東大 情報理工学系研究科 一般教育科目（数学） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

$A$ は第1，第2成分だけが結合したブロックと，第3成分のブロックに分かれている。 まず $$\begin{pmatrix}5&-4\\-4&5\end{pmatrix} \binom{x}{y} = \lambda \binom{x}{y}$$ を解くと， $$\binom{1}{1}\mapsto \binom{1}{1},\qquad \binom{1}{-1}\mapsto 9\binom{1}{-1}$$ である。また第3成分は固有値 $16$ をもつ。したがって $A$ の固有値と対応する固有ベクトルの一例は $$\lambda=1,\quad \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \qquad \lambda=9,\quad \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \qquad \lambda=16,\quad \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$

正規直交基底 $$q_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \quad q_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \quad q_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$ を用いれば $$A=Q \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&9&0\\ 0&0&16 \end{pmatrix} Q^T$$ である。よって正定値実対称平方根は，固有値の正の平方根をとって $$B= Q \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix} Q^T = \begin{pmatrix} 2&-1&0\\ -1&2&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$ である。実際に $B^2=A$ であり，固有値は $1,3,4$ なので正定値である。

次に，$C$ を正定値実対称行列とする。スペクトル定理より，ある直交行列 $Q$ と正の実数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ が存在して $$C=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)Q^T$$ と書ける。そこで $$D=Q\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})Q^T$$ とおくと，$D$ は実対称かつ正定値であり，$D^2=C$ を満たす。

一意性を示す。$E$ を $E^2=C$ を満たす正定値実対称行列とする。このとき $$EC=E^3=CE$$ だから，$E$ は $C$ と可換である。したがって $C$ の各固有空間は $E$ で不変である。固有値 $\lambda$ に対応する $C$ の固有空間上では $E^2=\lambda I$ である。さらに $E$ は正定値実対称なので，その固有値はすべて正であり，この固有空間上の $E$ の固有値は $\sqrt{\lambda}$ に限られる。ゆえにその固有空間上で $E=\sqrt{\lambda}I$ である。全固有空間を合わせると $E=D$ となり，一意性が従う。

最後に，正則実正方行列 $F$ について考える。まず $$S=(FF^T)^{1/2},\qquad T=(F^TF)^{1/2}$$ と定める。$F$ は正則なので $FF^T,F^TF$ は正定値実対称行列であり，直前に示した一意な正定値実対称平方根をもつ。 さらに $$U=S^{-1}F,\qquad V=FT^{-1}$$ とおく。すると $$F=SU=VT$$ である。また $$UU^T = S^{-1}FF^TS^{-1} = S^{-1}S^2S^{-1} = I$$ であるから $U$ は直交行列である。同様に $$V^TV = T^{-1}F^TFT^{-1} = I$$ であるから $V$ は直交行列である。

存在だけでなく一意性も確認する。もし $F=S_1U_1$ と書け，$S_1$ が正定値実対称，$U_1$ が直交行列なら $$FF^T=S_1U_1U_1^TS_1=S_1^2.$$ 正定値実対称平方根の一意性により $S_1=(FF^T)^{1/2}=S$ であり，$U_1=S^{-1}F=U$ である。したがって $S,U$ は一意である。$F=V_1T_1$ についても $$F^TF=T_1V_1^TV_1T_1=T_1^2$$ より $T_1=T$，$V_1=FT^{-1}=V$ となり，一意である。

次に $T=F^{-1}SF$ を示す。$G=F^{-1}SF$ とおく。極分解 $F=SU$ を用いると $$G = F^{-1}SF = (SU)^{-1}S(SU) = U^TSU$$ である。したがって $G$ は実対称正定値である。また $$G^2 = U^TSUU^TSU = U^TS^2U = (SU)^T(SU) = F^TF.$$ よって $G$ は $F^TF$ の正定値実対称平方根である。正定値実対称平方根の一意性から $$T=G=F^{-1}SF$$ である。

最後に $U=V$ を示す。$T=F^{-1}SF$ を用いると $$FT^{-1} = F(F^{-1}SF)^{-1} = FF^{-1}S^{-1}F = S^{-1}F.$$ 左辺は $V$，右辺は $U$ であるから $U=V$ である。