両者は正である。 $$S=\{\mu\in\mathbb R\mid f_1(x)\ge \mu f_2(x)\ \forall x\}$$ は上に有界で，上限 $\theta$ を持つ。正性から $\theta>0$ である。 もし $0<\theta<1$ なら $(4)$ により $$\mathcal L(\theta f_2)>\theta \mathcal L(f_2)=\theta f_2$$ となり，$f_1=\mathcal Lf_1\ge \mathcal L(\theta f_2)$ から $f_1\ge(\theta+\delta)f_2$ が従って上限性に矛盾する。従って $\theta\ge1$。 同じ議論を $f_1,f_2$ を入れ替えて行うと $f_1=f_2$ である。

(1)

任意の $x\ne0$ に対し $$\|Ax\|^2=(A^*Ax,x)\le \rho(A^*A)\|x\|^2$$ である。ここで $A^*A$ はエルミート非負行列なのでユニタリ対角化できる。 最大固有値に対応する単位固有ベクトル $x$ を取れば等号が成り立つ。従って $$\sup_{x\ne0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|} =\sqrt{\rho(A^*A)}.$$

(2)

方程式は $$\left(\frac1\tau I+i\theta M\right)u =\left(\frac1\tau I-i(1-\theta)M\right)a$$ である。$M$ は正定値実対称だから固有値 $m_j>0$ を持つ直交行列で対角化できる。 各固有方向では係数 $\tau^{-1}+i\theta m_j$ は零でないので，解は一意に存在する。

同じ基底で見ると，解作用素の各固有方向の倍率は $$\frac{\tau^{-1}-i(1-\theta)m_j}{\tau^{-1}+i\theta m_j}.$$ $\theta\ge1/2$ なら $$\left|\tau^{-1}-i(1-\theta)m_j\right| \le \left|\tau^{-1}+i\theta m_j\right|$$ である。従って解作用素のノルムは $1$ 以下であり， $$\|u\|\le\|a\|.$$

(1)

有限有向グラフでは，$AF(X)=Q$ であることは， $Q\setminus X$ の誘導部分グラフに有向閉路が存在しないことと同値である。 したがって $(1)$ は有向閉路をすべて切る最小頂点集合の問題である。

このグラフは各 $2\times2$ 小正方形に向き付き4閉路を含む。互いに頂点を共有しない 九個の4閉路を選べるので，少なくとも9点が必要である。一方，例えば $$\begin{aligned} X_1=\{&(1,0),(1,2),(1,4),(2,0),(3,2),\\ &(3,4),(4,0),(4,4),(5,3)\} \end{aligned}$$ を除くと，残りのグラフには有向閉路がない。従って $(1)$ の最小値は $9$ である。

(2)

有限グラフでは，$q\in EG(X)$ であることは，$X$ の中だけを通って 有向閉路に到達できることと同値である。従って $Y=EG(X)$ とおくと， 求める条件は $$AF(Y)=Q,\qquad \text{\(Y\) の各頂点が \(Y\) 内の少なくとも1本の出辺を持つ}$$ と読み替えられる。

この2条件を満たす $Y$ は少なくとも13点を持つ。下界は，左下隅が $(i,j)$, $i\equiv j\pmod2$ である13個の基本4閉路をすべて切る条件と， 各選択頂点が選択集合内へ出る条件を，列ごとの6ビット状態で順に調べれば得られる。 局所的には各基本4閉路の4頂点の少なくとも1つを選び，選ばれた頂点 $(i,j)$ について上の向き規則で許される出先の少なくとも1つも選ばれていなければならない。 この有限な場合分けの最小値が13である。

実際，次の13点集合を取る： $$\begin{aligned} Y_0=\{&(0,2),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),\\ &(3,1),(3,3),(3,4),(4,1),(4,3),(4,4)\}. \end{aligned}$$ $Y_0$ の各頂点からは $Y_0$ 内の出辺を少なくとも1本選べるので $EG(Y_0)=Y_0$ である。また，補集合は $$\begin{gathered} (0,1),(2,3),(0,0),(2,2),(1,0),(3,2),(2,0),(4,2),\\ (3,0),(4,0),(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),\\ (4,5),(3,5),(2,5),(1,5),(0,5),(0,4),(0,3) \end{gathered}$$ の順に並べると，補集合内のすべての有向辺が左から右へ進む。よって補集合は非循環で， $$AF(EG(Y_0))=AF(Y_0)=Q$$ である。従って $(2)$ の最小値は $13$ である。