京大 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 専門科目（物理学） 2024年度 院試 解答例・解説

方針 — Stabilizer 符号としての $\{h_{j}\}$

$\{h_{j}\}$ は互いに交換するエルミート二乗 $I$ 演算子, つまり stabilizer 集合. すべての $h_{j}$ の同時 $+1$ 固有状態 $|E_{0}\rangle$ が論理状態(基底状態)で, Pauli 誤り $\sigma^{\alpha}_{k}$ はいくつかの $h_{j}$ と反交換しエネルギーを上げる. 励起エネルギー $\Delta E = 2\times(\text{反交換する }h_{j}\text{ の個数})$ で誤りの「重み」を表す.

典型ミス

• (1) 符号: $\sigma^{y}=i\sigma^{x}\sigma^{z}$ で, 引数の順序を逆にすると符号反転. $\sigma^{i}\sigma^{j}=i\varepsilon_{ijk}\sigma^{k}+\delta_{ij}I$ の関係を確認.
• (6) で「$|i-j|=1$ なら反交換」と即断. 反交換するペア 2 つは $(-1)^{2}=+1$ で全体交換になる.
• (7)-(9) で「反交換の個数」を数え誤る. $h_{j}$ がサイト $k$ にどの Pauli を持つかを 1 つ 1 つ点検する.

背景 — 1D Cluster State と MBQC

$\sigma^{z}\sigma^{x}\sigma^{z}$ 型 stabilizer は 1 次元 cluster state の特性で, 測定型量子計算 (MBQC) の最小モデル. 全 $h_{j}=+1$ の状態を準備すると, 順次 1-qubit 測定で任意の量子計算が実装できる(Briegel-Raussendorf, 2001). 本問はこの符号における Pauli 誤りのエネルギーシフト計算.

方針 — 1 次元 Bloch 理論とフォトニック結晶

問 (4)-(6) は 1 次元周期媒質中の電磁波 = 1 次元フォトニック結晶の最簡単な例. 周期 $L$ で誘電率が変動すると, Brillouin ゾーン境界 $k=\pm\pi/L$ で $m=0,\;\mp 1$ の自由波が縮退し, 任意の小さな摂動 $\lambda$ で「バンドギャップ」が開く. 開く幅は $\propto \lambda$ (1 次摂動).

これは結晶中の電子のバンド理論(Bloch 定理)と数学的に同じ. 「自由電子が周期ポテンシャルで折りたたまれて Brillouin ゾーン境界で gap が開く」という物理が, 光に対して反映された姿.

$E$ 場でなく $H$ 場 (= $b$) を主軸にする理由

$E$ 場は (う) で $\varepsilon(z)$ が 2 階微分の中に入った異常な方程式 $d^{2}a/dz^{2}=-\omega^{2}\mu\varepsilon(z) a$ になる. 一方 $H$ 場 (= $b$) は (え) で「$1/\varepsilon$ 重みの Sturm-Liouville 形」 $d/dz[(1/\varepsilon)(db/dz)]=-\omega^{2}\mu b$. これは自己随伴形式で固有値分解が綺麗に進む(Hermite 行列 $A_{m,n}$ が出る).

典型ミス

• (1) 符号: $\partial_{t}\to i\omega$, $\partial_{z}\to d/dz$. 両者の符号と Maxwell の符号 $-\partial B/\partial t$ の組合せで $-i\omega\mu$ などが出る.
• (2) で $db/dz$ の連続性を主張する. これは正しくない — $\varepsilon$ にジャンプがあると $db/dz=-i\omega\varepsilon a$ も $\varepsilon$ ジャンプ分だけジャンプ. 連続なのは $(1/\varepsilon)(db/dz)$.
• (3) Fresnel で $E$ 場の係数 $(\sqrt{\varepsilon_{-}}-\sqrt{\varepsilon_{+}})/(\sqrt{\varepsilon_{-}}+\sqrt{\varepsilon_{+}})$ を $H$ にも適用する. 符号が逆になる.
• (6) 摂動で $\sum_{m'\neq 0,1}$ の項を全部含めようとして手計算が膨れ上がる. ヒントの $\varphi_{m}=\lambda v_{m}$ スケーリングでこれらが $\lambda^{2}$ オーダになることを利用.

背景 — Photonic Crystal とブラッグ反射

$\lambda$ で開く gap は バンドギャップ で, この周波数帯では伝播する Bloch 波が存在せず媒質内に存在不可. これが ブラッグ反射 の量子論的表現で, 光ファイバ・反射防止膜・フォトニック結晶構造の物理的基礎.

