東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2015年度 院試 解答例・解説

(1)

$\mathbb F_p$ 上の加法群 $$V=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^p$$ を，対角成分がすべて $p$ 乗根である対角行列の群と同一視する。 行列 $b$ は座標を巡回的に入れ替えるので， $$G=V\rtimes \langle b\rangle,\qquad |G|=p^{p+1}$$ である。以下，$T$ を $b$ の $V$ への作用，すなわち座標の巡回置換と書く。

まず $V$ 内の元の共役類は $T$-軌道である。Burnside の補題より $$\#(V/T)=\frac{1}{p}\{p^p+(p-1)p\}=p^{p-1}+p-1.$$ 次に $j\ne0$ とし，$vb^j$ 型の元を考える。$w\in V$ による共役で $$w(vb^j)w^{-1}=(v+(1-T^j)w)b^j$$ となる。$j\ne0$ では $\operatorname{Im}(1-T^j)$ は $\sum_i v_i=0$ で定まる余次元 $1$ の部分空間であるから， 不変量は座標和 $\sum_i v_i\in\mathbb F_p$ だけである。 また $T$ はこの和を変えない。したがって各 $j=1,\dots,p-1$ について $p$ 個の共役類があり， $$k(G)=p^{p-1}+p-1+p(p-1)=p^{p-1}+p^2-1.$$

(2)

一次元表現はアーベル化で決まる。交換子により $V$ は $(T-1)V$ で割られ，これは余次元 $1$ である。よって $$G_{\mathrm{ab}}\simeq \mathbb Z/p\mathbb Z\oplus \mathbb Z/p\mathbb Z$$ であり，$G\to\mathbb C^\times$ の準同型は $p^2$ 個である。

(3)

最後に，既約表現の次元を見る。正規アーベル部分群 $V$ の双対 $\widehat V$ に $\langle b\rangle$ が作用する。固定される指標は 全座標に同じ指数を持つ $p$ 個で，それぞれは商 $\langle b\rangle$ の $p$ 個の指標で延長されるので，これが $p^2$ 個の一次元表現である。 それ以外の指標の軌道はすべて長さ $p$ であり，誘導表現は既約で次元 $p$ である。 軌道数は $$\frac{p^p-p}{p}=p^{p-1}-1.$$

(1)

$$S=k[t],\qquad R=k[t^4,t^{10},t^{13}]$$ とおく。$I=\{x\in K\mid xS\subset R\}$ は conductor である。 $1\in S$ だから $xS\subset R$ なら $x\in R$ である。 また $r\in R$ なら $$(rx)S=r(xS)\subset rR\subset R$$ なので $I$ は $R$-イデアルである。さらに $s\in S$ に対して $$(sx)S=x(sS)\subset xS\subset R$$ であるから，$I$ は $S$-イデアルでもある。

(2)

次に $R$ に現れる指数の半群を $$H=\langle 4,10,13\rangle$$ とする。直接調べると $$20,21,22,23\in H$$ であり，以後の整数は $4$ を加えることで順に $H$ に入る。 一方 $19\notin H$ であるから，conductor は $20$ である。 したがって $S$-イデアルとして $$I=t^{20}S$$ であり，$R$-イデアルとしては $$I=(t^{20},t^{21},t^{22},t^{23})_R$$ である。

この 4 つは最小である。実際，たとえば $t^{20}$ を他の生成元から作るには 指数を $21,22,23$ から $H$ の元だけ下げる必要があるが，正の元を引くと $H$ の指数にならない。同様に $21,22,23$ も，正の $H$ の元を引くと $20$ 未満または $H$ の外に出る。

(1)

$S=k[x_1,\dots,x_n]$，$E$ を $e_i e_j+e_j e_i=0$ で定まる外積代数とする。 $f\in R(M)^p=\operatorname{Hom}_k(E,M_p)$ に対し $$(df)(e)=\sum_{i=1}^n x_i f(e_i e)$$ と定められている。

