阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

実軸上の特異点は $x=1$ だけである。普通の広義積分として左右を別々に見ると $\log|x-1|$ が発散するが，主値では左右の同じ大きさの発散をまとめて引く。 そのため，部分分数分解で出る $$\frac{1}{3}\log|x-1|$$ の項は最終的に寄与しない。

検算

被積分関数は無限遠で $1/x^3$ 程度なので，無限遠側の収束は問題ない。 値が負になるのは，特異点近傍の発散を主値で相殺した後，残る寄与が 二次因子側の偏角変化に対応するためである。符号は $$-\frac{1}{\sqrt3}\Delta\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}$$ から確認できる。

典型ミス

左右の広義積分を別々に収束させようとすると発散してしまう。 この問題では必ず主値の定義に戻り， $$\int_{-\infty}^{1-\varepsilon}+\int_{1+\varepsilon}^{\infty}$$ を同じ $\varepsilon$ で扱うことが採点上の要点である。

方針

$xy$ を含む二次形式は，和と差 $$u=x+y,\qquad v=x-y$$ で対角化できる。制約も目的関数も同時に簡単になるため，ラグランジュ未定乗数法より 場合分けの見通しがよい。

境目の扱い

$a=1$ では曲線が二本の直線になり，閉じた曲線ではなくなる。 このため最大値は残るが，負方向にはいくらでも小さくできる。正の $a$ を一括して 楕円と見なすと，この境目を落としやすい。

採点上の注意

最大値・最小値の「候補値」だけでなく，その値が実際に達成されるかを確認する必要がある。 特に $a\ge 1$ では下に有界でないことを一行で示すと，最小値が存在しない理由が明確になる。

中心となる考え方

冪級数では，ある点で絶対収束すればその内側では絶対収束する。 また，ある点で単に収束していれば，その内側では係数列を等比級数で押さえられる。 これは収束半径の基本性質そのものである。

境界では何が起こるか

$|z|=|z_0|$ の境界上では，位相因子が変わるだけで収束性が変わることがある。 反例では，$z_0=1$ で交代級数として収束していたものが，$z=-1$ に移すと 符号の交代が消え，調和級数になる。

採点上の注意

(2) では「級数が収束するから項が有界」という一段を明記するとよい。 ここを書けば $$|a_nz^n|\le M\left|\frac{z}{z_0}\right|^n$$ が自然に出て，絶対収束まで一気に進められる。

方針

行列 $S$ が対称であることに気づけば，直交対角化がそのまま使える。 Frobeniusノルムは成分二乗和であり，トレース表示 $$\|A\|^2=\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}A)$$ に直すと，直交行列を左右から掛けても値が変わらないことが一行で示せる。

階数2の行列の作り方

対角化後に $$\operatorname{diag}(2,1,-2)$$ を見れば，固有値 $1$ の成分を $0$ に変えるだけで距離がちょうど $1$ になる。 元の座標に戻すと $X=S-q_2q_2^{\mathsf T}$ である。 これは最良近似を証明する問題ではなく，一つの例を作ればよい点に注意する。

採点上の注意

(2) で $U$ と $V$ が左右別々に掛かっているため，固有値ではなくトレースの巡回性を使うのが安全である。 また (3) では，行列を提示した後に階数と距離の両方を確認する必要がある。

方針

分子 $x^2-y^2$ は極座標で $r^2\cos2\theta$ になる。 最大値は角度方向を $\cos2\theta=1$ に合わせればよく，あとは一変数関数 $$\frac{r^2}{1+r^{2m}}$$ の問題になる。可積分性では面積要素の $r$ が加わるため，無限遠で見るべき冪は $r^{3-2m}$ である。

典型ミス

(1) では $m=1$ を「上に有界だから最大値あり」としてしまう誤りが多い。 上限 $1$ は無限遠で近づくだけで，有限の点では達成されない。

(2) では $|x^2-y^2|\le r^2$ だけで十分条件を出すことはできるが，必要条件まで示すには 角度方向の絶対値積分が正の有限値であることを使う。したがって結論は単なる十分条件ではなく 必要十分条件になる。