方針 — Bose 統計と分散関係から熱力学を組む

処方.\

1. 分散 $\varepsilon(p)$ から状態密度 $D(\varepsilon)$ を出す.
2. $\mu$ を決定 ($\mu=0$ なら Planck 型).
3. $E,N,F=-T\partial(\beta F)\dots$ を $D$ と Bose 分布の積分で求める.

本問は超流動内のフォノン (=ボース粒子で $\mu=0$, 線形分散) というモデル系統で, 黒体放射の光子と ほぼ同じ熱力学 を持つ.

典型ミス

• (2) で偏極自由度の係数 $2$ や $3$ を入れる: 光子は横波 $2$, ソリッドのフォノンは縦 $1$ + 横 $2$. 超流動液体は縦音波のみで $1$.
• (3) ζ(3) と $\pi^{4}/15$ を取り違える: $\int x^{2}/(e^{x}-1)dx = 2\zeta(3),\;\int x^{3}/(e^{x}-1)dx=\pi^{4}/15$.
• (5) で $S = E/T$ と書く: 正しくは $S=4E/(3T)$ (Stefan-Boltzmann 系).

背景 — Landau の超流動理論

超流動 He-4 では低温の励起がフォノン (低エネルギー)$+$ロトン (高エネルギー) で記述され, それぞれが Bose 分布で熱平衡. 比熱の温度依存 $T^{3}$ (フォノン) は二流体モデルの基礎.

方針 — 減衰のロジ-振幅(対数減衰率)

$E_{2}/E_{1}=e^{-2\pi\beta/\omega_{1}}$ の指数 $\delta=2\pi\beta/\omega_{1}$ は 対数減衰率 と呼ばれ, 弱減衰 $\beta\ll\omega_{0}$ では $\delta\approx 2\pi\beta/\omega_{0}=\pi\alpha/(m\omega_{0})$. 振動 1 周期で系が失うエネルギーの割合 $1-E_{2}/E_{1}\approx 2\delta$ で, $Q$ 値 ($=\omega_{0}/(2\beta)$) と $$\delta = \pi/Q$$ の関係.

典型ミス

• (2) の $B$ の符号: $\dot x(0)=-\beta A + B\omega_{1}=0$ から $B=+\beta x_{0}/\omega_{1}$. 符号を反転させない.
• (3) で $E$ をポテンシャルエネルギー込みで考える: $x=0$ ではばねは自然長, $V=0$ なので運動エネルギー = 全エネルギー. 「$x=0$ 通過時の運動エネルギー」が問題の指定で, 全エネルギー比と同じ.

検算 — 隣接ピークでも同じ比

(3) の比は隣接した 2 つの $x=0$ 通過点の間隔が半周期 $\pi/\omega_{1}$ のときの値. 隣接した極大点(同じ位相)の間隔は周期 $2\pi/\omega_{1}$ で, 振幅比 $e^{-\beta\cdot 2\pi/\omega_{1}}$, エネルギー比は $e^{-4\pi\beta/\omega_{1}}=e^{-2\delta}$. 一方半周期では $e^{-\delta}$ とエネルギー比.

(本問では半周期離れた 2 点での比較なので $E_{2}/E_{1}=e^{-2\pi\beta/\omega_{1}}$ になる.)

背景 — RLC 回路と減衰

同じ運動方程式は RLC 直列回路 $L\ddot Q + R\dot Q + Q/C = 0$ で電荷 $Q$ について成立. 力学の振動と電気振動が完全に対応(機械-電気アナロジー). 物理 $\beta\to R/(2L), \omega_{0}\to 1/\sqrt{LC}$.

方針 — 球対称関数の 3 次元 Fourier 変換

球対称な $f(r)$ に対し $F(\vec q)=F(q)$ も球対称で $$F(q) = \frac{4\pi}{q}\int_{0}^{\infty}r\,f(r)\sin(qr)\,dr$$ が公式. これは $\theta$ 積分から自動的に出る形で覚えておくと, $f=e^{-br}$ など指数型, ガウス型, クーロン型などに直接適用可能.

$x^{2n}+a^{2n}$ 型の積分

一般に $\int_{-\infty}^{\infty}1/(x^{2n}+a^{2n})\,dx = \pi/(n a^{2n-1}\sin(\pi/(2n)))$. 本問 $n=3$ で $\pi/(3a^{5}\sin(\pi/6))=\pi/(3a^{5}\cdot 1/2)=2\pi/(3a^{5})$. 結果一致.