まず $d$ は右 $E$-加群の準同型である。右作用は $(f\cdot u)(e)=f(ue)$ で与えられるので， $$d(f\cdot u)(e)=\sum_i x_i f(ue_i e)$$ である。外積代数の符号を次数に合わせて入れると，これは $(df)\cdot u$ と一致する。次数については， $e_i$ の次数が $-1$，$x_i$ の次数が $1$ であるため， $e_i$ による次数の変化と $x_i$ による次数の変化が打ち消し合う。

次に $d^2=0$ を示す。任意の $e\in E$ について $$d^2f(e)=\sum_{i,j}x_jx_i f(e_i e_j e).$$ $x_i x_j=x_jx_i$ であり，$e_i e_j=-e_j e_i$ であるから， $(i,j)$ と $(j,i)$ の項は打ち消し合う。また $e_i^2=0$ なので対角項は消える。 従って $d^2=0$ である。

(2)

複体 $R(M)$ が完全なら $M=0$ であることを示す。 $M\ne0$ と仮定し，$M_q\ne0$ となる最小の次数 $q$ を取る。 非零元 $m\in M_q$ に対し，$f\in\operatorname{Hom}_k(E,M_q)$ を $$f(1)=m,\qquad f(E_{<0})=0$$ で定める。このとき $df=0$ である。実際，$e_i e$ は外積代数の正の長さの部分に入るので， 上の定義から $f(e_i e)=0$ となる。一方，最小性より $R(M)^{q-1}=0$ であるから，この非零サイクルは境界になれない。完全性に反する。 よって $M=0$ である。

(3)

最後に次数付き準同型 $h:M\to M'$ を考える。 $$R(h)^p:\operatorname{Hom}_k(E,M_p)\to \operatorname{Hom}_k(E,M'_p), \qquad f\mapsto h_p\circ f$$ とおくと， $$d(h_p\circ f)(e)=\sum_i x_i h_p(f(e_i e)) =\sum_i h_{p+1}(x_i f(e_i e)) =h_{p+1}(df(e)).$$ ここで $h$ が $S$-加群準同型であることを使った。従って $R(h)$ は複体の準同型である。

(1)

$$F(x)=x^6-Sx^4+Tx^2-U$$ とおき，$y=x^2$ と置換する。すると $$f(y)=y^3-Sy^2+Ty-U$$ が現れる。$f$ の根を $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ とし， $x_i^2=\alpha_i$ と選ぶと，$F$ の根は $$\pm x_1,\quad \pm x_2,\quad \pm x_3$$ である。

$S,T,U$ は独立変数なので，三次式 $f$ のガロワ群は一般に $S_3$ である。 さらに $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ の平方根を独立に付け加えるため， $$\operatorname{Gal}(L/K)\simeq (\mathbb Z/2\mathbb Z)^3\rtimes S_3$$ となる。従って $$[L:K]=2^3\cdot 6=48.$$

(2)

次数 $6$ の $K$-上ガロワ部分拡大は，ガロワ群の指数 $6$ の正規部分群に対応する。 上の半直積で，符号を変える正規部分群 $$N=(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$$ を割ると $S_3$ が得られる。これは唯一の正規 Sylow $2$-部分群なので， 次数 $6$ のガロワ部分拡大は三次式 $f(y)$ の分解体だけである。 三次式の判別式を $\Delta$ と書けば，この体は $$K(\alpha_1,\sqrt{\Delta})$$ で，単一生成元としては $\alpha_1+\sqrt{\Delta}$ を取ればよい。

(3)

最後に $$A=(X-Y)(Y-Z)(Z-X)$$ を考える。ガロワ群は，$x_1,x_2,x_3$ の置換と各 $x_i$ の符号変化で作用する。 一般位置で $A$ の共役は $$(\pm x_{\pi(1)}\mp x_{\pi(2)}) (\pm x_{\pi(2)}\mp x_{\pi(3)}) (\pm x_{\pi(3)}\mp x_{\pi(1)})$$ の形をとる。符号全体を同時に変える操作と巡回置換を考慮すると， 相異なる値は $8$ 個である。従って $$[M:K]=8.$$ このとき安定部分群の位数は $48/8=6$ であるが，これは半直積の中で正規部分群ではない。 したがって $M/K$ はガロワ拡大ではない。

