京大 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 専門科目（物理学） 2025年度 院試 解答例・解説

循環座標と対称性

中心力ポテンシャルでは角度 $\phi$ の絶対値に物理的意味がなく，原点まわりに 全体を回転しても運動は変わらない。この連続対称性に対応する保存量が $p_\phi$ である。小問 (1) で $\partial H/\partial\phi=0$ を確認するだけでも 保存は示せるが，小問 (2) の母関数は同じ事実を正準変換の言葉で表している。 微小回転の母関数に $\epsilon p'_\phi$ が加わることから，$p_\phi$ が回転の生成子 であることも読み取れる。

作用の符号

ハミルトン・ヤコビ方程式から得られる $p_r$ には二つの符号がある。ここでは $x>0$ 上を負の向きに進むため，$r$ は時間とともに小さくなる。したがって $p_r=m\dot r$ は負であり，この条件で積分定数を除く $S(r)$ の符号が決まる。 符号を機械的に選ぶと，物理的な運動方向と逆の枝を答えてしまうので注意する。

粒子の屈折率

通常の光学では屈折率は速さの逆数に比例するが，ここで定義された $n$ は $\sin\alpha/\sin\beta$ そのものであり，境界接線方向の運動量保存から $v_2/v_1$ に等しい。井戸の中ではポテンシャルが負なので運動エネルギーが増え， $v_2>v_1$，すなわち $n>1$ になる。この点を光の屈折率の記憶だけで判断しない ことが重要である。

散乱角と焦点の近似

小問 (6) では $\alpha-\beta=\chi/2$ と Snell 型の関係を組み合わせるだけで $\rho$ を消去できる。小問 (7), (8) ではさらに $\rho\ll a$ として， $\sin\alpha\simeq\alpha$，$\sin\beta\simeq\beta$ を使う。焦点距離では 出射点の高さ $a\sin(2\beta-\alpha)$ と出射後の傾き $\tan\chi$ の両方を同じ一次精度で 残す必要がある。$n\to 1$ ではほとんど曲がらないため $f\to\infty$ となり， $n\to2$ では焦点が円周上の極限 $f\to a$ に近づくので，得られた式の極限も 幾何と整合している。

方針 — 鏡像法と双極子展開を組み合わせる

鏡像法の電気・磁気アナロジー:

• 電気: $\phi$, $\vec E$, $\vec D=\varepsilon\vec E$, $\phi$ 連続, $D_{\perp}$ 連続 → 鏡像電荷 $q' = ((\varepsilon_{0}-\varepsilon)/(\varepsilon_{0}+\varepsilon))q$.
• 磁気: $\phi_{m}$, $\vec H$, $\vec B=\mu\vec H$, $\phi_{m}$ 連続, $B_{\perp}$ 連続 → 鏡像モーメント $m' = ((\mu_{0}-\mu)/(\mu_{0}+\mu)) m$.

変数の置換 $\varepsilon\to\mu$ のみで全公式が引き継がれる.

典型ミス

• (2) 境界条件: $E_{x}$ ではなく $D_{x}=\varepsilon E_{x}$ が連続. 「$\phi$ 連続」と混同しない.
• (4) 鏡像双極子の符号: 法線 (x) 成分反転, 接線 (y) 成分維持.
• (6) ロ の置換: $\varepsilon/\varepsilon_{0}\to\mu/\mu_{0}$ (比の方向に注意).

背景 — 強磁性 vs 反磁性体への引力

$\mu\gg\mu_{0}$ (強磁性) で $(\mu_{0}-\mu)/(\mu_{0}+\mu)\approx -1$ → 鏡像が反対符号同向き → 磁石は媒質に 引きつけ られる. $\mu\ll\mu_{0}$ (超伝導) で $(\mu_{0}-\mu)/(\mu_{0}+\mu)\approx +1$ → 同符号 → 反発し磁石は 浮上 する.

