阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2011年度 院試 解答例・解説

1. 標準公式 $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\qquad (a>|b|)$$ を用いると，ここでは $a=5,\ b=3$ なので $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{5+3\cos\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{25-9}} =\frac{\pi}{2}.$$ 公式を使わずに確認するなら，$t=\tan(\theta/2)$ とおく。すると $$\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad d\theta=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$$ $[0,2\pi]$ の積分は実軸上の積分に変わり， $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\,dt}{5(1+t^2)+3(1-t^2)} =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{4+t^2} =\frac{\pi}{2}.$$
2. 二次形式を平方完成する。 $$x^2-2xy+5y^2=(x-y)^2+4y^2.$$ そこで $$u=x-y,\qquad v=2y$$ とおくと， $$x=u+\frac{v}{2},\qquad y=\frac{v}{2},\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac12.$$ したがって $$\begin{aligned} I &=\frac12\int_{\mathbb R^2}\frac{du\,dv}{(1+u^2+v^2)^2} \\ &=\frac12\int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr\,d\phi. \end{aligned}$$ ここで $s=1+r^2$ とすれば $$\int_0^\infty\frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr =\frac12\int_1^\infty s^{-2}\,ds =\frac12.$$ よって $$I=\frac12\cdot 2\pi\cdot\frac12=\frac{\pi}{2}.$$

行列 $$A=\begin{pmatrix} 3&2&1&1&0\\ 1&1&0&1&-1 \end{pmatrix}$$ の2行は一次独立である。したがって $$\operatorname{rank}A=2,\qquad \dim V=5-2=3.$$

次に $V\cap W$ は $$Ax=0,\qquad Bx=0$$ を同時に満たすベクトル全体である。拡大ではない係数行列 $$C=\begin{pmatrix} 3&2&1&1&0\\ 1&1&0&1&-1\\ 2&1&1&1&-1\\ 1&2&-1&-2&6 \end{pmatrix}$$ を行基本変形すると $$C\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&1&-1&0&1\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$ よって $x=(x_1,\ldots,x_5)^T$ と書けば $$x_1=-x_3,\qquad x_2=x_3-x_5,\qquad x_4=2x_5.$$ 自由変数を $s=x_3,\ t=x_5$ とすると $$x=s\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}.$$ したがって $$\left\{ \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\2\\1\end{pmatrix} \right\}$$ は $V\cap W$ の基底の1組である。

最後に $B$ の2行も一次独立なので $\dim W=3$ である。次元公式より $$\dim(V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W) =3+3-2=4.$$

1. $z_0=x+iy$ とし，正則性から複素微分 $$f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$ は近づけ方によらず存在する。 まず実方向 $h\in\mathbb R$ から近づけると $$f'(z_0)=u_x(x,y)+i v_x(x,y).$$ 一方，虚方向 $h=ik,\ k\in\mathbb R$ から近づけると $$\begin{aligned} f'(z_0) &=\lim_{k\to0} \frac{u(x,y+k)-u(x,y)+i\{v(x,y+k)-v(x,y)\}}{ik} \\ &=v_y(x,y)-i u_y(x,y). \end{aligned}$$ 両者の実部と虚部を比較して $$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$$ を得る。
2. $$u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$ とおく。偏微分は $$u_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad u_y=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.$$ Cauchy--Riemann の式より $$v_x=-u_y=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\qquad v_y=u_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$ まず $v_x$ を $x$ で積分すると $$v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}+\phi(y)$$ と書ける。これを $y$ で微分すると $$v_y=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\phi'(y).$$ したがって $\phi'(y)=0$ であり，$\phi$ は定数である。

仮定は $$Ax\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge 0$$ である。ここで不等号は成分ごとの不等号を表す。

1. $Ax=0$ とする。このとき $Ax=0\ge0$ だから，仮定より $$x\ge0$$ である。また $A(-x)=0\ge0$ でもあるので，同じ仮定から $$-x\ge0$$ を得る。よって各成分について $x_i\ge0$ かつ $x_i\le0$ であり，$x=0$ である。 したがって $\ker A=\{0\}$ である。有限次元の正方行列なので，$A$ は正則である。
2. $e_j$ を第 $j$ 成分だけが1で他が0の標準基底ベクトルとする。 $$x=A^{-1}e_j$$ とおけば $$Ax=e_j\ge0$$ である。仮定より $x\ge0$ である。 ところが $A^{-1}e_j$ は $A^{-1}$ の第 $j$ 列そのものである。任意の $j$ について この列ベクトルの全成分が非負だから，$A^{-1}$ のすべての成分は非負である。

感染している事象を $D$，陽性反応が出る事象を $+$ とする。感染率は $$P(D)=10^{-6},\qquad P(D^c)=1-10^{-6}$$ であり，試薬の性質から $$P(+\mid D)=1-10^{-r},\qquad P(+\mid D^c)=10^{-r}.$$

1. Bayes の定理より $$\begin{aligned} P(D^c\mid +) &= \frac{P(+\mid D^c)P(D^c)} {P(+\mid D)P(D)+P(+\mid D^c)P(D^c)} \\ &= \frac{(1-10^{-6})10^{-r}} {10^{-6}(1-10^{-r})+(1-10^{-6})10^{-r}}. \end{aligned}$$
2. 陽性反応が出たとき実際に感染している確率は $$P(D\mid +) = \frac{10^{-6}(1-10^{-r})} {10^{-6}(1-10^{-r})+(1-10^{-6})10^{-r}}.$$ これが $0.9$ を超える条件を解く。$p=10^{-6}$, $q=10^{-r}$ と書けば $$\frac{p(1-q)}{p(1-q)+(1-p)q}>0.9.$$ 分母は正なので $$p(1-q)>9(1-p)q.$$ すなわち $$p>q\{p+9(1-p)\}=q(9-8p).$$ よって $$10^{-r}<\frac{10^{-6}}{9-8\cdot10^{-6}}.$$ 右辺は約 $1.11\times10^{-7}$ である。したがって $$10^{-7}<\frac{10^{-6}}{9-8\cdot10^{-6}},\qquad 10^{-6}>\frac{10^{-6}}{9-8\cdot10^{-6}}$$ なので，条件を満たす最小の自然数は $$r=7$$ である。