(1)

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ とおくと $$x\,dx+y\,dy+z\,dz=r\,dr$$ である。したがって $$\omega=f(x,y,z)(x\,dx+y\,dy+z\,dz)=h(r)r\,dr.$$ これは $r$ だけの関数を係数にもつ $dr$ の形なので， $$d\omega=d(h(r)r)\wedge dr=0$$ である。よって $\omega$ は閉形式である。

(2)

さらに $$G(r)=\int_{r_0}^{r}s h(s)\,ds$$ と定めれば，$g(x,y,z)=G(r)$ は $X$ 上の滑らかな関数で， $$dg=G'(r)\,dr=h(r)r\,dr=\omega$$ となる。従って $\omega$ は完全形式である。

(3)

最後に $\omega=d\varphi$ かつ $\Delta\varphi=0$ とする。 $d\varphi$ が動径方向であるから $\varphi$ は球面方向に一定で， $\varphi=\Phi(r)$ と書ける。三次元での動径関数のラプラシアンは $$\Delta\varphi=\Phi''(r)+\frac{2}{r}\Phi'(r)$$ である。これが $0$ なので $$(r^2\Phi'(r))'=0,\qquad \Phi'(r)=\frac{C}{r^2}.$$ 一方 $$d\varphi=\Phi'(r)\,dr=f(x,y,z)r\,dr$$ であるから $$f(x,y,z)=\frac{C}{r^3} =\frac{C}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.$$

(1)

$T^2=S^1\times S^1$ の基本一次元サイクルを $u,v$ とする。 貼り合わせ写像は加法座標で $$(u,v)\longmapsto (u,2u+v)$$ に対応する。したがって $H_1(T^2;\mathbb Z)\simeq\mathbb Z^2$ 上の作用は $$A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$$ である。

$X$ はこの自己同相の mapping torus であるから，Wang 完全列を用いる。 $$A-I=\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}$$ なので $$\operatorname{coker}(A-I)\simeq \mathbb Z\oplus \mathbb Z/2\mathbb Z,\qquad \ker(A-I)\simeq \mathbb Z.$$ また $H_2(T^2)$ への作用は $\det A=1$ により恒等である。 従って $$H_0(X;\mathbb Z)\simeq \mathbb Z,$$ $$H_1(X;\mathbb Z)\simeq \operatorname{coker}(A-I:H_1\to H_1)\oplus H_0(T^2) \simeq \mathbb Z^2\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z,$$ $$H_2(X;\mathbb Z)\simeq \operatorname{coker}(A-I:H_2\to H_2)\oplus \ker(A-I:H_1\to H_1) \simeq \mathbb Z^2,$$ $$H_3(X;\mathbb Z)\simeq \ker(A-I:H_2\to H_2)\simeq\mathbb Z.$$ それより高次は $0$ である。

(2)

次に，$\pi:X\to T^2$ に連続切断 $s$ が存在すると仮定する。 このとき $$\pi\circ s=\operatorname{id}_{T^2}$$ だから，二次ホモロジーでも $$\pi_*\circ s_*=\operatorname{id}_{H_2(T^2)}$$ でなければならない。

しかし $H_2(X)$ の二つの生成元は，貼り合わせ前の繊維 $T^2$ の基本類と， $\ker(A-I)$ から来る $v$-方向と時間方向のトーラスで表せる。 $\pi$ は前者を一次元方向へつぶし，後者も $T^2$ の一つの円方向にしか写さない。 従って $$\pi_*:H_2(X;\mathbb Z)\to H_2(T^2;\mathbb Z)$$ は零写像である。これは $\pi_*\circ s_*=\operatorname{id}$ と矛盾する。