典型ミス

• (1) で立体角 $\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ の係数を忘れる.
• (2-1) で偏角 $(2k+1)\pi/6$ を $k\pi/3$ などと取り違える. $x^{6}=-a^{6}$ から偏角 $\pi+2k\pi$ を 6 で割って $(2k+1)\pi/6$.
• (2-2) 留数公式: 単純極 $z_{0}$ で分母 $g(z)$, $\mathrm{Res}\;1/g = 1/g'(z_{0})$. ここで $g'(z)=6z^{5}$.

背景 — Fourier 変換と Born 近似

(1) の結果 $F(\vec q)=8\pi b/(b^{2}+q^{2})^{2}$ は量子散乱の Born 近似で, 湯川型ポテンシャル $e^{-br}/r$ の Fourier 変換($\propto 1/(b^{2}+q^{2})$)を $b$ で 1 階微分したものと等価. 散乱断面積の角度分布計算で頻出.

方針 — 円環上の質点は cyclic な $\alpha$ で「運動量保存」

(5) の鍵は「$\alpha$ が cyclic 座標 $\Rightarrow p_{\alpha}$ 保存」. 初期条件 $p_{\alpha}=0$ なので $(2M+m)\dot\alpha=m\dot\beta\cos\beta$ が常に成立. これを使って $\alpha$ を $\beta$ で消去, 1 自由度の問題に帰着.

(7) の $K=-M$ は重心定理 を使った美しい結果. 質点 $+$ 円環の系全体の y 重心と床摩擦の関係を見ると, 質点の重心の y 加速度は 2 倍の慣性比 で円環中心と関連付き, 結果として $F=-M\ddot Y$.

典型ミス

• (5) 質点速度の y 成分: 質点位置 $Y_{\text{mass}}=Y+b\sin\beta$ なので $\dot Y_{\text{mass}}=\dot Y+b\cos\beta\dot\beta=-b\dot\alpha+b\cos\beta\dot\beta$. ここで $\dot\alpha\neq\dot\beta$ (滑る系では別物).
• (6) で T を間違える: $\dot\alpha=m\dot\beta\cos\beta/(2M+m)$ を慎重に代入. 中間で $r=m/(2M+m)$ をおき, $T_{\text{円環}}+T_{\text{質点}}=mb^{2}\dot\beta^{2}(2M+m\sin^{2}\beta)/(2(2M+m))$ と整理.
• (7) で$K$ の符号: 摩擦は円環中心の加速度と 反対向き に働く. 数学的には $F=-M\ddot Y$. 物理的には床が円環を「引き戻す」働き.
• (8) で sin β = 0 だけにとどめる: 「$F=0$ の β 全て」を求めよなので, $\cos\beta=2\cos\beta_{0}/3$ の解も含める.

背景 — Wobbling Wheel と複合振り子

円環上を質点が滑り, さらに円環が床を転がる系は Wobbling Wheel あるいは Hoop with sliding bead として知られる古典力学の標準問題. 重心の振動と回転の結合, さらに摩擦の役割がエネルギー散逸無しで現れ, 解析力学の良い演習例.

(7) の $K=-M$ は, 円環単独でみると $M\ddot Y=F+(\text{質点反作用})$ で, 質点の反作用が ($M+m)\ddot y_{G}=F$ と組み合わさって最終的に $F=-M\ddot Y$ にまとまる.

方針 — Blume-Capel 系の相転移

$\sigma\in\{-1,0,+1\}$ に対するモデル(Blume-Capel 模型, あるいは BEG 模型の特殊例)で, 多重度 $g$ が大きいと $\sigma=0$ が「常磁性的」状態となり, 強磁性 ($\sigma=\pm 1$) との競合で 1 次相転移が現れる. 本問はその平均場版.

なぜ $g$ で相転移の次数が変わるか

$F/N$ の $m^{4}$ 係数は (4 次までの一般展開で) $-\beta^{3}(Jz)^{4}(g-4)/(12(2+g)^{2})$. これは

• $g<4$: 負($-$)$\to$正(+) すなわち$m^{4}$ 係数 $>0$ → 2 次相転移.
• $g>4$: $m^{4}$ 係数 $<0$ → 6 次以上で抑える必要 → 1 次相転移.

本問 [B] は $g=2<4$ で 2 次, [C] は $g=10>4$ で 1 次.

典型ミス

• (1) で $\sigma=0$ の状態数 $g$ を分配関数に入れ忘れる: 各 $\sigma=0$ の縮退を $g$ 状態として数える($Z_{1}=2\cosh+g$).
• (3) で $T_{c}=Jz/k_{B}$ などと書く: 標準 Ising ($g=0$) なら $T_{c}=Jz/k_{B}$ だが本問 [B] $g=2$ では $T_{c}=Jz/(2k_{B})$.
• (5) で 1 次相転移の判別: $m^{4}$ 係数が負だと 1 次. $m^{2}$ 係数だけ見て「ゼロにならない」と書くのは不十分.