方針 — Joule-Thomson 過程と「自由エネルギーの変数」

定常な多孔質壁を通る気体の押し出しは, 「圧力の異なる 2 つのリザーバ間で気体を移動」する非可逆断熱過程. 各リザーバ内では気体が静止していて熱力学的状態は規定可. 気体 1 単位が左から右に移ると, $P\,V$ 仕事の差が内部エネルギー変化となって, エンタルピー $H=U+PV$ が保存される.

理想気体では $H=H(T)$ のみで $P$ に依らないので, $(\partial T/\partial P)_{H}=0$ になり Joule-Thomson 効果は消える. 実気体の $B(T)$ が温度依存性を持つと, 効果が現れる.

典型ミス

• (2) Stirling: $\ln N! \approx N\ln N - N$. $-N$ の項を忘れると $S$ で $5/2$ ではなく $3/2$ になる.
• (4) Maxwell: $(\partial S/\partial P)_{T}=-(\partial V/\partial T)_{P}$ は $G(T,P)$ から導かれる. 符号を逆にしない.
• (5): $T_{2}$ の方向は 逆転温度 に対する $T_{1}$ の位置で決まる. 単純に「気体は冷える」と暗記しない.

背景 — Joule-Thomson 効果の応用

希ガス・水素・空気を液化する標準技術. ヘリウムは逆転温度が約 $40$ K と低く, あらかじめ冷やしてから JT で更に冷却が必要. 一方, 空気の逆転温度は室温より十分高いので, 室温で減圧すると冷える(冷蔵庫の原理).

van der Waals 気体での $B(T)\approx b-a/(k_{B}T)$ から得る $T_{\text{inv}}=2a/(bk_{B})$ は, 経験的に各気体の逆転温度を $\sim 10\%$ 程度の精度で予測する.

方針 — 2 準位系での時間発展は周波数 $2\omega$

エネルギー差 $E_{2}-E_{1}=2\hbar\omega$ が物理的に観測される振動数(Rabi 振動の角振動数). 期待値 $\langle\hat A\rangle$ がこの $2\omega$ で振動するのは, $\hat A$ が $|1\rangle$ と $|2\rangle$ を結ぶ非対角行列要素を持つから.

$\hat A=\sigma_{x}$ と等価で, $\sigma_{x}^{2}=I$ から $\langle\sigma_{x}^{2}\rangle=1$ が任意の状態で. ゆらぎ $\Delta A=\sqrt{1-\langle\hat A\rangle^{2}}=|\sin(2\omega t)|$ は時刻によって 0 から 1 まで変動.

典型ミス

• (2) 位相の符号: $\hat H|n\rangle=E_{n}|n\rangle$ で時間発展は $e^{-iE_{n}t/\hbar}$. $E_{1}=-\hbar\omega$ なら係数 $e^{+i\omega t}$.
• (4) ゆらぎ: $\Delta A=\sqrt{\langle\hat A^{2}\rangle-\langle\hat A\rangle^{2}}$. 二乗差を取ってから平方根.

背景 — NMR と量子ビット

2 準位系 $+$ $\sigma_{x}$ 摂動は核磁気共鳴 (NMR), 量子ビットの単一ゲート操作の基本モデル. $\langle\sigma_{x}\rangle$ の振動はラビ振動, 周波数 $2\omega$ (エネルギー差) は Larmor 周波数の一般化.

方針 — 楕円面積 $=\pi/\sqrt{\det A}$ の便利公式

2 次元 2 次形式 $\vec x^{T}A\vec x=1$ の楕円面積は一般に $\pi/\sqrt{\det A}$. 本問 $\det A=9-1=8$ で即 $\pi/\sqrt 8=\pi/(2\sqrt 2)$. 固有値求めずに出せる.

Fourier 級数の対称性

矩形パルス偶関数 → 余弦展開のみ, 奇数倍周波数のみ残る. $1/n$ で減衰し Gibbs 現象あり. 級数の最初に対称性 (偶/奇) を確認するのが基本.