(1)

$$u=2\pi x-\pi,\qquad v=2\pi y-\pi$$ とおく。すると $$F_1=\cos u(a\sin u-\sin v),\qquad F_2=\cos v(\sin u+a\sin v),$$ $$L=\cos u\cos v$$ である。

$F=0$ を解く。もし $\cos u\ne0,\cos v\ne0$ なら $$\sin v=a\sin u,\qquad \sin u=-a\sin v$$ であり，$0<a<1$ だから $\sin u=\sin v=0$ である。 従って $$(x,y)\in\{0,\tfrac12\}\times\{0,\tfrac12\}.$$ 一方 $\cos u=0$ かつ $\cos v=0$ でも $F=0$ となるので， $$(x,y)\in\{\tfrac14,\tfrac34\}\times\{\tfrac14,\tfrac34\}.$$ 片方だけ $\cos$ が $0$ の場合は $|\sin|=1$ と $0<a<1$ が矛盾する。

(2)

微分を調べる。$u,v$ 座標でのヤコビ行列は $$\begin{pmatrix} -\sin u(a\sin u-\sin v)+a\cos^2u & -\cos u\cos v\\ \cos u\cos v &-\sin v(\sin u+a\sin v)+a\cos^2v \end{pmatrix}$$ であり，$x,y$ 座標では全体に $2\pi$ が掛かる。 $\sin u=\sin v=0$ の四点では $$2\pi\begin{pmatrix}a&-\varepsilon\\ \varepsilon&a\end{pmatrix} \qquad(\varepsilon=\cos u\cos v=\pm1)$$ となるので，固有値は $2\pi(a\pm i\varepsilon)$ で実数ではない。 一方 $\cos u=\cos v=0$ の四点では行列は対角行列になり，固有値は実数である。

(3)

最後に $$\frac{d}{dt}L(\varphi_t(x,y))\bigg|_{t=0}=dL(F)$$ を計算する。 $$\frac{\partial L}{\partial x}=-2\pi\sin u\cos v,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=-2\pi\cos u\sin v$$ だから $$dL(F) =-2\pi a\cos u\cos v(\sin^2u+\sin^2v) =-2\pi aL(\sin^2u+\sin^2v).$$

(4)

周期軌道が $L\ne0$ の領域にあれば，$\log|L|$ が真に減少して周期性に反する。 $L=0$ 上では不変な円弧に分かれるが，端点は不動点で，端点以外の軌道は閉じない。 従って不動点以外の周期軌道は存在しない。

(1)

点 $P\in S^2$ に対し，$G_P=\{Q\in S^2\mid P\cdot Q=0\}$ と書く。 長さ $\ell\le\pi$ の大円劣弧 $\sigma$ を，回転により赤道上の $$\{(\cos t,\sin t,0)\mid 0\le t\le \ell\}$$ としてよい。この劣弧と交わる $G_P$ は，$P$ の経度が $[-\pi/2,\ell-\pi/2]$ または $[\pi/2,\ell+\pi/2]$ に入ることと同値である。 球面の面積要素を経度 $\lambda$ と高さ $z$ で書くと $d\lambda\,dz$ であるから， $$\operatorname{Area}(R)=2\cdot(2\ell)=4\ell.$$

(2)

有限個の大円劣弧をつないだ閉曲線 $\alpha$ については，各弧に上の等式を適用し， 交点数を重複度込みで足し合わせれば $$\int_{S^2}\#(G_P\cap\alpha)\,dP=4\,\operatorname{Length}(\alpha)$$ を得る。有限個の頂点を通る $P$ は測度零なので，そこでの曖昧さは積分に影響しない。

(3)

次に，閉 $C^1$ 曲線 $\gamma$ の長さが $2\pi$ 以下であるとする。 もし $\gamma$ を含む閉半球面が存在しないなら，ほとんどすべての $P$ について $G_P$ は $\gamma$ と交わる。閉曲線との交点数はほとんど至る所偶数だから， $$\#(G_P\cap\gamma)\ge2$$ である。従って Crofton 公式より $$4\,\operatorname{Length}(\gamma) =\int_{S^2}\#(G_P\cap\gamma)\,dP \ge 2\operatorname{Area}(S^2)=8\pi.$$ よって長さが $2\pi$ 未満なら矛盾する。等号の場合も，等号成立条件から $\gamma$ は大円を一周する場合に限られ，これは閉半球面に含まれる。 したがって長さ $2\pi$ 以下の閉曲線はある閉半球面に含まれる。

