阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2007年度 院試 解答例・解説

$h>0,\ k>0$ とする。分子を $f(a)$ をはさんで分けると $$\frac{f(a+h)-f(a-k)}{h+k} = \frac{h}{h+k}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \frac{k}{h+k}\frac{f(a)-f(a-k)}{k}.$$ ここで $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\longrightarrow f'(a)$$ であり、また $k>0$ として $a-k$ から近づけると $$\frac{f(a)-f(a-k)}{k} = \frac{f(a-k)-f(a)}{-k} \longrightarrow f'(a)$$ である。

したがって、任意の $\varepsilon>0$ に対し、十分小さい $h,k>0$ では $$\left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right|<\varepsilon, \qquad \left|\frac{f(a)-f(a-k)}{k}-f'(a)\right|<\varepsilon$$ が成り立つ。このとき上の表示から $$\begin{aligned} &\left| \frac{f(a+h)-f(a-k)}{h+k}-f'(a) \right| \\ &\le \frac{h}{h+k} \left|\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right| + \frac{k}{h+k} \left|\frac{f(a)-f(a-k)}{k}-f'(a)\right| \\ &<\varepsilon \end{aligned}$$ となる。よって求める極限は $f'(a)$ である。

この証明では二階微分可能性を使っていない。$x=a$ における一階微分可能性だけで、右からの差商と左からの差商がともに同じ値 $f'(a)$ に収束するため、同じ結論が従う。

変数変換 $$x=au,\qquad y=bv,\qquad z=cw$$ を用いる。このとき $$\left(\frac{x}{a}\right)^2+ \left(\frac{y}{b}\right)^2+ \left(\frac{z}{c}\right)^2 = u^2+v^2+w^2$$ なので、与えられた楕円体は単位球 $$u^2+v^2+w^2\le 1$$ から、$u,v,w$ 方向にそれぞれ $a,b,c$ 倍したものである。

ヤコビアンは $$\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| = abc$$ である。したがって体積 $V$ は $$V = abc\iiint_{u^2+v^2+w^2\le 1}du\,dv\,dw.$$ 単位球の体積は、$w$ を固定して断面円の面積を積分すれば $$\int_{-1}^{1}\pi(1-w^2)\,dw = \pi\left[w-\frac{w^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{4\pi}{3}.$$ ゆえに $$V=\frac{4\pi}{3}abc.$$

$$f(z)=\frac{1}{1+z^4}$$ を考え、上半平面の半円周 $$C_R=\{z:|z|=R,\ \operatorname{Im}z\ge 0\}$$ と実軸上の区間 $[-R,R]$ からなる閉曲線で積分する。

$1+z^4=0$ の上半平面内の根は $$z_1=e^{\pi i/4},\qquad z_2=e^{3\pi i/4}$$ である。どちらも単純極だから $$\operatorname*{Res}_{z=z_j}\frac{1}{1+z^4} = \frac{1}{4z_j^3} \qquad (j=1,2)$$ である。したがって $$\begin{aligned} \operatorname*{Res}_{z=z_1}f+ \operatorname*{Res}_{z=z_2}f &= \frac14 \left(e^{-3\pi i/4}+e^{-9\pi i/4}\right) \\ &= \frac14 \left(e^{-3\pi i/4}+e^{-\pi i/4}\right) = -\frac{i}{2\sqrt2}. \end{aligned}$$ 留数定理より $$\int_{-R}^{R}\frac{dx}{1+x^4} + \int_{C_R}\frac{dz}{1+z^4} = 2\pi i\left(-\frac{i}{2\sqrt2}\right) = \frac{\pi}{\sqrt2}.$$

$R$ を十分大きく取れば、$C_R$ 上で $$|1+z^4|\ge R^4-1$$ なので $$\left|\int_{C_R}\frac{dz}{1+z^4}\right| \le \frac{\pi R}{R^4-1} \longrightarrow 0 \qquad (R\to\infty).$$ よって $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} = \frac{\pi}{\sqrt2}.$$ 被積分関数は偶関数であるから $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} = \frac12 \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt2}.$$

$$x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}$$ とおく。与えられた行列は $$I_4+xx^{\mathsf T}$$ である。実際、対角成分は $1+x_i^2$、非対角成分は $x_i x_j$ になる。

ここで rank-one 更新の行列式公式 $$\det(I_n+uv^{\mathsf T})=1+v^{\mathsf T}u$$ を用いると、 $$\det(I_4+xx^{\mathsf T}) = 1+x^{\mathsf T}x = 1+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2.$$ したがって求める等式が示された。

固有値を重複度込みで $$\alpha,\ \alpha,\ \beta$$ と書く。行列 $A$ は実行列なので、特性多項式の係数は実数である。 もし重根 $\alpha$ が非実数なら、共役複素数 $\overline{\alpha}$ も同じ重複度で根になってしまい、三次多項式では次数が足りない。 したがって重根 $\alpha$ は実数である。

トレースと行列式の条件から $$2\alpha+\beta=0,\qquad \alpha^2\beta=2$$ である。前式より $\beta=-2\alpha$ だから $$\alpha^2(-2\alpha)=2, \qquad \alpha^3=-1.$$ よって $$\alpha=-1,\qquad \beta=2.$$ したがって固有値は $$-1,\ -1,\ 2$$ である。

次に $A^{-1}$ を $A$ の多項式で表す。 特性多項式は $$(\lambda+1)^2(\lambda-2) = \lambda^3-3\lambda-2$$ なので、Cayley--Hamilton の定理より $$A^3-3A-2I=0.$$ $\det A=2\ne 0$ だから $A$ は正則であり、右から $A^{-1}$ を掛けると $$A^2-3I-2A^{-1}=0.$$ ゆえに $$A^{-1}=\frac12(A^2-3I).$$

最後に例を挙げる。対角化可能でない例として $$A_1= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ を取ればよい。$-1$ に対応する Jordan ブロックの大きさが $2$ なので、これは対角化可能でない。

対角化可能な例としては $$A_2= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ がある。どちらもトレースは $0$、行列式は $2$、固有値は $-1,-1,2$ であり、条件を満たす。