阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2008年度 院試 解答例・解説

球の内部と円柱の内部の共通部分を考える。 $xy$ 平面で極座標 $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$ を用いると、円柱の条件は $$r^2-ar\cos\theta\le 0$$ である。したがって $$-\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le r\le a\cos\theta$$ が射影領域である。固定した $(r,\theta)$ に対して、球の上下方向の長さは $$2\sqrt{a^2-r^2}$$ だから、体積 $V$ は $$V =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{a\cos\theta} 2\sqrt{a^2-r^2}\,r\,dr\,d\theta .$$ 内側の積分は $$\int_0^{a\cos\theta}2r\sqrt{a^2-r^2}\,dr = \frac{2}{3} \left\{ a^3-\left(a^2-a^2\cos^2\theta\right)^{3/2} \right\}.$$ $-\pi/2\le \theta\le \pi/2$ では $$\left(a^2-a^2\cos^2\theta\right)^{3/2} =a^3|\sin\theta|^3$$ である。よって $$V = \frac{2a^3}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1-|\sin\theta|^3\right)\,d\theta .$$ ここで $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin\theta|^3\,d\theta = 2\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta = \frac{4}{3}$$ なので、 $$V = \frac{2a^3}{3} \left(\pi-\frac{4}{3}\right) = \frac{2a^3}{9}(3\pi-4).$$

与えられた行列を $A$ とし、固有多項式を $$f_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$$ で定める。この行列は多項式 $$p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1} +a_{n-2}\lambda^{n-2}+\cdots+a_1\lambda+a_0$$ の同伴行列である。実際、$\lambda I-A$ の行列式を最後の行の係数について展開するか、 標準的な同伴行列の計算を用いると $$f_A(\lambda)=p(\lambda)$$ となる。

次に、$p(\lambda)=0$ を満たす $\lambda$ に対して $$v(\lambda)= \begin{pmatrix} 1\\ \lambda\\ \lambda^2\\ \vdots\\ \lambda^{n-1} \end{pmatrix}$$ とおく。すると上から $n-1$ 成分はただちに $$A v(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda\\ \lambda^2\\ \vdots\\ \lambda^{n-1}\\ -a_0-a_1\lambda-\cdots-a_{n-1}\lambda^{n-1} \end{pmatrix}$$ となる。最後の成分は $p(\lambda)=0$ より $$-a_0-a_1\lambda-\cdots-a_{n-1}\lambda^{n-1} =\lambda^n$$ である。したがって $$A v(\lambda)=\lambda v(\lambda)$$ であり、$v(\lambda)$ は固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルである。

いま解 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ がすべて相異なるので、 $$P= \begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ \lambda_1&\lambda_2&\cdots&\lambda_n\\ \lambda_1^2&\lambda_2^2&\cdots&\lambda_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda_1^{n-1}&\lambda_2^{n-1}&\cdots&\lambda_n^{n-1} \end{pmatrix}$$ は Vandermonde 行列であり、 $$\det P=\prod_{1\le i<j\le n}(\lambda_j-\lambda_i)\ne 0$$ である。各列が固有ベクトルだから $$AP = P \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$$ となり、 $$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$$ を得る。

$0<r<1$ を任意に取る。円 $|z|=r$ は単位円板の中に含まれるので、Cauchy の積分公式より $$a_n= \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{n+1}}\,dz$$ である。仮定から $|f(z)|<1$ だから $$|a_n| \le \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot \frac{1}{r^{n+1}} = \frac{1}{r^n}.$$ これは任意の $0<r<1$ について成り立つ。そこで $r\to 1-0$ とすれば $$|a_n|\le 1$$ を得る。

$X,Y\in V$、$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ とする。定義から $$\phi_A(\alpha X+\beta Y) = A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A$$ であり、右辺を展開すると $$\alpha(AX-XA)+\beta(AY-YA) = \alpha\phi_A(X)+\beta\phi_A(Y)$$ となる。よって $\phi_A$ は線形写像である。

次に $$A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$$ とする。基底 $T_1,T_2,T_3,T_4$ に対して順に計算すると $$\phi_A(T_1) = \begin{pmatrix} 0&-b\\ c&0 \end{pmatrix} = -bT_2+cT_3,$$ $$\phi_A(T_2) = \begin{pmatrix} -c&a-d\\ 0&c \end{pmatrix} = -cT_1+(a-d)T_2+cT_4,$$ $$\phi_A(T_3) = \begin{pmatrix} b&0\\ d-a&-b \end{pmatrix} = bT_1+(d-a)T_3-bT_4,$$ $$\phi_A(T_4) = \begin{pmatrix} 0&b\\ -c&0 \end{pmatrix} = bT_2-cT_3.$$ したがって、表現行列は各 $\phi_A(T_j)$ の座標を第 $j$ 列に並べればよいので $$[\phi_A]_{\{T_1,T_2,T_3,T_4\}} = \begin{pmatrix} 0&-c& b&0\\ -b&a-d&0&b\\ c&0&d-a&-c\\ 0&c&-b&0 \end{pmatrix}.$$

まず (1) を示す。平均値の定理より、ある $$\xi_1\in(x_1,x_2),\qquad \xi_2\in(x_2,x_3)$$ が存在して $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi_1), \qquad \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f'(\xi_2)$$ となる。仮定 $f''(x)>0$ から $f'$ は開区間 $(a,b)$ で狭義単調増加である。 $\xi_1<\xi_2$ なので $$f'(\xi_1)<f'(\xi_2)$$ であり、求める割線勾配の不等式が従う。

次に (2) を示す。$f$ は閉区間で連続であり、$f(a)>0$、$f(b)<0$ だから、 中間値の定理により少なくとも一つの零点が $(a,b)$ に存在する。

一意性を示すため、相異なる二つの零点 $u<v$ が存在すると仮定する。 このとき $u<v<b$ であり、(1) を $x_1=u,\ x_2=v,\ x_3=b$ に適用すると $$\frac{f(v)-f(u)}{v-u} < \frac{f(b)-f(v)}{b-v}$$ を得る。左辺は $0$、右辺は $f(b)<0$ より負であるから $$0<\frac{f(b)}{b-v}<0$$ という矛盾が生じる。したがって零点は高々一つである。 存在性と合わせて、零点は $(a,b)$ にただ一つ存在する。