(4)

最後に空間曲線 $\Gamma(s)$ を弧長でパラメータ付ける。 接ベクトル写像 $$T(s)=\Gamma'(s)\in S^2$$ は閉曲線で，その長さは $$\operatorname{Length}(T)=\int |T'(s)|\,ds=\int \kappa(s)\,ds$$ である。もし $\int\kappa ds<2\pi$ なら，前段により $T$ はある開半球に含まれる。 するとある単位ベクトル $a$ が存在して $a\cdot T(s)>0$ となるが， $$0=a\cdot(\Gamma(L)-\Gamma(0))=\int_0^L a\cdot T(s)\,ds$$ に反する。従って $$\int\kappa(s)\,ds\ge2\pi.$$

(1)

固定した $0<a<b$ について $$f_{a,b}(x)=\frac1x\mathbf 1_{\{a<|x|<b\}}$$ である。これは $L^1(\mathbb R)$ に属し， $$\|f_{a,b}\|_1=2\int_a^b\frac{dx}{x}=2\log\frac ba.$$ Young の不等式より，$\|g\|_2\le1$ なら $$\|f_{a,b}*g\|_2\le \|f_{a,b}\|_1\|g\|_2 \le 2\log\frac ba.$$ 従って固定した $a,b$ では上限は有限である。

(2)

フーリエ変換を $$\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,dx$$ とする。偶奇性より余弦部分は消え， $$\widehat f_{a,b}(\xi) =-2i\int_a^b\frac{\sin(\xi x)}{x}\,dx =-2i\{F(b\xi)-F(a\xi)\},$$ ただし $$F(\xi)=\int_0^\xi\frac{\sin\eta}{\eta}\,d\eta$$ である。

(3)

$\lim_{\xi\to\infty}F(\xi)=\pi/2$ が与えられているので，$F$ は実軸上有界である。 従って $$\sup_{0<a<b}\sup_{\xi\in\mathbb R} |\widehat f_{a,b}(\xi)| \le 4\sup_{\xi\in\mathbb R}|F(\xi)|<\infty.$$ Plancherel の定理から $$\|f_{a,b}*g\|_2 \le C\|\widehat f_{a,b}\|_\infty\|g\|_2$$ であり，右辺は $a,b,g$ によらず有界である。

(1)

$$A^p=\{u\in L^p(D)\mid \Delta u=0\text{ in }\mathcal D'(D)\}$$ とおく。

$u_j\in A^p$ が $L^p(D)$ で $u$ に強収束するとする。 任意の試験関数 $\phi\in C_c^\infty(D)$ について $$\langle \Delta u,\phi\rangle=\langle u,\Delta\phi\rangle =\lim_{j\to\infty}\langle u_j,\Delta\phi\rangle =\lim_{j\to\infty}\langle \Delta u_j,\phi\rangle=0$$ である。従って $u\in A^p$ である。

弱収束の場合も同じ結論である。実際，$A^p$ は線形部分空間であり，いま示したように ノルム閉である。ノルム閉な線形部分空間は Hahn--Banach の分離定理により弱閉である。 したがって $u_j\rightharpoonup u$ なら $u\in A^p$ である。

(2)

単位円板での例を作る。複素座標 $z$ を用い， $$u(z)=\operatorname{Re}\frac{1+z}{1-z} =\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}$$ とおく。これは円板内で正の調和関数である。境界点 $1$ の近くで， 法線方向の距離を $s=1-r$，接線方向を $\theta$ と書けば $$u(re^{i\theta})\asymp \frac{s}{s^2+\theta^2}.$$ 従って $$\int u^p \,dA$$ は $p<2$ で収束し，$p\ge2$ で発散する。特に $u\in A^1$ だが $u\notin A^2$ である。