背景 — Blume-Emery-Griffiths モデル

本モデル(あるいは類似の Blume-Capel)は He³-He⁴ 混合物の相図(超流動相転移と相分離の競合)などの記述に使われる. 三状態スピン($\sigma=0,\pm 1$)が「液体相 vs ガス相 + 種類別」を表現. 多重度 $g$ は相空間における「両極端でない状態」の重みを担う.

方針 — Rodrigues 公式から導かれる Hermite 多項式の性質

Rodrigues 公式 (A) は Hermite 多項式の生成法の 1 つで, 微分の繰り返しで多項式が出る. ここから直交性, ノルム, 母関数, 漸化式が機械的に導ける. 同様の手法は Legendre, Laguerre 多項式でも使われる.

母関数の応用

$G(x,t) = e^{2xt - t^{2}}$ は便利な道具:

• $H_{n}$ の漸化式: $\partial G/\partial t = (2x-2t)G$ から $H_{n+1}=2xH_{n}-2nH_{n-1}$.
• 微分公式: $\partial G/\partial x = 2tG$ から $H_{n}'=2nH_{n-1}$.
• Hermite ODE: 上の組合せから $H_{n}''-2xH_{n}'+2nH_{n}=0$.

典型ミス

• (1) で $H_{2}=4x^{2}+2$ などと符号ミス: 計算は $d^{2}(e^{-x^{2}})/dx^{2}=(4x^{2}-2)e^{-x^{2}}$, それに $e^{x^{2}}$ を掛けて $4x^{2}-2$.
• (3) 部分積分の境界項を忘れる: 多項式 $\times e^{-x^{2}}$ は $|x|\to\infty$ で $0$ なので消えるが, 確認すること.
• (5) で $\lambda_{n}=2n$ と符号ミス: $\hat{\mathcal O}H_{n}=-2n H_{n}$. Hermite ODE の符号に注意.

背景 — 量子調和振動子

Hermite 多項式は量子調和振動子のエネルギー固有関数 $\psi_{n}(x)\propto H_{n}(x)e^{-x^{2}/2}$ で現れる. 固有エネルギー $E_{n}=\hbar\omega(n+1/2)$ の量子数 $n$ がここの $\hat{\mathcal O}$ の固有値 $\lambda_{n}=-2n$ と直結. 重み関数 $e^{-x^{2}}$ はガウス基底状態の確率分布.

方針 — エーテル仮説下のガリレイ的合成則

Michelson-Morley 実験は ガリレイ変換 + 光速一定 (in ether) を仮定して光路差を計算し, 装置回転で生じるはずの干渉縞シフトを検出しようとした. 結果は「シフトが予測の 1/40 未満」(零点で観測されず), エーテル仮説の否定 $\to$ 特殊相対性理論の構築につながる歴史的実験.

(1)(2) のテクニックは「エーテル静止系で光速 $V$, 装置が動く」という設定で各アームの所要時間を計算する古典的手法. パラレル方向は $1/(V\pm v)$ の和で $T\propto 1/(1-(v/V)^{2})$, 垂直方向はピタゴラスで $T\propto 1/\sqrt{1-(v/V)^{2}}$. (v/V)² の因子 2 倍が縞シフトの源.

典型ミス

• (1) で $T_{0}=2D/V$ と書く: $v=0$ ならそうだが, $v\neq 0$ ではエーテル流のため $\sqrt{V^{2}-v^{2}}$ が分母.
• (3) 単位: $D=1.0$ m, $\lambda=500$ nm $=5.0\times 10^{-7}$ m. 光路差 $\Delta L=10$ nm. 比 $\Delta L/\lambda=0.02$. 単位を慎重に.
• (4) 縞シフト: 90 度回転で光路差は 符号反転 のみ(値は同じ). 縞移動量は $2\delta$.
• (8) 単色光に関して: 「白色光のほうが感度が高い」と書くと違う. 「中心縞の同定」が利点.

背景 — 特殊相対論への道

(3) の予測値 0.02 波長(D=1 m, 地球公転速度), Michelson の元の実験(D≈11 m)で予測 0.4 波長, 観測 0.01 波長未満. これがエーテル仮説の否定 $\to$ Lorentz 短縮による回避 $\to$ Einstein の特殊相対性 (1905) という流れ.

