阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2010年度 院試 解答例・解説

1. 極座標 $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$ を用いる。指定された領域は $$0\leq \theta\leq \frac{\pi}{3},\qquad 0\leq r\leq 2\sqrt2$$ で表される。被積分関数にヤコビアン $r$ を掛けると $$\frac{x^2}{\sqrt[3]{(x^2+y^2)^4}}\,dx\,dy = \frac{r^2\cos^2\theta}{r^{8/3}}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{1/3}\cos^2\theta\,dr\,d\theta .$$ したがって $$\begin{aligned} I &= \int_0^{\pi/3}\int_0^{2\sqrt2} r^{1/3}\cos^2\theta\,dr\,d\theta \\ &= \left[\frac34 r^{4/3}\right]_0^{2\sqrt2} \left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi/3}. \end{aligned}$$ ここで $(2\sqrt2)^{4/3}=(2^{3/2})^{4/3}=4$ であるから，動径方向の積分は $3$ である。また $$\int_0^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}.$$ よって $$I=3\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\right) =\frac{\pi}{2}+\frac{3\sqrt3}{8}.$$
2. 分母の零点は $$z=\frac12,\qquad z=\frac23$$ であり，どちらも単位円の内部にある。各点での留数は $$\operatorname*{Res}_{z=1/2} \frac{\sin \pi z}{(2z-1)(3z-2)} = \frac{\sin(\pi/2)}{2(3/2-2)} =-1$$ および $$\operatorname*{Res}_{z=2/3} \frac{\sin \pi z}{(2z-1)(3z-2)} = \frac{\sin(2\pi/3)}{3(4/3-1)} = \frac{\sqrt3}{2}.$$ 留数定理より $$\int_{|z|=1} \frac{\sin \pi z}{(2z-1)(3z-2)}\,dz = 2\pi i\left(-1+\frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi i(\sqrt3-2).$$

行列は $4\times 5$ 行列なので，求める次元は $$\dim V(a)=5-\operatorname{rank} A(a)$$ である。まず $4$ 次小行列式を調べる。第 $1,2,3,5$ 列を取った小行列式は $$\det \begin{pmatrix} 1&2&3&1\\ 2&3&3&1\\ 4&3&2&1\\ 1&1&1&a \end{pmatrix} =2-5a.$$ したがって $a\neq 2/5$ なら $\operatorname{rank}A(a)=4$ であり， $$\dim V(a)=5-4=1.$$

次に $a=2/5$ の場合を調べる。このとき上の $4$ 次小行列式だけでなく，他の $4$ 次小行列式も すべて $0$ になるため，$\operatorname{rank}A(2/5)\leq 3$ である。一方，第 $1,2,3$ 行と 第 $1,2,3$ 列からなる小行列式は $$\det \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&3\\ 4&3&2 \end{pmatrix} =-5\neq 0$$ なので，$\operatorname{rank}A(2/5)\geq 3$ である。よって $$\operatorname{rank}A(2/5)=3,\qquad \dim V(2/5)=5-3=2.$$

初項が $0$ でないので，漸化式で現れる割り算はすべて正当化される。まず順に計算すると $$z_1=a,\qquad z_2=b,\qquad z_3=\frac{bc}{a}.$$ さらに $$z_4=c\frac{z_3}{z_2}=\frac{c^2}{a},\qquad z_5=c\frac{z_4}{z_3}=\frac{c^2}{b},\qquad z_6=c\frac{z_5}{z_4}=\frac{ac}{b}.$$ したがって $$z_7=c\frac{z_6}{z_5} =c\frac{ac/b}{c^2/b} =a.$$ 同様に $z_8=b$ となり，ここから先は長さ $6$ の周期列になる。

よって平均値の極限は，1周期分の平均に等しい。 $$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n z_k = \frac16 \left( a+b+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{ac}{b} \right).$$

条件より $f(a)=f(b)$ であるから，Rolle の定理により，ある $c\in(a,b)$ が存在して $$f'(c)=0$$ となる。

また仮定から $$f'(a)=0,\qquad f'(c)=0,\qquad f'(b)=0$$ である。そこで $f'$ に Rolle の定理を区間 $[a,c]$ と $[c,b]$ でそれぞれ適用すると， ある $u\in(a,c)$, $v\in(c,b)$ が存在して $$f''(u)=0,\qquad f''(v)=0$$ となる。

最後に $f''$ に Rolle の定理を区間 $[u,v]$ で適用する。すると，ある $\xi\in(u,v)$ が存在して $$f'''(\xi)=0$$ である。ここで $$a<u<\xi<v<b$$ だから，$\xi\in(a,b)$ である。

添字は必要に応じて $n$ を法として読む。第 $i$ 行の方程式は， 連続する $r$ 個の成分の和が $0$ であることを表している。すなわち $$S_i:=x_i+x_{i+1}+\cdots+x_{i+r-1}=0$$ である。

1. 隣り合う行の差を取る。$1\leq i\leq n-r$ では添字の折り返しが起こらないので， $$0=S_i-S_{i+1} = (x_i+x_{i+1}+\cdots+x_{i+r-1}) -(x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i+r}) = x_i-x_{i+r}.$$ よって $$x_i=x_{i+r}\qquad (i=1,2,\ldots,n-r)$$ が成り立つ。
2. 同じ差分の議論を添字を $n$ を法として行うと， $$x_i=x_{i+r}\qquad (i=1,2,\ldots,n)$$ が得られる。もし $\gcd(r,n)=1$ なら，写像 $i\mapsto i+r$ は $\{1,\ldots,n\}$ 全体を一つの巡回軌道にする。したがって $$x_1=x_2=\cdots=x_n=:t$$ である。第1行の方程式から $$rt=0$$ となり，$r>0$ なので $t=0$ である。よって解は零ベクトルに限られる。
3. $g=\gcd(r,n)\geq 2$ とする。例えば $$x_i= \begin{cases} 1, & i\equiv 1 \pmod g,\\ -1, & i\equiv 2 \pmod g,\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ と定める。このベクトルは明らかに零ベクトルではない。 ここで $r$ は $g$ の倍数である。任意の $r$ 個の連続成分には，各剰余類の成分が ちょうど $r/g$ 個ずつ含まれる。したがってどの行和も $$\frac{r}{g}\cdot 1+\frac{r}{g}\cdot(-1)=0$$ となる。よってこの $x$ は $A(n,r)x=0$ を満たす。