阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2009年度 院試 解答例・解説

境界で $x=0$ または $y=0$ または $z=0$ なら $xyz=0$ である。 正の値が得られる点があるので、最大点は内部 $x,y,z>0$ にある。 そこで $$\Phi(x,y,z)=\log x+\log y+\log z,\qquad g(x,y,z)=x^2+y^2+z-1$$ にラグランジュの未定乗数法を用いる。 $$\frac1x=2\lambda x,\qquad \frac1y=2\lambda y,\qquad \frac1z=\lambda$$ より $$x^2=y^2,\qquad z=2x^2.$$ $x,y>0$ だから $x=y$ であり、制約式から $$2x^2+2x^2=1,\qquad x=y=\frac12,\qquad z=\frac12.$$ したがって $$xyz=\frac12\cdot \frac12\cdot \frac12=\frac18.$$

この値が最大であることは、$u=x^2,\ v=y^2,\ w=z$ とおくと $u,v,w\ge 0,\ u+v+w=1$ かつ $$(xyz)^2=uv\,w^2$$ となり、重み付き相加相乗平均で $u:v:w=1:1:2$ のときに $uv\,w^2$ が最大となることからも確認できる。

例えば $$A= \begin{pmatrix} 0&1&i\\ -1&0&0\\ -i&0&0 \end{pmatrix}$$ とおく。このとき成分を見れば直ちに $${}^t A=-A$$ である。

次に非対角化性を確認する。直接計算すると $$A^2= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&-1&-i\\ 0&-i&1 \end{pmatrix}, \qquad A^3=O.$$ 一方で $A\ne O$ である。したがって $A$ は零でない冪零行列であり、 固有値はすべて $0$ である。もし $A$ が対角化可能なら、 対角化後の対角成分はすべて $0$ になるので $A=O$ となってしまい矛盾する。 よってこの $A$ は対角化できない。

$z=e^{i\theta}$ とおくと $$\cos\theta=\frac12\left(z+\frac1z\right), \qquad d\theta=\frac{dz}{iz}.$$ 分母は $$1-a\left(z+\frac1z\right)+a^2 =\frac{(1-az)(z-a)}{z}$$ と分解できるので、求める積分は単位円 $|z|=1$ 上で $$\int_{|z|=1} \frac{1}{i(1-az)(z-a)}\,dz$$ となる。極は $z=a$ と $z=1/a$ である。

$|a|<1$ のとき、単位円内の極は $z=a$ だけである。よって $$\operatorname*{Res}_{z=a} \frac{1}{i(1-az)(z-a)} =\frac{1}{i(1-a^2)}$$ であり、 $$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1-2a\cos\theta+a^2} =\frac{2\pi}{1-a^2}.$$

$|a|>1$ のとき、単位円内の極は $z=1/a$ だけである。$1-az$ の微分係数は $-a$ だから $$\operatorname*{Res}_{z=1/a} \frac{1}{i(1-az)(z-a)} = \frac{1}{i(1/a-a)(-a)} = \frac{1}{i(a^2-1)}.$$ したがって $$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1-2a\cos\theta+a^2} =\frac{2\pi}{a^2-1}.$$

行列式を対称行列の公式 $$\det \begin{pmatrix} X&p&q\\ p&Y&r\\ q&r&Z \end{pmatrix} =XYZ+2pqr-Xr^2-Yq^2-Zp^2$$ で展開する。ここで $$X=(a+b)^2,\quad Y=(b+c)^2,\quad Z=(c+a)^2,$$ $$p=ca,\quad q=bc,\quad r=ab$$ とおくと、行列式 $D$ は $$\begin{aligned} D={}&(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 +2a^2b^2c^2\\ &\quad -a^2b^2(a+b)^2 -b^2c^2(b+c)^2 -c^2a^2(c+a)^2. \end{aligned}$$ これを整理する。まず $$(a+b)(b+c)(c+a) =(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$ である。上式を用いて展開し、同次次数ごとにまとめると $$D=2abc(a+b+c)^3.$$ したがって因数分解は $$2abc(a+b+c)^3$$ である。

$|x|<1$ で $$\log(1-x)=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m}, \qquad \log(1+x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}x^m}{m}$$ である。したがって $$\begin{aligned} f(x) &=\log(1-x)-\log(1+x)\\ &=-2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\right)\\ &=-2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}. \end{aligned}$$

$n$ 次までの多項式近似を考える。$m=\lfloor (n-1)/2\rfloor$ とおくと、 実際に現れる項は奇数次だけなので $$P_n(x)=-2\sum_{k=0}^{m}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$$ である。ただし $n=0$ のときは空和として $P_0(x)=0$ と読む。 剰余は $$R_n(x)=f(x)-P_n(x) = -2\sum_{k=m+1}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.$$ 特に $|x|<1$ で $$|R_n(x)| \le \frac{2|x|^{2m+3}}{(2m+3)(1-x^2)}$$ という評価が得られる。

最後に $\log 2$ を求める。 $$\frac{1-x}{1+x}=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac13$$ なので $$\log 2=f\!\left(-\frac13\right) = 2\left( \frac13+\frac{1}{3\cdot 3^3}+\frac{1}{5\cdot 3^5} +\cdots \right).$$ 第 $x^5$ 項まで取ると $$2\left(\frac13+\frac{1}{3\cdot 3^3}+\frac{1}{5\cdot 3^5}\right) = \frac{842}{1215} = 0.693004\cdots .$$ 残りは $$0<R< \frac{2}{7}\sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac13\right)^{2k+1} = \frac{2}{7}\cdot \frac{3^{-7}}{1-3^{-2}} <0.00015$$ である。よって $$\log 2=0.693\cdots$$ となり、小数第2位まででは $0.69$ である。