阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2012年度 院試 解答例・解説

1. 第1象限の単位円板なので，極座標 $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$ を用いると，$0\le r\le 1,\ 0\le \theta\le \pi/2$ であり， $$xy\log(x^2+y^2)\,dx\,dy =r^2\cos\theta\sin\theta\cdot 2\log r\cdot r\,dr\,d\theta.$$ したがって $$\begin{aligned} I_1 &=\left(\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right) \left(\int_0^1 2r^3\log r\,dr\right) \\ &=\frac12\cdot 2\left[-\frac{1}{(3+1)^2}\right] =-\frac1{16}. \end{aligned}$$
2. $$a=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$ とおく。積分領域は $$0\le y\le a,\qquad y\le x\le a$$ であるから，順序を入れ替えると $$0\le x\le a,\qquad 0\le y\le x$$ となる。よって $$\begin{aligned} I_2 &=\int_0^a\int_0^x \cos(x^2)\,dy\,dx =\int_0^a x\cos(x^2)\,dx \\ &=\frac12\left[\sin(x^2)\right]_{0}^{a} =\frac12\sin\frac{\pi}{2} =\frac12. \end{aligned}$$

固定した $w$ に対して，$x,y,z$ に関する同次一次方程式と見る。係数行列は $$M(w)= \begin{pmatrix} w-1 & 2 & 1\\ 2 & w+2 & 2\\ 1 & 2 & w-1 \end{pmatrix}$$ である。行列式を計算すると $$\begin{aligned} \det M(w) &=(w-1)^2(w+2)-8(w-1)+8-(w+2)\\ &=w^3-12w+16 =(w-2)^2(w+4). \end{aligned}$$

したがって，$w\ne 2,-4$ では $$x=y=z=0$$ だけが可能である。この場合，$w$ は任意の実数でよい。

$w=2$ のときは $$M(2)= \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 1&2&1 \end{pmatrix}$$ であり，条件は $$x+2y+z=0$$ だけに落ちる。よって $y=s,\ z=t$ とおけば $$(x,y,z,w)=(-2s-t,s,t,2)\qquad (s,t\in\mathbb R).$$

$w=-4$ のときは $$M(-4)= \begin{pmatrix} -5&2&1\\ 2&-2&2\\ 1&2&-5 \end{pmatrix}.$$ 第2行から $y=x+z$，第3行から $x+2y-5z=0$ なので $$x=z,\qquad y=2x.$$ したがって $$(x,y,z,w)=(t,2t,t,-4)\qquad (t\in\mathbb R).$$

1. $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$$ と書くと，項別微分により $$f'''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n+3}}{n!}x^n.$$ 微分方程式 $f'''=f$ と係数比較から $$a_{n+3}=a_n\qquad (n\ge 0)$$ である。よって $\{a_n\}$ は周期 $3$ をもつ。
2. 逆に $a_{n+3}=a_n$ とする。このとき $\{a_n\}$ は有界であるから，ある $M>0$ に対して $$|a_n|\le M\qquad(n\ge 0)$$ とできる。任意の $x\in\mathbb R$ について $$\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{a_n}{n!}x^n\right| \le M\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|x|^n}{n!} =Me^{|x|}$$ であり，冪級数は全実数で収束する。さらに項別に3回微分でき， $$f'''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n+3}}{n!}x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n =f(x).$$
3. ここでは $$a_0=0,\qquad a_1=\frac13,\qquad a_2=\frac23$$ であり，以後はこの3つが繰り返される。したがって $f$ は $$f'''=f,\qquad f(0)=0,\quad f'(0)=\frac13,\quad f''(0)=\frac23$$ を満たす解である。 特性方程式 $r^3=1$ より，実数値解は $$f(x)=Ae^x+e^{-x/2}\left(B\cos\frac{\sqrt3 x}{2} +C\sin\frac{\sqrt3 x}{2}\right)$$ と書ける。初期条件から $$A+B=0,$$ $$\frac32 A+\frac{\sqrt3}{2}C=\frac13,\qquad \frac32 A-\frac{\sqrt3}{2}C=\frac23.$$ よって $$A=\frac13,\qquad B=-\frac13,\qquad C=-\frac{1}{3\sqrt3}.$$ したがって $$f(x)=\frac13 e^x-\frac13 e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt3 x}{2} -\frac{1}{3\sqrt3}e^{-x/2}\sin\frac{\sqrt3 x}{2}.$$

