阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2006年度 院試 解答例・解説

$b_n=a_n/n!$ とおく。与えられた漸化式を $(n+1)!$ で割ると $$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)a_n-1}{(n+1)!} = b_n-\frac{1}{(n+1)!}$$ である。したがって $n\geq 2$ では $$b_n = b_1-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!} = a_1-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}.$$ よって $$\lim_{n\to\infty} b_n = a_1-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!} = a_1-(e-2) = a_1+2-e.$$

次に $a_n=n!b_n$ から収束性を調べる。$L=a_1+2-e$ とおく。 $L\neq 0$ のとき、十分大きい $n$ について $b_n$ は $L$ と同じ符号を持ち、例えば $|b_n|\geq |L|/2$ となる。したがって $$|a_n|=n!|b_n|\geq \frac{|L|}{2}n!\longrightarrow \infty$$ であり、$\{a_n\}$ は有限の値には収束しない。

一方、$L=0$、すなわち $a_1=e-2$ のときは $$b_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}$$ であるから $$a_n = n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+1+j)!}.$$ 各項は正で、さらに $$0<a_n \leq \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)^j} = \frac{n+2}{(n+1)^2} \longrightarrow 0$$ となる。したがってこの場合に限り $a_n\to 0$ である。

対象の関数を $$f(x,y)=(x^2-y^2)e^{-(x^2+y^2)}$$ と書く。偏微分すると $$f_x = 2x\{1-x^2+y^2\}e^{-(x^2+y^2)}, \qquad f_y = -2y\{1+x^2-y^2\}e^{-(x^2+y^2)}.$$ 指数因子は常に正なので、停留点は $$x(1-x^2+y^2)=0, \qquad y(1+x^2-y^2)=0$$ を満たす点である。

$x=0$ とすると $y(1-y^2)=0$ であり、$(0,0),(0,1),(0,-1)$ を得る。 $y=0$ とすると $x(1-x^2)=0$ であり、$(0,0),(1,0),(-1,0)$ を得る。 また $x,y$ がともに $0$ でない場合には $$1-x^2+y^2=0,\qquad 1+x^2-y^2=0$$ を同時に満たす必要があるが、両式を足すと $2=0$ となり不可能である。 したがって停留点は $$(0,0),\quad (\pm 1,0),\quad (0,\pm 1)$$ で尽くされる。

極値判定には極座標表示が見通しやすい。$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ とすると $$f(x,y) = r^2e^{-r^2}\cos 2\theta.$$ ここで $$r^2e^{-r^2}\leq e^{-1}$$ であり、等号は $r=1$ のときに限る。したがって $$f(x,y)\leq e^{-1}$$ で、等号は $r=1,\ \cos2\theta=1$、すなわち $(x,y)=(\pm1,0)$ のときに成立する。 同様に $$f(x,y)\geq -e^{-1}$$ で、等号は $r=1,\ \cos2\theta=-1$、すなわち $(x,y)=(0,\pm1)$ のときに成立する。

原点では $x$ 軸方向で $f(x,0)=x^2e^{-x^2}>0$、$y$ 軸方向で $f(0,y)=-y^2e^{-y^2}<0$ となるので、極大でも極小でもない。

$z=e^{i\theta}$ とおくと、$|z|=1$ を正向きに一周し、 $$d\theta=\frac{dz}{iz}$$ である。

まず $$I_1=\int_0^{2\pi} e^{e^{i\theta}}\,d\theta$$ については $$I_1 = \oint_{|z|=1}\frac{e^z}{iz}\,dz = \frac{1}{i}\,2\pi i\,\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{e^z}{z} = 2\pi.$$ ここで $e^z/z$ の $z=0$ における留数は、$e^z$ の定数項 $1$ である。

次に $$I_2=\int_0^{2\pi} e^{2e^{i\theta}-i\theta}\,d\theta$$ を考える。$e^{-i\theta}=z^{-1}$ なので $$I_2 = \oint_{|z|=1} \frac{e^{2z}}{z}\frac{dz}{iz} = \frac{1}{i}\oint_{|z|=1}\frac{e^{2z}}{z^2}\,dz.$$ したがって必要な留数は $e^{2z}$ の $z^1$ の係数であり、 $$e^{2z}=1+2z+\frac{(2z)^2}{2!}+\cdots$$ から $$\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{e^{2z}}{z^2}=2.$$ よって $$I_2 = \frac{1}{i}\,2\pi i\cdot 2 = 4\pi.$$