完全微分の条件

$\int(Pdx+Qdy)$ が経路非依存 $\Leftrightarrow$ ポテンシャル $\Phi$ で $P=\partial\Phi/\partial x,\;Q=\partial\Phi/\partial y$ $\Leftrightarrow$ $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$. 単連結領域で同値.

典型ミス

• (1): 非対角成分に $2$ を入れる. 正しくは $A_{12}=A_{21}=1$ ($2xy$ の係数を半分ずつ).
• (2): 周期を $2a$ と取り違える. 「幅 $2a$ の山と幅 $2a$ の谷」で周期 $4a$.
• (3): $P,Q$ の偏微分計算で多項式の係数ミス. 各項丁寧に.

方針 — 対称ゲージでの Landau 問題

磁場中の 2 次元自由電子問題で, 対称ゲージ $\vec A=\frac{1}{2}\vec B\times\vec r$ を用いると角運動量 $\hat L_{z}$ が保存される. エネルギー (= Landau 準位 $n$) と $L_{z}$ (= 量子数 $m$) で状態を完全指定. 縮退したエネルギー準位 $E_{n}=\hbar\omega_{c}(n+1/2)$ は無限縮退で, $m$ は $-n,-n+1,\dots$ をとる.

ランダウ準位の最低 ($n=0$) 状態は $\rho^{m}e^{im\varphi}e^{-\rho^{2}/2}$, $m\ge 0$. これらは複素変数 $z = \rho e^{i\varphi}$ の正則関数 $z^{m}$ に Gauss 因子をかけた形で, ランダウ準位最低状態が「正則関数の空間」と等価という有名な事実 (Lowest Landau Level 正則性).

典型ミス

• (2): $\hat\Pi_{x}^{2}+\hat\Pi_{y}^{2} = 2\hbar qB(\hat N+1/2)\cdot 2 = \hbar qB(2\hat N+1)$ で「$+1/2$」の零点エネルギーを正しく出す.
• (3): $[\hat L_{z},\hat\Pi_{y}]=-i\hbar\hat\Pi_{x}$ の符号. $\hat L_{z}$ が回転の生成子であることを確認.
• (7): $\psi_{(0,m)}$ は $m\ge 0$ のみ. $\rho^{m}$ で原点正則性を要求.
• (8): 励起状態 $\psi_{(n,m)}$ の最低 $L_{z}$ は $-n\hbar$ ($m=-n$). $L_{z}$ を $-n\hbar$ より低く取れない.

背景 — 量子 Hall 効果と最低ランダウ準位

最低ランダウ準位 $n=0$ は分数量子 Hall 効果の舞台. Laughlin 波動関数 $\psi=\prod_{i<j}(z_{i}-z_{j})^{m}\exp(-\sum|z_{k}|^{2}/4)$ が, ここで導いた単粒子 $\rho^{m}e^{im\varphi}e^{-\rho^{2}/2}$ の 多体一般化. 多体波動関数の正則性 (lowest Landau level constraint) と粒子間の交換統計が分数量子 Hall を生む.

方針 — エラスティック鎖と Ising 鎖の対応

鎖モデルは生体分子 (RNA, DNA) や ゴム弾性のミクロモデルとして頻出. 各要素が 2 状態 (短/長 = $\alpha$/$\gamma$) を取り, 外力 $f$ で長くなる方向に偏らせる. 長さの統計が Boltzmann 分布で決まり, $\langle\ell\rangle$ vs $f$ の関係が 力 - 伸び曲線 (force-extension curve).

[B] では隣接要素の相互作用 $w$ を加える. これは Ising 鎖と完全等価で, 1 次元なので有限温度相転移は無いが, 熱容量に Schottky 型のピークが現れる.

転送行列法と外力下での 1 次元 Ising

(4) の $Q$ は外場 $f$ がスピン $\pm 1$ にかかる Ising 鎖の転送行列に対応. 「Boltzmann 因子」の半分を左右の要素に振り分けることで対称な $Q$ が作れる. (5) の最大固有値 $\lambda_{\max}=2\cosh(\beta w)$ が, 標準 Ising 鎖の転送行列の固有値と一致.

