東大 情報理工学系研究科 一般教育科目（数学） 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

以下では $$q=1-p$$ とおく。

1. 2回で表が連続しないためには，2回とも表である場合を除けばよい。したがって $$\boxed{a_2=1-p^2}$$ である。
2. $n\ge3$ とする。最後が裏で終わる場合は，前 $n-1$ 回が条件を満たしていればよい。最後が表で終わる場合は，直前が裏でなければならないので，末尾は「裏，表」となり，前 $n-2$ 回が条件を満たしていればよい。 よって $$\boxed{ a_n=qa_{n-1}+pqa_{n-2}\qquad(n\ge3)}$$ である。
3. $p=2/3$ では $q=1/3$ であり $$a_n=\frac13a_{n-1}+\frac29a_{n-2}$$ である。条件 $$a_n+\alpha a_{n-1} = \beta(a_{n-1}+\alpha a_{n-2})$$ が漸化式と一致するには $$\beta=\alpha+\frac13,\qquad \alpha\beta=\frac29$$ であればよい。したがって $$\alpha\left(\alpha+\frac13\right)=\frac29$$ より $$9\alpha^2+3\alpha-2=0.$$ よって $$\boxed{ (\alpha,\beta)=\left(\frac13,\frac23\right), \left(-\frac23,-\frac13\right)}$$ である。
4. $p=2/3$ の漸化式の特性方程式は $$\lambda^2-\frac13\lambda-\frac29=0$$ であり，根は $$\lambda=\frac23,\quad -\frac13$$ である。したがって $$a_n=A\left(\frac23\right)^{n-1} +B\left(-\frac13\right)^{n-1}$$ と書ける。$a_1=1,a_2=5/9$ から $$A+B=1,\qquad \frac23A-\frac13B=\frac59.$$ これを解いて $A=8/9,B=1/9$ である。ゆえに $$\boxed{ a_n= \frac89\left(\frac23\right)^{n-1} + \frac19\left(-\frac13\right)^{n-1}}$$ である。
5. 3回で表が3連続するのは，3回とも表の場合だけである。したがって $$\boxed{b_3=1-p^3}$$ である。
6. $n\ge4$ とする。条件を満たす列の末尾は，最後の裏の後に表が $0,1,2$ 個続く場合に分けられる。 $$\text{末尾 }T,\qquad \text{末尾 }TH,\qquad \text{末尾 }THH.$$ それぞれの確率因子は $q,pq,p^2q$ である。したがって $$\boxed{ b_n=qb_{n-1}+pqb_{n-2}+p^2qb_{n-3}\qquad(n\ge4)}$$ である。
7. $p=3/4$ とすると $q=1/4$ であり， $$b_n=\frac14b_{n-1}+\frac3{16}b_{n-2}+\frac9{64}b_{n-3}$$ である。特性方程式は $$\lambda^3-\frac14\lambda^2-\frac3{16}\lambda-\frac9{64}=0$$ で，これは $$\left(\lambda-\frac34\right) \left(\lambda-\frac{-1+\sqrt2\,\mathrm i}{4}\right) \left(\lambda-\frac{-1-\sqrt2\,\mathrm i}{4}\right)=0$$ と因数分解される。 ここで $$\lambda_+=\frac{-1+\sqrt2\,\mathrm i}{4}, \qquad \lambda_-=\frac{-1-\sqrt2\,\mathrm i}{4}$$ とおく。次の式で $c_n$ を定める。 $$\begin{aligned} c_n={}& \frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8 \left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,\mathrm i}{8} \left\{ \lambda_+^{\,n-1}-\lambda_-^{\,n-1} \right\}, \end{aligned}$$ ただし $$\cos\theta=\frac1{\sqrt3},\qquad \sin\theta=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}.$$ $\lambda_\pm=(\sqrt3/4)e^{\pm\mathrm i(\pi-\theta)}$ なので $$\lambda_+^{m}+\lambda_-^{m} = 2(-1)^m\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^m\cos(m\theta)$$ である。このため上の $c_n$ は $$c_n= \frac98\left(\frac34\right)^{n-1} +\left(-\frac1{16}-\frac{\sqrt2\,\mathrm i}{8}\right)\lambda_+^{n-1} +\left(-\frac1{16}+\frac{\sqrt2\,\mathrm i}{8}\right)\lambda_-^{n-1}$$ と同じである。各項は特性方程式の根のべきであるから，$c_n$ は $b_n$ と同じ漸化式を満たす。 さらに直接代入すると $$c_1=1,\qquad c_2=1,\qquad c_3=\frac{37}{64}.$$ 一方，$b_1=1,b_2=1,b_3=1-(3/4)^3=37/64$ である。初期値と漸化式が一致するので $$\boxed{b_n=c_n\qquad(n\ge1)}$$ が成り立つ。