阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2025年度 院試 解答例・解説

階数だけでなく整合条件を書く

この問題は，単に掃き出しをするだけでなく，最後の行が消える理由を右辺にも反映させる ところが採点上の要点である。係数行列に一次従属関係があるとき，右辺にも同じ一次従属 関係がなければならない。

$$\text{左零空間のベクトル }w \quad\Rightarrow\quad w^{\mathsf T}A=0 \quad\Rightarrow\quad w^{\mathsf T}b=0$$ という流れで書くと，計算の意味が明確になる。拡大行列を直接掃き出してもよいが，その 場合も最終行が $$0= a-\frac{64}{3}$$ を要求している，という形まで読む必要がある。

幾何的な見方

2つの放物線は $$x=4-y^2,\qquad x=y^2-4$$ であり，交点をもつ。したがって距離の2乗の最小値が0になる可能性を最初に確認すると， 計算結果の検算になる。

ただし「交点があるから最小値0」で終えると，極値全体の議論としては不足する。偏微分で 停留点を全て列挙し，$F=15$ の停留点が極値ではないことまで述べると答案として安定する。

エネルギー法で符号を見る

境界値問題では，方程式を直接解くより，$y$ を掛けて積分する方法が強い。境界条件により 部分積分の端点項が消え，残る式は $$-\int_0^1 (y')^2\,dx+\lambda\int_0^1 y^2\,dx=0$$ である。$\lambda\le 0$ のとき，2つの項はどちらも正になれないので，非自明解が排除される。

一方，$\lambda>0$ では固有値 $$\lambda=m^2\pi^2\quad (m=1,2,\ldots)$$ のときに非自明解 $\sin(m\pi x)$ が現れる。したがって「正なら常に0」と判断するのは， 固有値条件を見落とす典型的な誤りである。

有限区間と無限区間の違い

有限区間では一様収束があれば $$\int |f_n-f|\le \text{区間長}\cdot \|f_n-f\|_\infty$$ で直ちに制御できる。これが (2) の本質である。

一方，点ごとの収束では鋭い山が動く反例があり，無限区間では低い台形が遠くまで広がる 反例がある。後者は $$\|f_n-f\|_\infty\to 0$$ であっても，区間の長さが増えることで面積が残る。無限区間の積分極限を交換するには， 優収束定理のように積分可能な共通上界を用意する，または一様可積分性に相当する条件を 加える必要がある。

固有値計算より冪零分解が速い

行列は一見すると固有値分解を要求しているように見えるが， $$A=\lambda I+C$$ と見ると，$\lambda I$ 以外の部分が冪零であることが分かる。冪零行列 $C$ については二項展開 が有限で止まるため，対角化できるかどうかを心配しなくてよい。

採点上は，$C^3=O$ の確認と $$n^m|\lambda|^{n-m}\to 0\qquad (m=0,1,2)$$ の説明が必要である。特に $\lambda=0$ の場合は $\lambda^{n-2}$ の形をそのまま書くと不自然 になるため，別に $A^n=O\ (n\ge 3)$ と処理しておくと答案がきれいである。