阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2022年度 院試 解答例・解説

方針

$x>0$ という条件は，積分因子を $x$ と書くために効いている。 一次線形方程式 $$y'+p(x)y=q(x)$$ では，積分因子 $$\mu(x)=\exp\int p(x)\,dx$$ を掛けて $(\mu y)'=\mu q$ に直すのが最も安全である。

検算

得られた解を左辺へ代入する。 $$y'=\frac{3x^{2}}{4}+\frac12-\frac{C}{x^{2}}$$ だから $$x y'+y =x\left(\frac{3x^{2}}{4}+\frac12-\frac{C}{x^{2}}\right) +\left(\frac{x^{3}}{4}+\frac{x}{2}+\frac{C}{x}\right) =x^{3}+x.$$ 任意定数の項は必ず打ち消える。ここまで確認すると，符号ミスを発見しやすい。

典型ミス

$\int 1/x\,dx=\log x$ としてよいのは $x>0$ だからである。 区間条件を無視して $\log|x|$ まで書いても最終形は同じになるが， 試験答案では問題の定義域に合わせて $x$ を積分因子に選ぶと簡潔である。

方針

4変数の積分だが，領域が $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\le a^{2}$$ だけで決まるため，回転対称性を使うのが自然である。2次元なら円板の面積， 3次元なら球の体積，この問題はその4次元版である。

検算

次元だけ見ても答は $a^{4}$ に比例するはずである。 $a=1$ のとき4次元単位球の体積が $\pi^{2}/2$ であることは， $$V_{n}(1)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}$$ に $n=4$ を代入しても一致する。

典型ミス

3次元球の体積公式 $4\pi a^{3}/3$ をそのまま使ってはいけない。 また，4次元極座標のヤコビアンは単に $r^{3}$ ではなく， 角度部分の面積 $2\pi^{2}$ と合わせて $2\pi^{2}r^{3}\,dr$ になる。

方針

第1の主張では，導関数の極限から元の関数の微分可能性を出したい。 この形は平均値の定理が最短である。差商 $$\frac{f(x)-f(0)}{x}$$ を $0$ と $x$ の間の導関数値に置き換えられるため，導関数の極限をそのまま使える。

なぜ第2は失敗するか

$x=0$ で微分可能であることは，差商の極限が存在することだけを意味する。 周辺点での導関数 $f'(x)$ が落ち着くことまでは要求していない。 反例では，関数値そのものは $x^{2}$ で抑えられているので差商は $x\sin(1/x)$ となり収束する。 一方，微分すると高周波振動の項から $-\cos(1/x)$ が現れ，導関数は振動し続ける。

採点上の注意

反例を出すときは， $$\text{連続性},\quad x=0\text{での微分可能性},\quad f'(x)\text{の極限不存在}$$ を別々に確認する必要がある。反例の式だけを書いて終えると，どの仮定を満たしているかが不明確になりやすい。

方針

rank は整数値関数である。したがって連続であるためには，その点の近くで値が一定になる必要がある。 最大rankの点では，非零な最大小行列式が近傍で非零のまま残るので値が固定される。 最大でないrankの点では，ゼロ特異値の方向へ小さい成分を足すだけでrankを上げられる。

検算

$1\times1$ 行列で考えると，rank関数は $$x\mapsto \begin{cases} 0, & x=0,\\ 1, & x\ne0 \end{cases}$$ である。最大rankである非零点では局所的に値が $1$ のままだが， $0$ では任意に近い非零点があるため不連続になる。一般の場合も同じ現象である。

典型ミス

「rank は小さい摂動で下がらない」とだけ書くと不十分である。 低rank点では小さい摂動で rank が上がる可能性があり，これが不連続性の本質である。 最大rankの場合だけ，上がる余地がないため連続になる。

方針

行列指数では，対角化できる場合は固有値で計算し，対角化できない場合は 「スカラー行列 $+$ 冪零行列」に分けるのが基本である。 今回の (1) は典型的な Jordan ブロックで， $$N^{2}=0$$ なので指数級数は $I+N$ で止まる。

(2) の見方

目標行列は固有値 $1$ を重複して持つが，単位行列ではない。 そこで $$B-I$$ を見ると，それが2乗でゼロになる冪零行列であることが分かる。 冪零行列 $N^{2}=0$ に対しては $$e^{N}=I+N$$ であるから，対数を難しく考えずに $A=N$ と取ればよい。

検算

$$A^{2}=0$$ なので $$e^{A}=I+A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1&1\\ -1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&2 \end{pmatrix}.$$ 採点ではこの一行の検算を書いておくと，求めた行列が本当に条件を満たすことが明確になる。

典型ミス

行列指数は成分ごとに指数を取る操作ではない。 例えば (1) の右上成分は $e^{1}$ ではなく，Jordan ブロックの冪零成分から出る $e^{\alpha}$ である。