行列 $$A= \begin{pmatrix} 0&2&7\\ 2&0&2\\ 7&2&0 \end{pmatrix}$$ は実対称行列である。第 $1$ 成分と第 $3$ 成分を入れ替えても形が変わらないので、 $$x_1=x_3 \quad\text{の部分空間と}\quad x_1=-x_3,\ x_2=0$$ に分けると計算が軽くなる。

まず $$A \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\0\\7\end{pmatrix} = -7 \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$$ であるから、$-7$ は固有値である。

次に $x=(u,v,u)^t$ とおくと $$Ax=(7u+2v,\,4u,\,7u+2v)^t.$$ したがって $(u,v)$ に関する固有方程式は $$\begin{pmatrix} 7&2\\ 4&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$$ であり、 $$\det \begin{pmatrix} 7-\lambda&2\\ 4&-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2-7\lambda-8 = (\lambda-8)(\lambda+1).$$ よって残りの固有値は $8,-1$ である。

実対称行列は直交対角化できる。したがって二次形式 $$x^t(aE-A)x$$ がすべての $x$ に対して $0$ 以上であることは、$aE-A$ の固有値 $$a-8,\qquad a+1,\qquad a+7$$ がすべて $0$ 以上であることと同値である。最も強い条件は $$a\geq 8$$ である。

最後に等号成立の $x$ を求める。$a>8$ なら $aE-A$ は正定値なので、 $$x^t(aE-A)x=0$$ を満たすのは $x=0$ のみである。

$a=8$ のときは、$8E-A$ の核は $A$ の固有値 $8$ に属する固有空間である。 上の計算から、$\lambda=8$ では $$8u=7u+2v,\qquad 8v=4u$$ なので $u=2v$ と取れる。したがって固有空間は $$\operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \right\}$$ である。

対角成分が $1+x$、隣り合う上下の成分が $1$ である $n$ 次三重対角行列の行列式を $f_n(x)$ とする。 便宜上 $f_0(x)=1$ とおくと、 $$f_1(x)=1+x, \qquad f_2(x)=(1+x)^2-1$$ である。

$n\geq 3$ について、最後の行または最後の列に沿って余因子展開すると $$f_n(x) = (1+x)f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)$$ を得る。第二項の符号が負になるのは、最後の隣接成分を一つ使うと残る小行列式が $f_{n-2}$ になり、三重対角行列の標準的な二項漸化式になるためである。

次に $g_n=f_n(1)$ とおく。上の漸化式から $$g_n=2g_{n-1}-g_{n-2}, \qquad g_0=1,\quad g_1=2$$ である。差を取ると $$g_n-g_{n-1}=g_{n-1}-g_{n-2}$$ なので、差は常に $1$ である。したがって $$f_n(1)=g_n=n+1.$$

最後に $x>1$ の場合を調べる。$x+1>2$ なので、ある $t>0$ を用いて $$x+1=2\cosh t$$ と書ける。このとき漸化式と初期値から $$f_n(x)=\frac{\sinh((n+1)t)}{\sinh t}$$ であることが分かる。実際、右辺を $F_n$ とおくと $$F_n=2\cosh t\,F_{n-1}-F_{n-2}$$ を満たし、$F_0=1,\ F_1=2\cosh t=x+1$ である。

ここで $$H(t)=\sinh((n+1)t)-(n+1)\sinh t$$ とおくと、$H(0)=0$ であり、 $$H'(t)=(n+1)\{\cosh((n+1)t)-\cosh t\}>0 \qquad (t>0,\ n\geq 1)$$ である。よって $t>0$ では $H(t)>0$、すなわち $$\sinh((n+1)t)>(n+1)\sinh t.$$ したがって $$f_n(x)=\frac{\sinh((n+1)t)}{\sinh t}>n+1$$ である。