阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2018年度 院試 解答例・解説

方針

根号 $\sqrt{4-x^2}$ は $x=2\sin t$ が最短である。周期積分は， $2+\sin\theta$ が常に正なので特異点を気にせず一周期の標準公式に落とせる。

周期積分の注意

$t=\tan(\phi/2)$ は一周期を実線全体へ写す置換である。途中で区間を $(-\pi,\pi)$ のように取り直しても，周期関数なので値は変わらない。 分母を $$(a+b)+(a-b)t^2$$ まで整理すれば，あとは $\int_{-\infty}^{\infty}(t^2+c^2)^{-1}dt=\pi/c$ を使うだけでよい。

検算

第2の値は，分母が $1$ から $3$ の間にあることから $$\frac{2\pi}{3}\le \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\sin\theta} \le 2\pi$$ を満たすはずである。得られた $2\pi/\sqrt3$ はこの範囲に入り，符号も正しい。

典型ミス

$2+\sin\theta$ を $2+\cos\theta$ に直すとき，置換後の積分区間にこだわりすぎて 余計な符号を入れるミスがある。一周期積分では平行移動しても値が変わらないことを 先に書くと安全である。

方針

前半は内積 $$x^TA^TAx=\|Ax\|^2$$ を見るのが最も確実である。$A^TAx=0$ からすぐ $Ax=0$ と書くのではなく， いったんこの二次形式を経由すると，論理の穴がなくなる。

階数1の意味

$\operatorname{rank}A=1$ は列空間が1次元であることを意味する。したがって 全ての列が1本の非零列ベクトルの実数倍になる。この「列ごとの係数」を横に並べたものが $b^T$ であり，行列全体が外積 $ab^T$ になる。

検算

逆向きに見ると，$a\ne0,\ b\ne0$ なら $ab^T$ の列はすべて $a$ の倍数なので 階数は高くても1である。さらに少なくとも1列は非零なので階数は1である。 この確認により，表現が階数1行列をちょうど捉えていることが分かる。

典型ミス

$A^TAx=0$ から左に $A^{-T}$ を掛けるような議論は，$A$ が正則とは限らないため使えない。 また，階数1の表現では $a,b$ の取り方は一意ではない。$ca$ と $b/c$ は同じ行列を与える。

方針

まず極値の存在をコンパクト性で押さえる。その後，ラグランジュ未定乗数法でも解けるが， この制約では $y^2$ を消去して $(xy)^2$ の1変数最大化にする方が計算が短い。

制約曲線上で積の絶対値が最大になる点

符号の扱い

$(xy)^2$ を最大化すると絶対値だけが分かる。最大値と最小値を分けるには， $x$ と $y$ が同符号なら正，異符号なら負であることを最後に戻す必要がある。

検算

得られた点では $$3x^4+\frac18y^2 = 3\cdot\frac19+\frac18\cdot\frac{16}{3} = \frac13+\frac23=1$$ であり，制約を満たす。また $xy=\pm4/3$ である。

典型ミス

$x$ で直接微分すると $x=0$ 近くの符号処理が面倒になる。$s=x^2$ とおけば 定義域が閉区間になり，端点確認も自然に行える。

方針

この式は力学でいうエネルギー保存則の形をしている。方程式に $u'$ を掛けて積分する， または直接 $E'(x)$ を計算する，という二通りの書き方がある。答案では直接微分が最も短い。

有界性から符号を排除する

$E(0)>0$ と仮定すると，保存量の式から $u'$ の絶対値が正の定数以上になる。 つまり解は全実数上で止まれない。微分係数が正に固定されれば右へ進むほど増大し， 負に固定されれば左へ戻るほど増大する。どちらも上有界性に反する。

検算

$E(0)=0$ は結論と矛盾しない。例えば定数解 $u\equiv1$ や $u\equiv-1$ では $$E=0$$ である。定数解 $u\equiv0$ では $E=-1$ であり，やはり $E(0)\le0$ を満たす。

典型ミス

上に有界という仮定だけで $u$ が有界とは限らない。しかし $E(0)>0$ の場合は $|u'|$ が正の下限を持つため，片側の無限遠で必ず上へ発散する。この片側の議論を書けば， 下に有界かどうかを仮定する必要はない。

方針

$V_1\cap V_2=\{0\}$ と次元条件から，まず $V=V_1\oplus V_2$ と見抜く。 この直和分解に対して，$W$ のうち $V_1$ に完全に入る部分，$V_2$ に完全に入る部分， どちらにも完全には入らないグラフ部分に分けるのが本質である。

斜め成分を含む標準形

構成の意味

$A=W\cap V_1$ と $B=W\cap V_2$ は個別に固定される部分である。 残りの $C$ は，$V_1$ 成分を決めると $V_2$ 成分も一意に決まるグラフ部分になる。 同じ $(n_1,n_2)$ を持つ $W,W'$ では，この三つの部品の次元が一致するため， 基底を対応させるだけで求める同型写像を作れる。

採点上の注意

(1) は必要条件 $n_1+n_2\le n$ を示すだけでは不十分である。 その条件を満たす全ての組が実際に実現できることを，具体的な $W$ を作って示す必要がある。

典型ミス

$W$ が必ず $V_1\oplus V_2$ の部分直和として $(W\cap V_1)\oplus(W\cap V_2)$ だけで書けると思ってしまう誤りがある。 一般には斜めの成分 $p_i+q_i$ が存在し，この成分の数が $n-n_1-n_2$ である。