実は Lorentz 短縮 ($\sqrt{1-v^{2}/V^{2}}$ 倍) を装置の長さに適用すると, 平行アームの実効長が $D\sqrt{1-v^{2}/V^{2}}$ となり, $T_{1}-T_{0}\propto (v/V)^{4}$ で観測限界以下. これが Lorentz の救済策で, 後に時空構造の本質的修正へ.

方針 — 井戸内外の波動関数のマッチング

有限井戸の典型的解法:

1. 各領域で Schrödinger 解(指数または三角関数).
2. 連続性 + 微分連続性で接続.
3. ($\rho a=ka\tan(ka)$ のような)超越方程式が固有値条件.

本問は $E$ が指定されているので超越方程式が直接解け, 井戸幅 $a$ が逆算できる珍しい問題設定.

典型ミス

• (1) で $\sin$ 解(odd)を最低エネルギーとする: 偶対称な井戸の最低固有関数は 偶パリティ ($\cos$).
• (3) で $ka=\pi/4$ 以外の解を選ぶ: $\tan(ka)=1$ には $ka=\pi/4,\;5\pi/4,\dots$ がある. 最低エネルギーは最小の $ka=\pi/4$.
• (4) で井戸内・外それぞれの確率を「半分」と取り違える: 偶対称関数なので両側合計を考えるが, 各積分は $0$ から $a$ に取って最後に $\times 2$.

検算 — $V_{0}\to\infty$ 極限

無限井戸 $V_{0}\to\infty$ で $\rho\to\infty$, 外部減衰急速で $P_{\text{out}}\to 0$. 一方 $k\to\infty$ なので $a\to 0$ ($a=\pi\hbar/(4\sqrt{mV_{0}})$). 一定 $E/V_{0}=-1/2$ では井戸が浅くなる場合, この問題と固定. $V_{0}\to 0$ では束縛状態がなくなる(浅井戸限界).

背景 — トンネル効果と古典禁止領域

井戸外 $|x|>a$ は古典的には $E<V$ で進入禁止だが量子的には指数減衰で存在. $P_{\text{out}}=2/(\pi+4)\approx 28\%$ という大きな割合は, 浅い井戸($E$ が井戸の半分の深さ)では波束が外に大きくしみ出すことを示す.

方針 — Faraday の法則と運動量 - 磁場の同期

ベータトロンは「時間変化する磁束で電子を加速しつつ, 軌道半径を一定に保つ」加速器. 鍵となる Wideröe 2:1 条件: 軌道内の平均磁束密度が軌道上の磁場の 2 倍 になるよう $B(r)$ を時空間設計.

(1) は静的なローレンツ力釣り合い, (2) は Faraday 誘導による加速力, (3) は両者を組み合わせて $B(R)$ と $\Phi$ の時間発展を結びつける. これがベータトロンの基本方程式.

物理的意味の解釈

(3) の式 $dB(R)/dt = (1/(2\pi R^{2}))\,d\Phi/dt$ は $B(R)$ と $\Phi$ の時間変化率が 線形比 で結ばれている条件. 任意の時間関数 $B(R,t)$ を選ぶと, それと整合する $\Phi(t)$ が(1 階 ODE で)一意に決まる.

実際の装置設計では電磁石を sinusoidal に駆動し, $B(R,t)\propto \sin(\omega t)$ とする. $\Phi(t)$ も同期した $\sin$ 振動で, ピーク前の半周期で電子が加速される.

典型ミス

• (1) で $P=mv$ と書く: 一般相対論的には $P=\gamma mv$ で, 高エネルギーでは $\gamma$ 因子重要. 本問は非相対論を仮定しているのでよいが, 実際のベータトロンでは $E\sim$MeV で相対論的補正が必要(電子は質量 $\sim 0.5$ MeV).
• (2) で電子の電荷符号: 電子は $-e$ ($e>0$). 力の方向と $E_{\phi}$ の符号関係を慎重に.
• (3) で $B(R)$ と $\Phi$ の関係を二乗の関係にする: 1 次関係($B\propto\Phi$ 増加)で正しい. 二乗では誤り.

背景 — Wideröe 条件と現代加速器

ベータトロンは Kerst (1940) が最初に実用化. 平均磁場 $=$ 2 倍軌道磁場 という条件は Wideröe 条件 と呼ばれ, 軸対称磁場の特異な要請で設計が制約される.

現代のシンクロトロン (LHC など) はベータトロン原理を発展させ, $B(R)$ と粒子エネルギーを独立に制御するため可動磁場(時間依存)$+$ RF 加速を分離して使う. 軌道一定の条件は周回ごとに粒子のエネルギー / $B$ の同期で保たれる.