(1)

$$X=\left\{f:\Omega\to\mathbb R\ \middle|\ f\text{ は可測},\ \int_\Omega\sqrt{|f|}\,d\mu<\infty\right\}$$ を，ほとんど至る所等しい関数を同一視して考える。 $$\rho(f,g)=\int_\Omega\sqrt{|f-g|}\,d\mu$$ と定める。

非負性と対称性は明らかである。また $\rho(f,g)=0$ なら $\sqrt{|f-g|}=0$ がほとんど至る所成り立つので $f=g$ である。 三角不等式は $$|f-h|\le |f-g|+|g-h|$$ と，$s,t\ge0$ に対する $$\sqrt{s+t}\le\sqrt s+\sqrt t$$ から従う。従って $\rho$ は距離である。

(2)

完備性を示す。$(f_n)$ を $\rho$-Cauchy 列とする。 部分列を取り直して $$\sum_{k=1}^{\infty}\rho(f_{n_{k+1}},f_{n_k})<\infty$$ としてよい。すると $$\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|}$$ は $L^1$ 関数として有限であり，従ってほとんど至る所有限である。 よって $f_{n_k}(x)$ はほとんど至る所で実数の Cauchy 列となり，極限を $f(x)$ と書く。

Fatou の補題より $$\rho(f_{n_k},f) \le \liminf_{\ell\to\infty}\rho(f_{n_k},f_{n_\ell})$$ である。右辺は $k\to\infty$ で $0$ になるので， $f_{n_k}\to f$ in $\rho$ である。また $$\sqrt{|f|} \le \sqrt{|f-f_{n_k}|}+\sqrt{|f_{n_k}|}$$ から $f\in X$ である。元の列全体も Cauchy 性により $f$ へ収束する。

(1)

まず $|a|<1$ とし $$g(z)=\frac{z}{(1-az)^2}$$ を考える。$g(0)=0,\ g'(0)=1$ は明らかである。 また $$\frac{z_1}{(1-az_1)^2}=\frac{z_2}{(1-az_2)^2}$$ とすると，整理して $$(z_1-z_2)(1-a^2z_1z_2)=0$$ を得る。円板内では $|a^2z_1z_2|<1$ だから $z_1=z_2$ である。 従って $g\in S$ である。

さらに $$g(z^2)=\frac{z^2}{(1-az^2)^2} =\left(\frac{z}{1-az^2}\right)^2$$ であるから $$G(z)=\frac{z}{1-az^2}$$ とおけばよい。同様に $$\frac{z_1}{1-az_1^2}=\frac{z_2}{1-az_2^2}$$ から $$(z_1-z_2)(1+az_1z_2)=0$$ が従い，$|az_1z_2|<1$ より $G$ は単葉である。 また $G(0)=0,\ G'(0)=1$ なので $G\in S$ である。

(2)

一般の $f\in S$ については，$f$ が単葉で $f(0)=0$ だから， 円板内で $f$ の零点は $0$ だけである。従って $$\frac{f(z^2)}{z^2}$$ は円板上で零点を持たず，$z=0$ で値 $1$ を持つ正則関数である。 円板は単連結なので，$h(0)=1$ となる正則平方根 $h$ が存在する。 $$F(z)=z h(z)$$ とおけば $$F(z)^2=f(z^2),\qquad F(0)=0,\qquad F'(0)=1$$ である。

単葉性を確認する。$F(z_1)=F(z_2)$ なら $$f(z_1^2)=f(z_2^2)$$ であり，$f$ の単葉性より $z_1^2=z_2^2$ である。 $z_1=z_2$ ならよい。$z_1=-z_2$ の場合，$h$ は $z^2$ の関数として取れるので $F$ は奇関数であり，$F(z_1)=F(-z_1)=-F(z_1)$ となる。 従って $F(z_1)=0$，すなわち $z_1=0$ で，結局 $z_1=z_2$ である。