阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2017年度 院試 解答例・解説

方針

前半は特異点を含むように見えるが，$x$ 方向に先に積分すると一変数の対数積分に落ちる。 後半は円柱を $$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2\le \left(\frac{a}{2}\right)^2$$ と見直すと，$z$ 軸まわりの極座標で扱いやすい領域だと分かる。

円柱の $xy$ 平面への射影

体積積分の読み方

球の内部では $z$ 方向の長さが $2\sqrt{a^2-r^2}$ である。これに極座標の面積要素 $r\,dr\,d\theta$ を掛ける。円柱は $z$ に依存しないので，まず射影領域を決め， その上に球の高さを載せるのが自然である。

検算

体積は $a^3$ に比例するはずである。得られた式 $$\frac{2a^3}{9}(3\pi-4)$$ は次元が正しく，係数も正である。また円柱は球に内接するような太さなので， 球全体の体積 $4\pi a^3/3$ より十分小さい。

典型ミス

$\theta$ の範囲を $0\le\theta\le2\pi$ のままにして，$\cos\theta<0$ の領域でも $0\le r\le a\cos\theta$ と書くと符号が破綻する。先に $\cos\theta\ge0$ を明示する。

方針

二次形式を行列で表すと，問題は「実対称行列のレイリー商の最大値は固有値になる」 という標準事実そのものである。答案では定理名だけで済ませず，最大点での未定乗数条件を 書くと減点されにくい。

なぜ $\lambda=M$ になるか

未定乗数法で出る $\lambda$ は単なる補助変数ではない。固有方程式 $Au=\lambda u$ に 左から $u^T$ を掛け，$\|u\|=1$ を使うと $$\lambda=u^TAu=Q(u)$$ となる。最大点であればこの値が最大値 $M$ である。

検算

対角行列の場合，二次形式は $$ax^2+by^2+cz^2$$ であり，単位球面上の最大値は $\max\{a,b,c\}$ である。これは対角行列の固有値の最大値 と一致するので，今回の結論と整合する。

典型ミス

最大値が存在することを言わずに未定乗数法を始めると，極値点の存在が抜ける。 また，二次形式の交差項 $2fyz,2gzx,2hxy$ に対応する行列成分は $f,g,h$ であり，$2f,2g,2h$ ではない。

方針

これはフィボナッチ型の線形漸化式である。特性方程式の2根が異なるため， 一般項は2つの指数列の線形結合で書ける。初期条件が $0,1$ なので係数がきれいに決まる。

生成関数での検算

生成関数を $F(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ とすると，漸化式から $$F(z)=\frac{z}{1-z-z^2}$$ となる。分母の零点は $$z=\frac{-1+\sqrt5}{2},\quad z=\frac{-1-\sqrt5}{2}$$ であり，原点に近い方の絶対値が $(\sqrt5-1)/2$ である。これは上の収束半径と一致する。

典型ミス

$\beta=(1-\sqrt5)/2$ は負であるが，収束半径を決めるのは絶対値である。 ただし $|\beta|<1<\alpha$ なので，成長率では $\alpha$ だけが支配的になる。

方針

行列空間 $M$ とその双対空間は，トレースのペアリングで同一視できる。 前半はこの同一視を標準基底で書き下したもの，後半は「すべての交換子を消す線形汎関数は トレースの定数倍」という事実である。

添字の向き

$A$ の成分は $a_{ij}=f(E_{ji})$ と転置向きに入る。これは $$\operatorname{Tr}(AX)=\sum_{i,j}a_{ji}x_{ij}$$ となるためである。ここを $a_{ij}=f(E_{ij})$ と置くと，転置がずれてしまう。

非退化性の使い方

$\operatorname{Tr}(BX)=0$ がすべての $X$ に対して成り立つなら，$B=0$ である。 これは抽象論を使わなくても，$X=E_{ji}$ を代入して各成分 $b_{ij}$ を取り出せば分かる。

典型ミス

巡回性は $\operatorname{Tr}(UVW)=\operatorname{Tr}(WUV)$ のように全体を回す性質であり， 途中の2因子だけを自由に交換できるわけではない。条件 $f(XY)=f(YX)$ から可換性を出すには， トレースの非退化性まで書く必要がある。

方針

$(\log x)^2$ は，$x^{s-1}$ をパラメータで2回微分すると出てくる。 分母が $(1+x)^3$ なのでベータ関数 $$\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{(1+x)^m}\,dx=B(s,m-s)$$ を使うのが最短である。

微分の正当化

$s$ を $1$ の近くに限れば，$x^{s-1}(\log x)^2/(1+x)^3$ は $0$ 近傍でも無限遠でも可積分な関数で支配できる。したがって積分記号下の微分が正当化される。 答案では時間がなければ「近傍で一様収束するため」と短く書けばよい。

検算

置換 $x=1/t$ を行うと，積分は $$\int_0^\infty \frac{x(\log x)^2}{(1+x)^3}\,dx$$ とも等しい。したがって重みは $x=1$ の周辺を中心に対称的に見え，値が正で有限になることが 確認できる。得られた $\pi^2/6$ は正で，広義積分として自然な大きさである。

典型ミス

$F''(1)$ を計算するとき，$(\log F)''$ と $F''$ を混同しやすい。 必ず $$F''=F\{(\log F)''+((\log F)')^2\}$$ を使う。ここで $(L'(1))^2=1$ が入り，$-1$ と打ち消し合う。