典型ミス

• (1): $N_{\alpha}, N_{\gamma}$ の符号. $a N_{\alpha}+2a N_{\gamma}=\ell a$ から $N_{\gamma}=\ell-N$, $N_{\alpha}=2N-\ell$.
• (3): $C$ が低温・高温で 0 になり中間にピークというのは Schottky 異常熱容量の典型. exponentially supressed at low T, $1/T^{2}$ at high T.
• (4): 転送行列の行・列の振り分け方は規約. 半分・半分の Boltzmann で対称化するのが標準.

背景 — DNA 伸長実験と 2 状態モデル

シングル分子 DNA を引っ張る原子間力顕微鏡 (AFM) や光ピンセット実験で, 鎖の長さが力に対して階段的に変化する現象が観測される. 各塩基対が「畳まれた状態」「伸びた状態」の 2 状態を取ると考えると, 本問のモデルがそのまま使え, 力 - 伸び曲線が再現できる. (実際は隣接相互作用 ($w$ 項) が「協同性」を生み, より階段的な遷移になる.)

方針 — ODE を代数方程式に

Laplace 変換は 線形微分方程式を 多項式の代数方程式に変える. 微分演算 $d/dt$ が乗算 $s$ に, 初期条件が代数式の定数項に変わる. 「変換」「代数で解く」「逆変換」の 3 ステップが標準.

ヘビサイド関数 $u(t-a)$ と シフト則 $e^{-as}F(s)$ で, スイッチング (=ある時刻からだけ駆動) のような区分的入力も扱える.

典型ミス

• (2): 3 位の極の留数は 2 階微分. $1/2!$ の係数を忘れない.
• (5): 初期条件 $x(0)=x'(0)=0$ から境界項が消える. 一般には $sX-x(0)$ の $x(0)$ 項を残す.
• (6): シフト則を忘れて $1-e^{-t}-te^{-t}$ をそのまま答えると $t<3$ でも非ゼロになり初期条件不適合.

背景 — 制御理論と回路解析

Laplace 変換は線形時不変系の周波数応答 (Bode 線図), 制御系の安定性解析 (極の位置), 電気回路の過渡応答計算で標準ツール. 本問の式 (F) はステップ入力に対する 1 階遅れ + 1 階遅れ系の応答で, 制御理論の最も基本的な過渡応答パターン.

方針 — 半導体 X 線検出器の動作原理

入射 X 線 $\to$ Si 原子と光電効果 $\to$ 電子放出 + 二次電離で電子・ホールペアを生成 ($\varepsilon\sim 3.6$ eV/ペア で Si 固有値). この電荷を空乏層中の電場で分離・収集してパルス出力.

電荷有感アンプは「入力電荷を時間積分して電圧化」する標準回路で, 入力電荷量に比例した電圧出力を $\tau=R_{f}C_{f}$ で減衰. パルス高さがエネルギー比例, パルス幅が時定数 $\tau$.

典型ミス

• (1) で $n\sigma\ell$ の単位を間違える. cm 系で揃え, 結果 $\approx 1$. 1 桁有効で $0.6$.
• (2) 逆バイアスの方向: n-type には $+$, p-type には $-$. 順バイアスとは逆.
• (4) 単位: $C_{f}$ in F, $q$ in C, 結果 V. SI 単位を保つ.

背景 — Si(Li) 検出器と Ge 検出器

X 線天文衛星 (XRISM, NICER), シンクロトロン放射光のエネルギー分散検出器に Si(Li) や SDD (Silicon Drift Detector) が広く使われる. より高エネルギー X 線・γ 線には Ge (HPGe) 検出器, 高密度・高吸収率のため.

冷却は基本: 暗電流 $\propto e^{-E_{g}/(2k_{B}T)}$ で温度依存性が指数的. $-30^\circ$C $\to$ $-100^\circ$C で暗電流が 4 桁減. 但し本問の通り結露問題は同時に発生し, 真空 / 乾燥環境が前提.

