阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2020年度 院試 解答例・解説

方針

分母が $x^4+a^4$ で，分子が $x^2$ であるため，まず $x=at$ で パラメータ $a$ を外に出す。残る積分は $$\int_0^\infty \frac{t^{p-1}}{1+t^q}\,dt$$ 型の標準積分で処理できる。

標準積分の導出

標準積分は $u=x^q$ とおけば $$\int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{1+x^q}\,dx = \frac1q\int_0^\infty \frac{u^{p/q-1}}{1+u}\,du = \frac{\pi}{q}\csc\frac{p\pi}{q}$$ となる。最後はベータ関数の反射公式 $\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\pi/\sin(\pi s)$ である。

検算

次元で見ると，分子 $x^2$，分母 $x^4+a^4$，積分 $dx$ から全体は $1/a$ に比例するはずである。答が $a^{-1}$ の形になっていることは， 計算ミスを見つけるよい確認になる。

典型ミス

$\int_0^\infty$ と $\int_{-\infty}^{\infty}$ の係数2を落としやすい。 また $x=at$ のとき $dx=a\,dt$ まで含めると係数は $1/a$ になる。

方針

$x+y$ と $x^2+y^2$ だけで決まる関数なので， 対角方向 $x=y$ が本質的である。実際，停留条件を引き算すると $$2s(y-x)=0$$ となる。停留条件そのものから $s=0$ はあり得ないため， $x=y$ に絞られる。

大域的極値である理由

停留点だけを求めても，それが極大か極小かはまだ結論できない。 ここでは $e^{-x^2-y^2}$ が急速に小さくなるため， $$|f(x,y)|\le \sqrt2\,\sqrt{x^2+y^2}\,e^{-(x^2+y^2)}$$ となり無限遠で $0$ に近づく。したがって大きな円板の外では絶対値が小さく， 内部のコンパクト集合上の最大・最小は停留点で実現される。

典型ミス

偏微分の指数因子を落として $1-2x(x+y)$ と $1-2y(x+y)$ の連立まで進めばよいが， そこから $x+y=0$ を停留点候補として残してしまうミスがある。 停留条件は両方とも右辺が $1$ なので，$x+y=0$ は不可能である。

方針

前半は「正則行列の集合が開集合である」ことの証明である。 Frobeniusノルムを使っているが，有限次元ではどのノルムでも同じ議論でよい。 後半は固有値の絶対値を見る問題で，絶対値が $1$ 未満の固有成分は冪で消える。

射影を使う利点

対角化行列 $S$ を最後まで書いて $A^n=S\operatorname{diag}(1,1,(1/2)^n)S^{-1}$ としてもよい。 ただし，固有値が $1$ と $1/2$ だけなので， $$P=2A-I$$ と書く方が計算が短い。この $P$ は $E_1$ 上では恒等写像， $E_{1/2}$ 上では零写像として働く。

採点上の注意

$\chi_A(\lambda)$ だけを求めて終えると不十分である。 固有値 $1$ が重複しているため，対角化可能性またはJordanブロックがないことを確認する必要がある。 ここでは $\dim E_1=2$ と $\dim E_{1/2}=1$ を示しているので十分である。

方針

不等式に $\sqrt y$ と $\sqrt[3]z$ が現れるので， これらをそのまま新しい変数にするのが最短である。 領域が直交座標では曲面で囲まれていても， $(u,v,w)$ では単体になる。

公式を使わない確認

公式を使わずに積分すると $$\int_0^A\int_0^{A-w}\int_0^{A-v-w}6vw^2\,du\,dv\,dw$$ である。内側の $u$ 積分は長さ $A-v-w$ を掛けるだけなので， 同じ $A^6/60$ が得られる。試験ではこの形で書いても十分である。

典型ミス

ヤコビアンの $2v$ と $3w^2$ を落とすと，次数が合わない。 元の領域では $x$ の次数が $a^2$，$y$ が $a^4$，$z$ が $a^6$ の大きさなので， 体積が $a^{12}$ に比例することを検算に使える。

方針

多項式空間上の微分作用素では，標準基底 $1,x,\ldots,x^n$ に対する 最高次係数を見るのが基本である。今回の作用素は $x^2 f''$ と $2x f'$ によって 次数を保つ項が生じ，それ以外は低次へ落ちる。

三角行列になる理由

$$T(x^k)=k(k+1)x^k+k(2-k)x^{k-1}+k(k-1)x^{k-2}$$ と展開できる。したがって $T(x^k)$ は $x^k$ 以下の次数しか含まない。 基底を $1,x,\ldots,x^n$ の順に並べれば，行列は三角行列になる。 三角行列の固有値は対角成分である。

採点上の注意

$T$ が $V$ に値を返すことを明記する必要がある。 線形性だけを書いても，$V$ 上の線形変換であることの確認としては不足する。 また固有値を求めるときは，行列全体を作る必要はなく，三角化されることと対角成分を示せば十分である。