東大 情報理工学系研究科 一般教育科目（数学） 2025年度 院試 解答例・解説

係数ベクトルは法線ベクトル

直線 $m^TX+\gamma=0$ の $m$ は直線の法線である。この問題では係数の前半二成分を長さ $1$ にそろえるので，法線方向が決まると定数項だけを「通る点」から決めればよい。

直線の鏡映は点の逆変換で求める

点の変換 $X'=HX+c$ に対し，直線の係数は点と同じ変換をそのまま受けるわけではない。像の直線は，元の直線の式に $X=H(X'-c)$ を代入して求める。ここを混同すると，定数項の符号を誤りやすい。

第5小問の符号選択

直線の係数ベクトルは全体を $-1$ 倍しても同じ直線を表す。今回は $\alpha_t>0,\beta_t>0$ という条件があるため，法線を $$\frac1{\sqrt{4t^2+1}}(1,2t)^T$$ に選ぶのが自然である。この選択では像の法線が $(0,-1)^T$ になるが，係数全体を反転すれば目標の直線表示と一致する。

周期解の条件は一周期の増幅率

$x'=a(t)x$ では，一周期後の倍率が $$\exp\left(\int_0^T a(s)\,ds\right)$$ になる。したがって，係数 $a(t)$ 自体が周期的でも，平均値が $0$ でなければ解は周期的にならない。

三角関数の入った連立方程式

この連立方程式は三角関数が見えるため複雑に見えるが，$y$ の方程式が先に閉じている。まず $y$ を解き，その結果を $x$ の一次方程式に代入するのが最短である。積分 $$\int \sin t\cos t\,e^{1-\cos t}\,dt$$ では $1-\cos t$ を一つの変数と見ると，残った $\cos t$ も $1-u$ に変わる。

軌道図の読み方

$k=0$ では解が減衰しない。軌道は閉曲線ではなく，同じ弧を往復する。これは $\cos t$ だけで $x,y$ が決まっており，$t$ と $2\pi-t$ が同じ点を与えるためである。

末尾で場合分けする

連続出現を避ける確率の漸化式は，列の末尾を見ると作りやすい。2連続を避けるなら末尾は $T$ または $TH$，3連続を避けるなら末尾は $T,TH,THH$ に限られる。この分解では互いに排反な場合だけを足しているため，重複計算が起きない。

特性方程式の使い方

定係数線形漸化式では，根 $\lambda$ のべき $\lambda^{n-1}$ が基本解になる。複素根が出ても，複素共役の係数を共役に選べば全体は実数になる。第7小問の式は複雑に見えるが，本質は「3つの根の線形結合が初期値を満たす」ことの確認である。

確率としての確認

$a_n,b_n$ は確率なので $0\le a_n,b_n\le1$ でなければならない。たとえば $p=2/3$ の $a_n$ では主項が $(2/3)^{n-1}$ で減衰し，交代符号の項はさらに速く小さくなる。これは長い試行列ほど連続した表を避ける確率が小さくなる直感と合っている。