以下，$C=AB-BA$ とおく。

1. 2次行列のCayley--Hamiltonの定理より $$A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=O.$$ $\operatorname{tr}A=0$ なら $$A^2=-(\det A)I.$$ したがって $\lambda=-\det A$ とおけばよい。
2. $A,B$ が共通の固有ベクトルをもつとする。その固有ベクトルを第1基底ベクトルに含む基底を取れば， $$A=\begin{pmatrix}\alpha&a\\0&\beta\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}\gamma&b\\0&\delta\end{pmatrix}$$ と上三角に書ける。すると $$C=AB-BA$$ も上三角であり，対角成分はどちらも $0$ である。よって $$C=\begin{pmatrix}0&c\\0&0\end{pmatrix}$$ の形になり， $$C^2=O.$$
3. まず $\operatorname{tr}(AB-BA)=0$ である。したがって，(1)を $C$ に適用すれば $$C^2=-(\det C)I.$$ あとは，共通固有ベクトルをもたない場合に $\det C\ne0$ であることを，指定された2つの場合に分けて示す。 (a) $A$ が対角化可能な場合。 もし $A$ がスカラー行列なら，$B$ の任意の固有ベクトルが $A$ の固有ベクトルでもあるので， 共通固有ベクトルをもたない仮定に反する。よって異なる固有値 $\alpha\ne\beta$ をもち，ある基底で $$A=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$$ と書ける。このとき $$C= \begin{pmatrix} 0&(\alpha-\beta)q\\ (\beta-\alpha)r&0 \end{pmatrix}.$$ もし $q=0$ なら第2基底ベクトルが，もし $r=0$ なら第1基底ベクトルが，共通固有ベクトルになる。 したがって仮定の下では $q\ne0,\ r\ne0$ である。ゆえに $$C^2=-(\alpha-\beta)^2qr\,I$$ であり，右辺の係数は $0$ でない。 (b) $A$ が対角化可能でない場合。 複素数体上では，ある基底で $$A=\alpha I+ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$ と書ける。スカラー部分は交換子に寄与しないので， $$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$$ として $C=NB-BN$ を計算する。 $$C= \begin{pmatrix} r&s-p\\ 0&-r \end{pmatrix}.$$ $A$ の固有方向は第1基底ベクトルの張る直線だけである。もし $r=0$ なら $B$ もこの直線を保ち， 共通固有ベクトルをもつ。したがって仮定の下では $r\ne0$ である。よって $$C^2=r^2 I$$ であり，この係数は $0$ でない。

求める積分を $$I=\int_0^\infty \frac{(\log x)^2}{x^2+1}\,dx$$ とおく。上半平面で $$F(z)=\frac{\operatorname{Log}^2 z}{z^2+1}$$ を考える。ただし $0<\arg z<\pi$ の分枝を用いる。

半径 $\varepsilon$ と $R$ の上半円環の境界で積分し，$\varepsilon\to0,\ R\to\infty$ とする。 大円弧と小円弧の寄与はそれぞれ $$O\!\left(\frac{(\log R)^2}{R}\right),\qquad O\!\left(\varepsilon(\log \varepsilon)^2\right)$$ なので消える。

正の実軸上では $\operatorname{Log}x=\log x$，負の実軸上では $$\operatorname{Log}(-x)=\log x+i\pi \qquad (x>0)$$ である。したがって実軸部分の和は $$\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{(\log x)^2+(\log x+i\pi)^2}{x^2+1}\,dx &= 2I+2i\pi\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+1}\,dx -\pi^2\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+1}. \end{aligned}$$ ここで $$\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+1}\,dx=0$$ である。これは $x=1/t$ とおくと積分値が自分自身の負になるためである。また $$\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{2}.$$

上半平面内の極は $z=i$ だけであり， $$\operatorname{Res}_{z=i}F(z) =\frac{\operatorname{Log}^2 i}{2i} =\frac{(i\pi/2)^2}{2i}.$$ よって留数定理より $$2\pi i\,\operatorname{Res}_{z=i}F(z) =\pi\left(\frac{i\pi}{2}\right)^2 =-\frac{\pi^3}{4}.$$ 以上から $$2I-\pi^2\cdot\frac{\pi}{2} =-\frac{\pi^3}{4}.$$ したがって $$I=\frac{\pi^3}{8}.$$