阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2019年度 院試 解答例・解説

方針

$(x^2+a^2)^2$ 型では，まず $x=at$ によって $a$ を完全に外へ出す。 第2の積分は三角置換で即座に求まる。第1の積分は $\log(at)=\log a+\log t$ に分け，$\log t$ だけを含む無次元の積分を処理する。

対数項の扱い

$$K=\int_0^\infty \frac{\log t}{(1+t^2)^2}\,dt$$ をベータ関数の微分で求めてもよい。実際 $$F(s)=\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{(1+t^2)^2}\,dt = \frac12 B\left(\frac{s}{2},2-\frac{s}{2}\right)$$ とおくと $K=F'(1)$ である。 $$\frac{F'(s)}{F(s)} = \frac12\psi\left(\frac{s}{2}\right) -\frac12\psi\left(2-\frac{s}{2}\right)$$ より，$\psi(3/2)=\psi(1/2)+2$ を使って $$K=F(1)\cdot(-1)=-\frac{\pi}{4}$$ となる。答案では部分積分を使う形にしておくと，特殊関数を避けられる。

検算

どちらの積分も $x=at$ 後に係数は $a^{-3}$ になる。したがって答が $a^{-3}$ に比例していない場合は，変数変換の $dx=a\,dt$ か分母の $a^4$ の扱いを誤っている。

典型ミス

$\log(at)$ を $\log a\,\log t$ のように扱う誤りが多い。必ず $\log(at)=\log a+\log t$ と分ける。また $\int_0^\infty \log t/(1+t^2)^2\,dt$ は0ではない。重み $(1+t^2)^{-2}$ が $t\leftrightarrow1/t$ で不変ではないためである。

方針

偏導関数の問題に見えるが，本質は一変数の平均値の定理である。$y=b$ を固定すれば $x$ だけの関数になるため，「導関数が恒等的に0なら定数」をそのまま使える。

連結して比べる

2変数の場合は，任意の点 $(x,y)$ を $$(x,y)\longrightarrow (0,y)\longrightarrow (0,0)$$ の2本の線分で原点へつなぐと考える。

水平方向では $\partial f/\partial x=0$，垂直方向では $\partial f/\partial y=0$ を使う。この2段階で全平面上の値が1点の値に一致する。

採点上の注意

「偏導関数が0だから定数」と一行で済ませると，どの定理をどの変数に適用したかが 曖昧になる。少なくとも固定した一変数関数を明示し，平均値の定理を使うことを書くと 答案として安定する。

典型ミス

偏微分可能性だけから一般の曲線に沿った微分を自由に使うのは危険である。本問では 水平線・垂直線だけを使えばよく，各線上では一変数関数として通常の微分可能性がある。

方針

冪 $A^7$ は直接掛け算を続けるより，特性多項式から周期性を見つけるのが速い。 本問では $A^2+A+I=O$ から $A^3=I$ が出るため，指数を3で割った余りだけを 見ればよい。

ノルム最大化の標準形

$$\frac{|Av|^2}{|v|^2} = \frac{v^{\mathsf T}A^{\mathsf T}Av}{v^{\mathsf T}v}$$ は Rayleigh 商である。$A^{\mathsf T}A$ は実対称行列なので直交対角化でき，商の 最大値は最大固有値になる。これは特異値の二乗を求めている，と言い換えてもよい。

検算

$\det(A^{\mathsf T}A)=\det(A)^2=1$ である。求めた固有値の積は $$\frac{15+\sqrt{221}}{2}\cdot\frac{15-\sqrt{221}}{2}=1$$ となり，この検算と一致する。

典型ミス

$A$ 自身の固有値を使って最大値を求めてはいけない。$A$ は正規行列ではないので， $|Av|$ の最大伸長は $A$ の固有値の絶対値だけでは決まらない。

方針

前半の等式は，後半の重積分を1回積分するための道具である。内側の積分を $\int_0^{x/\sigma}e^{-\eta^2}\,d\eta$ に直すと，前半の公式を $a=1/\sigma$ としてそのまま使える。

直感的な見方

$$I'(z)=\int_0^z\frac1\sigma e^{-y^2/\sigma^2}\,dy$$ であり，これは $z\to\infty$ で $$\int_0^\infty e^{-\eta^2}\,d\eta$$ へ近づく。つまり $I(z)$ は大きな $z$ で傾き $\sqrt{\pi}/2$ の一次関数のように 増える。そのため $I(z)/z$ の極限も同じ値になる。

別解

ロピタルの定理を使うとさらに短い。$I(z)\to\infty$ かつ $z\to\infty$ で， $$\lim_{z\to\infty}\frac{I(z)}{z} = \lim_{z\to\infty}I'(z) = \int_0^\infty e^{-\eta^2}\,d\eta = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ ただし本問では前半で原始関数を示させているため，答案ではそれを利用する方が出題意図に 沿いやすい。

典型ミス

$y=\sigma\eta$ の置換で $dy=\sigma d\eta$ となり，前の係数 $1/\sigma$ は消える。 ここで係数を残すと最終答案に不要な $\sigma$ が残ってしまう。極限値が $\sigma$ に依存しないことも重要な検算である。

方針

実ベクトル空間であることが重要である。$x^3-1$ の実根は1だけなので， $f^3=\operatorname{id}$ かつ実対角化可能なら，対角成分はすべて1に限られる。 複素数まで許すと3乗根が3つ現れるため，結論が変わる。

最小多項式で見る

一般論として，線形写像が対角化可能であることは，最小多項式が重根を持たない一次式の積に 分解することと対応する。$f^2=\operatorname{id}$ の場合は $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$ が相異なる実一次因子に分かれるため，必ず対角化可能である。答案ではこの一般論を使ってもよいが， 上のように $v_+$ と $v_-$ を作ると自己完結した証明になる。

採点上の注意

(1) では「固有値が1だけ」と書くだけでは不十分な場合がある。対角化可能という仮定により， 行列が固有値を対角成分にもつ対角行列になること，そして全対角成分が1なら単位行列になることまで 明示するとよい。

典型ミス

$f^3=\operatorname{id}$ から常に $f=\operatorname{id}$ とはいえない。 平面の $120^\circ$ 回転は3乗が恒等写像だが，実ベクトル空間上では対角化できない。 この例を思い出すと，(1) の「対角化可能なら」という条件の役割がはっきりする。