東大 情報理工学系研究科 一般教育科目（数学） 2023年度 院試 解答例・解説

行列式は同一直線条件

3点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x,y)$ が一直線上にあることは，対応する拡大行列の行列式が0になることと同値である。これは平面上の有向面積が0になる条件と見てもよい。

Vandermonde行列が一意性を保証する

補間多項式の係数は線形方程式で決まる。$x_i$ がすべて異なるとVandermonde行列式がゼロでないため，係数は一意に定まる。

Lagrange基底

$c_i$ は「$x_i$ で1，他の標本点で0」になるように作った基底多項式である。この構成を覚えておくと，3点補間でも5点補間でも同じ考え方で書ける。

有界条件が同次解を消す

$t\to-\infty$ では $e^{-t}$ や $e^{-2t}$ が発散する。したがって，通常なら残る任意定数の多くが有界条件によって消える。第2小問で定数 $K$ だけが残るのは，定数は $t\to-\infty$ でも有界だからである。

連立方程式は和と差で分離する

$x-y$ の項が対称に現れているので，$u=x+y$，$v=x-y$ と置くと2つの独立な方程式に分かれる。このような対称性を見つけると計算量が大きく減る。

Riccati型は逆数で線形化

$x^2$ と $x'$ が並ぶRiccati型の方程式では，定数項がない場合に $z=1/x$ が有効である。今回もこの置換により一次線形方程式へ落ちる。

状態は末尾の四角石の個数だけでよい

停止条件は「右端に何個の四角石が連続しているか」だけで決まる。それ以前の並びは次の遷移に影響しないため，状態 $C_k$ だけで十分である。

生成関数の $t$ は1手進む印

1個石を置くたびに停止までの個数が1増えるため，漸化式には必ず係数 $t$ が掛かる。停止状態 $C_M$ では追加で石を置かずに条件が満たされているので $A_M(t)=1$ と置く。

平均は確率母関数の微分

確率母関数 $A_0(t)=\mathbb E[t^L]$ に対し，$A_0'(1)=\mathbb E[L]$ である。連続成功までの待ち時間の平均 $$\frac{1-q^M}{(1-q)q^M}$$ は，成功確率 $q$ が小さいほど，また必要な連続数 $M$ が大きいほど急激に増える。