方針 — 「並進 + 回転」のエネルギー分配

転がり問題の鍵は「並進 KE と回転 KE の比 = $1 : I/(Mb^{2})$」. 球 $(2/5)$, 円環 $(1)$, 円板 $(1/2)$, 円柱 $(1/2)$ で異なる.

- 球が斜面を転がる (3): $\dot x^{2} = (2g\sin\alpha)/(1+I/(Mb^{2}))\cdot x$ で, 球は係数 $(2g/(1+2/5))=10g/7$, 摩擦無し滑り落ちなら $2g$. 転がりは $5/7$ 倍に速度減少 (一部のエネルギーが回転に行く). - 板を引いて球を回す (4): 摩擦力が球に「回転」だけ付与, 並進は外部から打ち消される.

典型ミス

• (2): 「中心軸まわり」の慣性モーメントは $Ma^{2}$. 直径まわりは $Ma^{2}/2$ (直交軸定理).
• (3): 転がり拘束 $\dot x=b\dot\theta$ を忘れ, $\dot\theta$ を残すと自由度が間違う.
• (4): 摩擦力の向き. 球は静止 ($\ddot x_{\text{CoM}}=0$) なので重力下降を打ち消す向き = 斜面上向き. トルクは下端に上向きの力でかかるので, 球は時計回り (図の正方向) に角加速.

背景 — Tippe Top と「板を引いて球を回す」

(4) は「板を素早く引き抜くと球が転がり始める」という日常現象の力学的記述. 球の慣性が大きいので並進は遅れ, 板からの摩擦が球に角運動量を与える. テーブルクロスを引き抜く現象も同種.

方針 — 導波管モードの分散関係と「カットオフ」

電場が $z$ 方向に有限な依存性 $\sin(\pi z/z_{0})$ を持つことは, $z$ 方向に有限の 導波管 (例: 平行平板間で間隔 $z_{0}$) を伝播する電磁波と等価. $\pi z/z_{0}$ の依存性は基本モード ($\mathrm{TM}_{1}$ あるいは $\mathrm{TE}_{1}$) で, 境界 $z=0,\,z_{0}$ で電場が 0.

分散関係 $\omega^{2}=c^{2}k^{2}+(\pi c/z_{0})^{2}$ から:

• カットオフ周波数 $\omega_{c}=\pi c/z_{0}$. これより低い周波数 ($\omega<\omega_{c}$) では $k^{2}<0$ になり, 波は伝播せず指数減衰 (evanescent).
• $\omega>\omega_{c}$ で伝播波となり $v_{g}<c<v_{p}$. $v_{g}\,v_{p}=c^{2}$ は導波管 TE/TM モードの普遍関係.

典型ミス

• (2) 符号: $\nabla^{2}E_{y}$ には $\partial_{z}^{2}$ で $\sin(\pi z/z_{0})$ が出るが, $\partial_{z}^{2}\sin = -(\pi/z_{0})^{2}\sin$ で 負. これと $-\omega^{2}/c^{2}$ を比較し符号を誤らない.
• (3): $v_{g}\,v_{p}=c^{2}$ は二乗を取った後の関係. 個別に $v_{p}/c, v_{g}/c$ を求めて積を取ると常に 1.
• (4): 「位相速度がエネルギー伝達速度」と勘違い. 因果律と整合するのは $v_{g}\le c$.

背景 — マイクロ波導波管とプラズマ

矩形導波管・円筒導波管は $\omega^{2}=c^{2}k^{2}+\omega_{c}^{2}$ 型分散を持つ. 同型の関係式が プラズマ中の電磁波 (プラズマ振動数 $\omega_{p}$) でも現れる: $\omega^{2}=c^{2}k^{2}+\omega_{p}^{2}$. プラズマでは $\omega<\omega_{p}$ の波が反射 (電離層の AM 波反射, 太陽コロナでの遮蔽).