阪大 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 数学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

方針

楕円体を球に直す線形変換を先に入れると，残る条件は $(X,Y)$-平面上の円柱条件になる。三次元の積分を，円柱の射影領域上での高さ $2\sqrt{9-r^2}$ の積分として処理するのが最短である。

典型ミス

最後にヤコビアン $6$ を掛け忘れると，答えがちょうど $1/6$ になる。 また $r\le 3\cos\theta$ は $\cos\theta\ge 0$ の範囲でのみ意味を持つため， $\theta$ の範囲を全周にしないことが重要である。

極大点がない理由

この関数は高次の項が $(xy-k)^2$ を含むため無限遠で大きくなる方向が多い。 停留点をすべて列挙してヘッセ行列で分類すれば，正定値になる点と鞍点しか出ない。 したがって局所極大点はない。

検算

$k>2$ の原点での値は $k^2$，新しく現れる極小点での値は $4k-4$ である。 $$k^2-(4k-4)=(k-2)^2>0$$ なので，新しい極小点の方が値が小さい。停留点の分類と値の大小が整合している。

採点上の注意

停留条件の差から $(y-x)(xy-k)=0$ を出すところが分岐の中心である。 $xy=k,\ x+y=0$ が $k>0$ と矛盾することを書かないと，余分な候補を残したままになる。

核になる不等式

必要なのは $$\left(1+\frac{c}{n}\right)^n$$ が $n$ について増加し，かつ $e^c$ で上から抑えられるという標準事実である。 ただし今回は $c=a_n$ も動くため，まず $a_{n+1}\ge a_n$ で底を比較し， 次に $n$ の比較を入れる，という二段階に分けると間違えにくい。

典型ミス

$\sup a_n<2$ は収束先を $e^2$ 未満にする条件ではない。 必要なのは上から抑える定数があることだけである。したがって最後の設問では 「有界なら $M=\sup a_n$ を取れる」と書けば同じ証明がそのまま使える。

方針

この問題の本質は，QR分解の存在そのものよりも，対角成分を正に固定したときの一意性である。 直交化では各段階のノルムを正に取るため，自動的に $r_{jj}>0$ になる。

一意性で見るべき点

直交行列と上三角行列の両方である行列は非常に制限される。 第1列から順に見ると，下三角側の成分がすでに $0$ であり，直交性により上側の非対角成分も消える。 さらに対角成分が正であれば全て $1$ になる。

固有値の検算

$QR$ と $RQ$ は一般には同じ行列ではないが，ここでは $$RQ=Q^{\mathsf T}(QR)Q$$ と書ける。したがって「積の順序を入れ替えても固有値が同じ」という一般論に頼らず， 直交相似として確認できる。

方針

固有値を調べると $2$ が重複し，$3$ が単根として現れる。 ただし $a$ の値によっては通常の対角化だけで処理しにくい。 そこで，射影部分 $P$ と冪零部分 $N$ に分けると，全ての実数 $a$ を同じ式で扱える。

検算

$n=1$ を代入すると $c_1=a+1$ であり， $$\begin{pmatrix} 2 & a+1 & -a-1\\ -1 & a+3 & -a\\ -1 & a+1 & -a+2 \end{pmatrix}$$ が戻る。したがって少なくとも初期値との整合性は取れている。

典型ミス

$a=-1$ のときだけ別扱いにしようとすると場合分けが長くなる。 上の式では $c_n=0$ となるだけでそのまま成立するため，冪零部分を用いた処理の方が答案として安定する。